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重庆市第八中学2022-2023学年高二数学下学期期末试题(Word版附解析)
重庆市第八中学2022-2023学年高二数学下学期期末试题(Word版附解析)
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重庆八中2022—2023学年度(下)期末考试高二年级数学试题一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出集合、,利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】因为,则或,因此,.故选:D.2.已知圆,则圆关于点对称的圆的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化,因此只需求圆心关于点对称后的坐标即可解决.【详解】圆的圆心为,半径为,关于对称的点为,圆对称后只是圆心位置改变,圆的半径不会变化,仍为,因此所求的圆的方程为.故选:D3.古代数学名著《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自信,五日织五尺,问日织几何?“意思 是:一女子善于织布,每天织的布是前一天的2倍,已知5天共织布5尺,问该女子每天分别织布多少?按此条件,若织布的总尺数不少于25尺,该女子需要的天数至少为()A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】设女子第一天织布尺,则数列是公比为2的等比数列,由题意得,解得,即可得到,再解不等式即可.【详解】设女子第一天织布尺,则数列是公比为的等比数列,由题意得,解得,,解得,因为,,该女子所需的天数至少为天.故选:B4.已知正三棱锥的底面边长为6,高为3,则该三棱锥的表面积是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】画出图形,求出底面积和侧面积,即可求出三棱锥的表面积.【详解】如图,正三棱锥中,为正三棱锥的高,则,取的中点,连接,,则在上,且,又,,所以,所以,则,所以, 故三棱锥的表面积为.故选:B5.下列说法中正确的是()A.“与是对立事件”是“与互为互斥事件”的必要不充分条件B.已知随机变量服从二项分布,则C.已知随机变量服从正态分布且,则D.已知随机变量的方差为,则【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A,根据二项分布的期望公式判断B,根据正态分布的性质判断C,根据方差的性质判断D.【详解】对于A:若与是对立事件,则与是互斥事件,故充分性成立,若与是互斥事件得不到与是对立事件,故必要性不成立,所以“与是对立事件”是“与互为互斥事件”的充分不必要条件,故A错误;对于B:已知随机变量,则,故B错误;对于C:因为随机变量,,所以,所以,故C正确; 对于D:,故D错误;故选:C6.设函数的定义域为R,是其导函数,若,,则不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数,由的单调性求解,【详解】构造函数,则,故在R上单调递增,,可化为,故原不等式的解集为,故选:B7.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色,要求同一区域用同一种颜色,有共公边的区域使用不同颜色,则共有涂色方法()A.120种B.720种C.840种D.960种【答案】D【解析】【分析】本题根据分步乘法计数原理结合排列直接求解即可.【详解】法一:有5种颜色可选,有4种颜色可选,有3种颜色可选,若同色,有4种颜色可选; 若同色,有4种颜色可选;若与、都不同色,则有2种颜色可选,此时有4种颜色可选,故共有种.法二:当使用5种颜色时,有种涂色方法;当使用4种颜色时,必有两块区域同色,可以,,,,,共有种涂色方法;当使用3种颜色时,只能是同色且同色,同色且同色,同色,同色,共有种涂色方法,∴共有种涂色方法.故选:D.【点睛】本题即可用分步乘法计数原理完成,也可用分类加法计数原理来完成,还考查分析推理能力,是中档题.8.已知函数,,若总存在两条不同的直线与函数,图象均相切,则实数a的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设函数,的切点坐标分别为,,根据导数几何意义可得,,即该方程有两个不同的实根,则设,求导确定其单调性与取值情况,即可得实数a的取值范围.【详解】解:设函数上的切点坐标为,且,函数上的切点坐标为,且,又,则公切线的斜率,则,所以,则公切线方程为,即,代入得:,则,整理得, 若总存在两条不同的直线与函数,图象均相切,则方程有两个不同的实根,设,则,令得,当时,,单调递增,时,,单调递减,又可得,则时,;时,,则函数的大致图象如下:所以,解得,故实数a的取值范围为.故选:B.【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用,难度较大.解决本题的关键是,根据公切线的几何意义,设切点坐标分别为,且,,且,可得,即有,得公切线方程为,代入切点将双变量方程转化为单变量方程,根据含参方程进行“参变分离”得,转化为一曲一直问题,即可得实数a的取值范围.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.已知,,,下列说法正确的是()A.B.C.D.【答案】ABC【解析】 【分析】根据基本不等式即可判断ABD,由乘“1”法即可判断C.【详解】,,且,对于A,,,由基本不等式可得,,,当且仅当时,等号成立,故A正确;对于B,,当且仅当时,等号成立,故,故B正确.对于C,,当且仅当时,等号成立,故C正确;对于D,,,所以,故D错误,故选:ABC10.少年强则国强,少年智则国智,党和政府一直重视青少年的健康成长,出台了一系列政策和行动计划,提高学生身体素质,为了加强对学生的营养健康监测,某校在3000名学生中,抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列结论正确的是()A.样本的众数为65B.该校学生中低于65kg的学生大约为1200人C.样本的第80百分位数为72.5D.样本的平均值为66.75【答案】BCD【解析】【分析】由频率分布直方图得众数,百分位数,平均数后判断【详解】对于A,样本的众数为67.5,故A错误,对于B,该校学生中低于65kg的学生大约为,故B正确,对于C,体重位于的频率为, 体重位于的频率为,故第80百分位数位于,设其为,则,得,故C正确,对于D,样本的平均值为,故D正确,故选:BCD11.已知函数,,则下列结论正确的是()A.当时,函数在处的切线方程为B.当时,不等式恒成立C.当时,有极小值D.若在区间上单调递增,则【答案】AB【解析】【分析】对于A,利用导数的几何意义求解即可;对于C,利用导数分析判断的单调性即可判断;对于BD,利用选项C中结论,取可得的单调性与最大值,从而得以判断.【详解】对于A,当时,,则,故,,所以在处的切线方程为,即,故A正确;对于C,因,则,当时,令,得;令,得;所以在上单调递增,在上单调递减,故有极大值,没有极小值,故C错误;对于B,由选项C可知,当时,在处取得唯一极大值,即最大值,故当时,,, 所以,即恒成立,故B正确;对于D,由选项C可知,当时,在上单调递增,在上单调递减,所以在区间上不单调递增,故D错误.故选:AB.12.已知数列满足,,,为数列的前项和,则下列说法正确的有()A.B.C.D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据递推关系式可求得为奇数和为偶数时通项公式,进而确定,知AB正误;由可确定C正确;分别讨论和时,的通项公式,结合二次函数性质可确定D正确.【详解】对于A,当为奇数时,,又,,则,A正确;对于B,当为偶数时,,又,;由A知:当为奇数时,;则当为偶数时,;当为奇数时,;,B错误;对于C,,C正确; 对于D,当时,,当为偶数时,;当为奇数时,;当时,,当为偶数时,;当为奇数时,;综上所述:,D正确.故选:ACD.【点睛】关键点点睛:本题考查根据数列递推关系式求解通项公式、前项和的问题,解题关键是能够根据递推关系式确定数列奇偶项所满足的关系,进而通过对于的取值的讨论求得通项公式.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置上)13.6的二项展开式中的常数项为___________.【答案】60【解析】【分析】写出二项展开式的通项,令的指数等于零,即可得出答案.【详解】解:6的二项展开式的通项为,令,则,所以6的二项展开式中的常数项为.故答案为:60.14.甲、乙两人向同一目标各射击一次,已知甲命中目标的概率为.乙命中目标的概率为,已知目标至少被命中次,则甲命中目标的概率为__________.【答案】##【解析】【分析】计算得到目标至少被命中次概率、目标至少被命中次且甲命中目标的概率,由条件概率公式可求得结果.【详解】记事件为“甲命中目标”,事件为“目标至少被命中次”, 则,,.故答案为:.15.已知点B1,B2分别是双曲线虚轴的两个顶点,过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P,Q两点,若为正三角形,则该双曲线的离心率e为__________.【答案】【解析】【分析】根据条件解出点坐标,利用正三角形的边角关系建立等式,得到之间的关系即可解出答案.【详解】如图所示,依题意点纵坐标为,把代入双曲线方程可得所以点的坐标为,又中,则故答案为:16.已知数列的首项,,,记,若,则正整数的最大值为__________.【答案】 【解析】【分析】根据递推公式,通过构造数列法求得,再利用等比数列的前项和公式,求得,再解不等式即可.【详解】因为,所以,所以,又,所以,所以数列为等比数列,所以,所以,所以,若,则,所以,故正整数的最大值为,故答案为:.【点睛】本题考查通过构造数列法求通项公式,以及利用公式法求等比数列的前项和,属中档题.四、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤)17.已知等差数列的首项,记的前n项和为,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列公差,令,求数列的前n项和.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)由等差数列的性质代入方程解出,然后得通项公式,(2)由裂项相消法求解,【小问1详解】 由题意得,原方程可化为,解得,,由得的通项公式或【小问2详解】数列公差,则,18.某新能源汽车公司对其产品研发投资额x(单位:百万元)与其月销售量y(单位:千辆)的数据进行统计,得到如下统计表和散点图.x12345y0.691.611.792.082.20(1)通过分析散点图的特征后,计划用作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型,根据统计表和参考数据,求出y关于x的回归方程;(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时,决定停止产品研发,转为投资产品促销.根据以往的经验,当投资11百万元进行产品促销后,月销售量的分布列为:345Pp结合回归方程和的分布列,试问公司的决策是否合理. 参考公式及参考数据:,,.y0.691.611.792.082.20(保留整数)25689【答案】(1);(2)公司的决策合理.【解析】【分析】(1)令,可得,根据公式求出关于x的回归方程,从而可得y关于x的回归方程;(2)当时,,根据分布列的性质求出,从而可得,与比较即可得结论.【小问1详解】因为,令,所以.由题可得,,则,,所以,所以回归方程为.【小问2详解】当时,.因为且,所以,所以,所以公司的决策合理.19.如图,在三棱柱中,底面ABC是边长为8的等边三角形,,, ,D在上且满足.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面夹角的正弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)【解析】【分析】(1)作出辅助线,得到四边形为正方形,从而得到⊥,再由三角形全等得到,所以⊥,从而证明线面垂直,证明面面垂直;(2)先证明线面垂直,再建立空间直角坐标系,得到点的坐标,利用空间向量余弦夹角公式求出两个平面夹角的余弦值,进而求出正弦值.【小问1详解】过点作交于点,连接交于点,连接,因为,所以四边形为平行四边形,因为,所以,因为,所以,因为,,所以四边形为正方形,故,⊥,由勾股定理得,且,因为,,所以≌,故,所以⊥, 因为,平面,所以⊥平面,因为平面,所以平面平面.【小问2详解】因为⊥,,由勾股定理得,又,由勾股定理逆定理可得⊥,因为,平面,所以⊥平面,取中点,的中点,以分别为轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则,解得,令得,所以,设平面的法向量为,则,令,解得,故,设平面与平面夹角为,则, 因为所以平面与平面夹角的正弦值为,20.某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动,在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球(球的取状和大小都相同),抽奖规则如下:从袋中一次性摸出个球,把白球换成红球再全部放回袋中,设此时袋中红球个数为,则每位员工颁发奖金万元.(1)求的分布列与数学期望;(2)若企业有1000名员工,他们为企业贡献的利润近似服从正态分布,为各位员工贡献利润数额的均值,计算结果为万元,为数据的方差,计算结果为万元,为激励为企业做出突出贡献的员工,现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得,且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算,求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值(保留到整数).参考数据:若随机变量服从正态分布,则,.【答案】(1)分布列见解析,(2)人,万元【解析】【分析】(1)依题意可得的可能取值为,,,,求出所对应的概率即可得到分布列与数学期望;(2)由(1)求出奖金总金额,根据正态分布求出概率,即可估计人数,与每人可以获得奖金的平均数值.【小问1详解】依题意可得的可能取值为,,,,则,,,,∴的分布列为:3456 ∴.【小问2详解】由(1)可知给员工颁发奖金的总数为(万元),设每位职工为企业的贡献利润数额为,则,所以获得奖金的职工数约为(人),则获奖员工可以获得奖金的平均数值为(万元).21.已如右焦点为,是椭圆上关于原点对称的两个动点,当点的坐标为时,的周长恰为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线交椭圆于两点,且,求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)引入左焦点,根据椭圆的定义可以得出四边形的周长为,由对称性可找出四边形的周长和的周长的关系,结合椭圆所过的点来求方程;(2)设出直线方程,利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积后求解.【小问1详解】 由题意,,于是,设椭圆的左焦点为,由,故四边形为平行四边形,于是,由椭圆的定义:,于是,解得,而椭圆经过,故,结合可解得,故椭圆方程为:【小问2详解】 由于,平行线间距离处处相等,故到的距离可转化为到的距离.的斜率不会是,如果为,则和轴重合,过原点的直线要想平行,此时也和轴重合,那么不存在,不符题意;当斜率不存在时,即轴,此时落在轴上,易知,则,中边上的高的长等于,故;当斜率存在且不为时,椭圆的右焦点,设直线:,和椭圆方程联立得到:,直线经过椭圆内的交点,于是必和椭圆相交,设,根据弦长公式,,中边上的高的长等于到的距离,即,于是, 由韦达定理:,故,考察,由于,则,此时.于是综上所述,面积最大值为.22.已知函数.(1)求的单调区间;(2)若函数的最小值为0,求实数k的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)通过对求导,利用导数与函数间的关系即可求出单调区间;(2)正难则反,通过条件将问题转化成对恒成立,再利用及放缩法求最值,注意取值条件,即可求出结果.【小问1详解】由解析式知,因为,则,当时,在上恒成立,当时,由,得, 当,当,综上,当,的单调增区间为,无减区间;当时,的单调增区间为,减区间为.【小问2详解】因为,当趋向时,趋向,趋向,当趋向时,趋向,趋向,又的最小值为0,在定义域内,考虑反面:对恒成立.由,得到,化简得,设,令,则在上恒成立,在上递增,所以,故,当且仅当时取等号,令,则在上恒成立,即在上递增,又,,存在,使,综上,即,所以,要使,故实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛:利用正难则反的思想,将问题转化成:考虑反面对恒成立,从而将问题转化成恒成立问题来求解.
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