山西省名校2022-2023学年高二数学下学期期末联考试题（Word版附解析）

高二数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册第四章､第五章占70%．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列中,,则（）A.4B.6C.8D.12【答案】B【解析】【分析】根据递推关系式分别将代入,即可得出结果.【详解】解:由题知,所以,,将代入可得:,解得:.故选:B2.已知函数的导函数的图象如图所示，则（） A.在区间上单调递增B.在区间上有且仅有2个极值点C.在区间上有且仅有3个零点D.在区间上存在极大值点【答案】D【解析】【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可.【详解】由图可知，在区间为负，单调递减，在区间为正，单调递增，故A错误；在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负，故有3个极值点，故B错误；由选项B可知，只能判断在区间上有3个极值点，当的3个极值都小于0时，至多只有1个零点，当的3个极值有正有负时，至少有1个零点，所以无法判断零点个数，故C错误；在区间上为正，单调递增，在区间上为负，单调递减，则为极大值点，故D正确；故选：D.3.已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（）A.8B.4C.2D.4【答案】B【解析】【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解. 【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，故长轴长为2=4．故选：B.4.设等差数列的前项和分别为，若,则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据等差数列前n项和与通项之间的关系,将数列的项之比化为前n项和之比,代入等式计算即可得出答案.【详解】根据等差数列的性质,,选项A正确.故选:A.5.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案.【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，则， 令，则在上恒成立，故在上单调递增，又，，由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.故选：B6.若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是()AB.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解【详解】如图，曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，因为直线即与半圆相切，所以，解得．因为所以，又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，所以实数k的取值范围是故选：B7.已知数列，若数列的前项和为，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据求出，即，代入数列，再利用裂项相消法即可求解.【详解】依题意，因为，所以，所以，而，故，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，所以，所以，即，所以，故选：D.8.已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为偶函数，则（）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据为偶函数，得出为奇函数，再根据已知式中对自变量赋值求出，的周期即可求解. 【详解】依题意，因为为偶函数，所以，所以，所以为奇函数且，因为，令，则有，解得，因为，所以，又所以由，得，所以是以4为周期的周期函数，所以，由，得，又，所以，所以所以是以4为周期的周期函数，所以，所以.故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知为等差数列，，，则（） A.的公差为2B.的公差为3C.的前50项和为1390D.的前50项和为1290【答案】AD【解析】【分析】根据等差数列的性质得到公差，进而得到通项公式，设的前项和为，求出，，从而利用得到的前50项和.【详解】因为为等差数列，故，，所以，，故，，设公差为，则，A正确，B错误；，，令，解得，令，解得，设的前项和为，则，，故的前50项和为，C错误，D正确.故选：AD10.如图，在四棱锥中，平面为的中点，则（）A.直线与所成角的余弦值为 B.直线与平面所成角的正弦值为C.二面角的余弦值为D.点到直线的距离为【答案】BC【解析】【分析】构造空间直角坐标系，求出平面的法向量，分别利用空间向量中向量的夹角即可求解异面直线,线面夹角以及二面角，即可判断ABC，根据点线距离的向量求解即可判断D.【详解】如图所示，以为原点，中点和的连线所在直线，所在直线，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系：则,,设所成的角为，则,故A错误，所以，，，设平面的法向量，可得，解得,，令，则，所以，即直线与平面所成角的正弦值为,故B正确．设平面的法向量为，, 解得,，令，则,设二面角的平面角为，由几何体的特征可知为锐角，则，故C正确，设点到直线的距离为，，则，故D错误，故选：BC11.已知函数，若与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则的取值可能是（）A.eB.eC.3D.4【答案】BD【解析】【分析】根据与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，可转化为与在上有两个交点，分离参数构造函数，求导讨论单调性求最值即可求解.【详解】依题意，因为与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，所以与在上有两个交点，即有两个零点，整理得，只需满足与有两个交点即可.令，则有，所以在时，，单调递减；在时，，单调递增；所以在处取得最小值，所以只需即可满足题设要求， 故选：BD.12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】A选项，根据的性质得到，从而得到；B选项，根据的特征分组求和即可；C选项，利用，得到C正确；D选项，根据得到，D错误.【详解】由题意得：每隔两项奇数，出现一项偶数，故各项为，即，，A错误；，B正确；因为，且，所以，C正确；，故，D错误.故选：BC【点睛】斐波那契数列的性质：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】先计算，在借助导数得，即可求解切线方程.【详解】,又，，故切线方程为，即，故答案为：.14.古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论．设，这个人走的第段距离为，则满足这个人走的前段距离的总和 的的一个值可以为__________．【答案】7（7、8、9，只需写出一个答案即可）【解析】【分析】根据题意知数列是公比为，首项为的等比数列，求出前n项和，列出不等式即可求正整数n的取值.【详解】由题意得且，当时，，所以，化简得，由等比数列定义知数列是公比为，首项为的等比数列，所以，因为，所以，即，所以，又，所以的取值可以为7、8、9.故答案：7（7、8、9，只需写出一个答案即可）15.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线和在处的曲率分别为，则__________．【答案】【解析】【分析】由函数和，分别求出，以及和，代入曲率公式计算，化简求值即可． 【详解】，则，，，；，则，，，；则故答案为：16.已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则__________，该抛物线上一点A（非顶点）处的切线与圆相切，则__________．【答案】①.3②.【解析】【分析】设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义可知，当M，P，D三点共线时有最小值，结合图像列出方程即可求出p的值；由①得抛物线方程和焦点坐标，在抛物线上取一点，设抛物线在点A的切线l的方程为，联立抛物线方程，利用求出斜率，得到切线方程，再根据圆心到切线方程的距离等于半径，列出等式求得a的值，得到A点坐标，同理，点A关于x轴的对称点也符合题意，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】解：由题意，抛物线的准线方程为，设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义可知，则，当M，P，D三点共线时有最小值，结合图像可知的最小值即为点P到准线的距离，可得抛物线，焦点，抛物线上取一点，设抛物线在点A的切线l的方程为，联立抛物线方程，，解得切线l的方程为，整理得，又因为切线与圆相切，设切点为B，由圆M的方程可知圆心，，则，解得（舍去）或，所以， 同理，点A关于x轴的对称点，也符合题意则故答案：3；.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.在数列中,.（1）求;（2）设,求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式;（2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可.【小问1详解】因为,,所以,又,所以.因为也满足,所以.【小问2详解】因为,所以, 即.18.已知函数．（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，试问过点向曲线可作几条切线？【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根据导函数与原函数单调性的关系即可得出关于实数的不等式，求解即可.（2）设出切点，根据切线的几何意义得出斜率，求出切线方程，联立求出关于切点横坐标的方程，求出的个数即可求解.【小问1详解】依题意，因为，所以的定义域为，，若在上单调递减，则有在上恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围为：.【小问2详解】当时，且点不在上，所以， 设切线方程的斜率为，切点为，根据导数的几何意义，则有，又切线过点，所以切线方程可设为，则有，，所以，整理得，令，则，所以在时，，单调递减；在，，单调递增；所以在处取得最小值，又，所以在有一零点，又因为，，由零点存在性定理可知，在必有一个根，使得成立，综上，方程有两个解，所以过点向曲线可作2条切线.19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点． （1）证明：BC⊥C1E．（2）设=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明直线垂直；（2）用空间向量法求点面距，根据条件列方程求出参数值．【小问1详解】以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，,所以=，=，所以·=2×2+0+2×=0，所以⊥，故BC⊥C1E；【小问2详解】因=，=，所以=+=+λ=， 设平面BB1M的法向量为，则，令x=1+λ，则，因为=，所以C1到平面BB1M的距离，解得．20.已知等比数列满足是的等差中项，数列的前项和为．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差中项性质列式计算求出公比，即可求出通项公式；（2）求出的通项公式，写出通项，通过分组求和和错位相减求和即可得到.【小问1详解】设等比数列公比为q，因为是的等差中项，所以可列式：，化简可得，解得，故小问2详解】由（1）可知，则设，数列的前n项和为①②得 21.法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．【答案】（1）-=1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据双曲线性质与蒙日圆的定义即可求解；（2）设出直线与双曲线联立消，求出韦达定理的表达式，根据DG⊥EF求出的关系式，代入直线即可求出定点H.【小问1详解】由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，所以a2-b2=1，所以b=2，故双曲线C的标准方程为-=1，【小问2详解】证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，联立方程组化简得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，则Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0， 且因为·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，化简得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，所以m=3k或m=51k，且均满足m2-9k2+8>0当m=3k时，直线l的方程为y=k（x+3），直线过定点（-3，0），与已知矛盾，当m=51k时，直线l的方程为y=k（x+51），过定点M（-51，0）当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x+3，联立方程组得x=-3（舍去）或x=-51，此时直线l过定点M（-51，0）．因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．故存在定点H（-27，0），使|GH|为定值24.【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.22.已知函数．（1）求在上的极值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）为极小值，无极大值.（2）【解析】【分析】(1)求导后，借助导数分析单调性，借助单调性分析极值的情况； (2)令,令，设，再借助导函数的正负性，分析原函数的单调性确定极值，再反推的单调性，判断极大值情况.【小问1详解】，令，得，在为负，单调递减，在为正，单调递增，故为极小值，无极大值.【小问2详解】由题知,令，令，则，设则，，为正，在单调递增，，为负，在单调递减，故为极大值，若，即，此时，则在单调递减，又，所以时，在单调递增，时，，在单调递减，故为极大值，所以，则当时，符合条件；，即此时，存在，在上；，则在单调递增，又，则在区间上所以在区间上，单调递减，则，不满足条件. 综上所述的最小值为.