湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题（Word版附解析）

雅礼中学2023年上学期期末考试试卷高二数学时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合满足，则（）A．B．C．D．2．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（）A．1B．C．D．3．下列函数中，最小值为2的是（）A．B．C．D．4．若，则的值为（）A．0B．C．1D．5．长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．6．如图，在梯形中，，，，若，则（）A．9B．10C．11D．127．雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（）A．B．C．D．8．已知实数，记函数构成的集合．已知实数、，若，，则下列结论正确的是（） A．B．若，则C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（）681012632A．变量，之间成负相关关系B．C．可以预测，当时，约为2.6D．由表格数据知，该经验回归直线必过点10．已知函数，实数，满足，则（）A．B．，，使得C．D．11．已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则下列说法正确的是（）A．B．C．若，独立，则D．若，互斥，则12．矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成．若为线段的中点，则在翻转过程中，正确的命题是（）A．是定值B．点在圆上运动C．一定存在某个位置，使D．一定存在某个位置，使平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线在点处的切线方程为__________． 14．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为__________．15．已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有个男生与个女生，乙队伍中有个男生与个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，表示所取的2个人中男生的个数，则当方差取到最大值时，的值为__________．16．已知，满足，，当时，．已知，则函数，的零点个数为__________，这些零点的和为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等差数列中，，且前10项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点．（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为，，，，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在内的小球个数为，求的分布列和均值．（以直方图中的频率作为概率）20．（本小题满分12分）（1）已知，，分别为三个内角，，的对边．请用向量方法证明等式；（2）若三个正数，，满足，证明：以，，为长度的三边可以构成三角形．21．（本小题满分12分）已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（1）求点到抛物线焦点的距离；（2）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）证明；（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 雅礼中学2023年上学期高二年级期末考试暨高三摸底考试数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案ABCBBDBDACDCDBCDABD2．B【解析】由题意，化简得，则，所以复数的虚部为．3．C【解析】当时，，故A错误；，当且仅当，即时取等号，又，故B错误；，当且仅当，即时取等号，故C正确；当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故D错误．4．B【解析】．5．B【解析】该长方体对角线长为，外接球的半径为，，．6．D【解析】法一：因为，所以，所以．因为，，，所以，化简得．故．法二：利用投影可以迅速求解法三：坐标法8．D【解析】因为，，设，则，，即有， 所以，其他的选项都不对．9．ACD【解析】由得，所以，成负相关关系，故A正确；当时，的预测值为2.6，故C正确；，故．故经验回归直线过，故D正确；因为，所以，，故B错误．10．CD【解析】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．11．BCD【解析】选项A中：，故选项A错误，选项B正确；选项C中：，独立，则，则，故选项C正确；选项D中：，互斥，则，根据条件概率公式，故选项D正确，故选BCD．12．ABD【解析】取中点，连接，，则，，平面平面，平面，平面，D正确；，定值，定值，根据余弦定理得，，所以是定值．A正确；点以为轴旋转，B正确；当矩形满足时存在，其他情况不存在，C不正确．所以ABD正确．三、填空题 13．14．【解析】，，即，，双曲线方程为，渐近线方程为．15．10【解析】法一：的可能取值为0，1，2，则，，，所以的分布列为012，，当且仅当时，等号成立，所以当取到最大值时，的值为10．法二：的可能取值为0，1，2，则，由对称性可知，由数学直观想象可知当取到最大值时，最大，所以的值为10．16．1326（第一空2分，第二空3分）【解析】函数和的周期为4，都关于点中心对称，分别画出和的图象，可得答案．四、解答题17．【解析】（1）由已知得解得所以数列的通项公式为． （2），所以．18．【解析】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，则，又，，，平面，所以平面，又平面，则．（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，由得令可得．设与平面所成角为，所以，即与平面成角的正弦值为． 19．【解析】（1）由题意，得，解得．由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，50个样本中小球质量的平均数为（克）．故由样本估计总体，可估计盅子中小球质量的平均数为24.6克．（2）由题意知，该盒子中小球质量在内的概率为，则．的可能取值为0，1，2，3，则，，，．的分布列为0123（或者）．20．【解析】（1）因为，则，即．（2）因为，所以，即，则即所以，，为长度的三边可以构成三角形．21．【解析】（1）抛物线方程为，点到抛物线焦点的距离为．（2）法一：如图，设，． 把代入得，，由根与系数的关系得，．，点的坐标为．假设存在实数，使，则．又是的中点，．由（1）知．轴，，又．，解得，即存在，使．法二：假设存在实数，使，如图，设，．把代入得，，由根与系数的关系得，．，点的坐标为．， 代入，得，，解得，即存在，使．22．【解析】（1），由可得；由可得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即．（2）法一：由得，因为为增函数，则，则．令，，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值为，所以实数的取值范围为．法二：当时，，因为为减函数，且，所以，当时，，下证．今，求导可证在区间上单调递增，在区间上单调递减，又时，，时，，所以． 令，求导可证在区间上单调遂增，在区间上单调递减，所以．综上，成立．所以实数的取值范围为．