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湖南省多校2022-2023学年高二数学下学期期末联考试题(Word版附解析)
湖南省多校2022-2023学年高二数学下学期期末联考试题(Word版附解析)
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高二数学考试注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:高考全部内容.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】计算并求解集合,,利用交集的定义求解.【详解】,解得;,解得,所以集合,,所以.故选:B2.已知,复数是实数,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对已知化简后,由虚部等于零可求得结果.【详解】因为为实数, 所以,解得.故选:C3.函数的部分图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式确定函数性质,利用排除法去掉不符合的选项即可.【详解】定义域为,因为,所以奇函数,排除C,D.当时,,则,,所以,排除B.故选:A.4.某高校现有400名教师,他们的学历情况如图所示,由于该高校今年学生人数急剧增长,所以今年计划招聘一批新教师,其中博士生80名,硕士生若干名,不再招聘本科生,且使得招聘后硕士生的比例下降了,招聘后全校教师举行植树活动,树苗共1500棵,若树苗均按学历的比例进行分配,则该高校本科生教师共分得树苗的棵数为() A.100B.120C.200D.240【答案】B【解析】【分析】设招聘名硕士生,然后根据题意结合扇形统计图列方程可求出的值,再根据比例可求得结果.【详解】设招聘名硕士生,由题意可知,,解得,所以本科生教师共分得树苗棵.故选:B5.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合余弦函数的性质分析判断即可.【详解】若,,则,而,所以“”推不出“”;若,又,则,所以,即“”可以推出“”.所以“”是“”的必要不充分条件,故选:B 6.若,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数、对数函数、三角函数的性质可得,,,即可得答案.【详解】因为,,,所以.故选:C.7.已知正三棱柱的顶点都在球的球面上,若正三棱柱的侧面积为,底面积为,则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设正三棱柱的底面边长为,高为,根据题意里程方程组求得,设的外接圆半径为,求得,结合球的截面圆的性质,列出方程求得球的半径为,进而求得球的表面积.【详解】由正三棱柱是直三棱柱,设其高为,,因为正三棱柱的侧面积为,底面积为,可得,且,解得,设的外接圆半径为,则,解得,设球的半径为,则,所以球的表面积为.故选:A. 8.弘扬国学经典,传承中华文化,国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓,其中“五经”是国学经典著作,“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》.小明准备学习“五经”,现安排连续四天进行学习且每天学习一种,每天学习的书都不一样,其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习,《周易》不能安排在第一天学习,则不同安排的方式有()A.32种B.48种C.56种D.68种【答案】D【解析】【分析】利用排列组合分别讨论不排《周易》,排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排,排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个,三种情况,再利用分类加法计数原理将所有情况相加即可.【详解】①若《周易》不排,先将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列,再将《诗经》与《礼记》插空,则共有种安排方式.②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排,在《尚书》和《春秋》中先选1种,然后将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列,再将《诗经》与《礼记》插空,减去将《周易》排在第一天的情况即可,共有种安排方式;③若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个,先在《诗经》与《礼记》中选1种,然后将《周易》排在后三天的一天,最后将剩下的3种书全排列即可,共有种安排方式.所以共有种安排方式.故选:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知直线:与圆:相交于,两点,则()A.圆心到直线的距离为1B.圆心到直线的距离为2C.D.【答案】BD【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式计算可知A错误,B正确;利用几何法求出弦长可知C错误,D正确.【详解】因为圆心到直线的距离,所以A错误,B正确.因为,所以C错误,D正确.故选:BD10.已知函数,下列说法正确的是()A.的最小正周期为B.的极值点为C.的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到D.若,则【答案】BC【解析】【分析】由正弦函数的最小正周期的计算公式可判断A;对求导,令可判断B;由三角函数的平移变换可判断C;由,求出或可判断D.【详解】的最小正周期为,所以A错误;由,得,由三角函数的性质可验证的极值点为,所以B正确;将的图象向右平移个单位长度得到的图象,所以C正确;若,则,所以,则或, 则或,所以D错误.故选:BC.11.已知双曲线:的右焦点到渐近线的距离为,为上一点,下列说法正确的是()A.的离心率为B.的最小值为C.若,为的左、右顶点,与,不重合,则直线,的斜率之积为D.设的左焦点为,若的面积为,则【答案】ACD【解析】【分析】根据题意列关于的等式,从而可得双曲线的方程,计算离心率,的最小值,结合动点满足的方程,列式计算,在焦点三角形中,由双曲线的定义,余弦定理以及三角形面积公式列式即可计算出.【详解】由已知可得,,所以,则的方程为,离心率为,A正确;因为的最小值为,所以B错误;设,则,,,所以C正确; 设,由可得,得,则,所以D正确.故选:ACD12.已知函数,若,,则实数的取值可能为()A.2B.C.D.1【答案】BCD【解析】【分析】对已知不等式进行变形,利用换元法,构造新函数,利用导数的性质判断其单调性,再利用单调性进行求解判断即可.【详解】因为,所以,设,则有,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以,所以原问题转化为当,恒成立,由,设,,因为,所以,当时,,函数单调递增,所以有,显然,恒成立; 当时,当时,函数单调递增,当时,单调递减,因此有,所以,不恒成立,综上所述:,故选项BCD符合题意,故选:BCD【点睛】关键点睛:对不等式进行变形,构造函数,利用导数的性质是解题的关键.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,,若,则________.【答案】##【解析】【分析】由平行向量的坐标运算求解即可.【详解】因为,所以,解得.故答案为:.14已知,则__________【答案】【解析】【分析】利用诱导公式及倍角公式变形计算即可.【详解】.故答案为:.15.如图,某圆柱与圆锥共底等高,圆柱侧面的展开图恰好为正方形,则圆柱母线与圆锥母线所成角的正切值为________. 【答案】【解析】【分析】先根据圆柱侧面展开图为正方形得出,然后根据题意找到圆柱母线与圆锥母线所成的角即可求得.【详解】因为圆柱母线与圆锥旋转轴平行,所以圆柱母线与圆锥母线所成角的大小等于.因为圆柱侧面的展开图恰好为正方形,所以,所以.故答案为:.16.已知抛物线:的焦点为,直线与交于,两点,且的中点到轴的距离为,则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的性质,结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可.【详解】由题意知,抛物线的准线方程为.设的中点为,分别过点,,作准线的垂线,垂足分别为,,,因为到轴的距离为6,所以. 由抛物线的定义知,,所以.因为,所以.所以当,即直线过焦点时,取最大值为.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等比数列中,,且是和的等差中项.(1)求的通项公式;(2)若,,求数列的前项和.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)根据等比数列的通项公式和等差中项的含义即可得到关于的方程,解出即可;(2)分析计算得,利用错位相减法即可得到答案.【小问1详解】设的公比为,,因为是和的等差中项,所以,则,化简得,解得或,当时,,当时,.【小问2详解】 因为,所以,,,①则,②则①②得.故.18.已知的内角,,的对边分别为,,.(1)若,,,求的面积;(2)若,证明:.【答案】(1)9(2)证明见解析【解析】分析】(1)先由求出,然后利用三角形面积公式求解即可;(2)由已知条件结合余弦定理可得,再利用正弦定理统一成角的形式,化简后可证得结论.【小问1详解】因为,所以,即,因为,所以解得.所以的面积.【小问2详解】证明:因为,,所以,化简得,所以,即, 所以,所以.因为,,所以或(舍去),所以.19.某单位准备从8名报名者(其中男性5人,女性3人)中选4人参加4个副主任职位竞选.(1)设所选4人中女性人数为,求的分布列与数学期望;(2)若选出的4名副主任分配到,,,这4个科室上任,一个科室分配1名副主任,且每名副主任只能到一个科室,求科室任职的是女性的情况下,科室任职的是男性的概率.【答案】(1)分布列见解析,(2)【解析】【分析】(1)根据题意得的可能取值为0,1,2,3,求出取每个值的概率可得分布列,由期望公式可得期望;(2)根据条件概率公式可求出结果.【小问1详解】依题意,的可能取值为0,1,2,3,所以,,,,的分布列为0123所以.【小问2详解】设“科室任职的是女性”,“科室任职的是男性”, 则,,所以.20.如图,四棱锥的底面是边长为的菱形,为等边三角形.(1)若,证明:.(2)在(1)条件下,若,,求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据等边三角形的三线合一性质,结合线面垂直的判定定理以及性质定理,可得答案;(2)根据题意,建立空间直角坐标系,求得两平面的法向量,结合夹角的求解公式,可得答案.【小问1详解】证明:取的中点,连接,.因为为等边三角形,所以.又,,平面,所以平面,因为平面,所以,即是线段的中垂线,所以.【小问2详解】由(1)知,又,所以,且平面.以为坐标原点,分别以,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则,,.在中,,,由余弦定理易得∠POC为120°,所以点的坐标为,所以,,.设是平面的法向量,可得令,得.设是平面的法向量,可得令,得.设平面与平面所成的二面角为,则.21.已知是椭圆的左顶点,过点的直线与椭圆交于两点(异于点),当直线的斜率不存在时,.(1)求椭圆C的方程;(2)求面积的取值范围.【答案】(1);(2). 【解析】【分析】(1)根据给定条件,确定椭圆C过点,再代入求解作答.(2)设出直线的方程,与椭圆的方程联立,结合韦达定理求出面积的函数关系,再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意,,当直线的斜率不存在时,由,得直线过点,于是,解得,所以椭圆的方程为.小问2详解】依题意,直线不垂直于y轴,设直线的方程为,由消去整理得,则,的面积,令,对勾函数在上单调递增,则,即,从而,当且仅当时取等号,故面积的取值范围为.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题,可以以直线的斜率、横(纵) 截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量,建立函数关系求解作答.22.已知函数,且,.(1)讨论的单调性;(2)若,函数有三个零点,,,且,试比较与2的大小,并说明理由.【答案】(1)答案见解析(2),理由见解析【解析】【分析】(1)分类讨论与,结合导数与函数的关系即可得解;(2)观察式子先确定,再利用转化法与换元法得到,进而利用双变量处理方法得到,利用导数证得,从而得解.【小问1详解】由,得,又,所以,则,所以,.当时,令,得或;令,得;所以在和上单调递增,在上单调递减;当时,令,得;令,得或;所以在与上单调递减,在上单调递增.【小问2详解】,理由如下:因为,由,得,解得或.因为,所以,,是的正根,则,又,所以,,两式相减得. 令,,则,得,则.令,则,所以,,可得,.设,则,再设,则,所以在上为增函数,则,即,则在上为增函数,从而,所以,即,所以,即.
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高中 - 数学
发布时间:2023-07-25 09:03:02
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文章作者:随遇而安
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