重庆市铜梁中学、江津中学等七校2022-2023学年高一数学下学期期末联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年重庆市铜梁中学、江津中学等七校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数H的虚部为()A.B.C.D.2.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列判断错误的是()A.若，，쳌䁣，′′，′′，则′′B.若，′′，则C.若′′，，则′′D.若，쳌，，，则3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是()A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同4.在䁣香䁨中，点为䁣香䁨的重心，则䁨쳌()HHHHA.䁣香䁣䁨B.䁣香䁣䁨C.䁣香䁣䁨D.䁣香䁣䁨H5.将函数쳌ሻ图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于函数的说法中错误的是()A.最小正周期为B.对称中心为ͲC.一条对称轴为쳌D.在Ͳ上单调递增H6.已知圆台上、下底面半径分别为H，，侧面积为，则这个圆台的体积为()A.B.C.D.7.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线䁣香，䁨所成角为()A.ͲB. C.D.8.如图，已知棱长为H的正方体䁣香䁨䁣H香H䁨HH中，下列命题正确的是()A.正方体外接球的半径为B.点在线段䁣香上运动，则四面体䁣H䁨H的体积不变C.与所有H条棱都相切的球的体积为HD.是正方体的内切球的球面上任意一点，则䁣长的最小值是二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.Ͳ年月日，国家统计局发布了我国ͲH年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局ͲH年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图统计图表，下列说法中正确的是() A.ͲHͲH年全国居民人均可支配收入逐年递增B.ͲH年全国居民人均消费支出HͲͲ元C.ͲͲ年全国居民人均可支配收入较前一年下降D.ͲH年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过Ͳ10.下列选项正确的是()HA.ሻH݋ሻH쳌B.cossin쳌C.ሻͲ݋ሻͲ݋ሻHͲ݋ሻͲ쳌HD.ሻͲͶHͲ쳌H11.已知复数H쳌，쳌H，则()A.H쳌HB.若H쳌H，则的最大值为HHC.쳌D.H在复平面内对应的点在第二象限12.已知函数쳌ሻͲ的部分图象如图所示，该图象与轴的交点坐标是ͲH，若的图象H关于点Ͳ对称，且在区间上单调递减，则的值可以是() A.B.C.D.HH三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某眼科医院为了了解高中学生的视力情况，利用分层抽样的方法从某高中三个年级中抽取了人进行问卷调查，其中高一年级抽取了H人，高二年级抽取了H人，且高三年级共有学生Ͳ人，则该高中三个年级的学生总数为______人H14.已知Ͳ，cos쳌，sin쳌，则݋ሻ쳌______．15.已知向量쳌쳌݋ሻሻ，并且쳌，则实数的取值范围为______．16.已知䁣香䁨的内角䁣、香、䁨所对的边分别、、，角䁣쳌若䁣是䁨䁣香的平分线，交香䁨于，且䁣쳌，则䁣香䁣䁨的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题HͲͲ分已知向量与的夹角为HͲ，쳌H，쳌．H求在上的投影向量的模；求与的夹角的余弦值．18.本小题HͲ分从某校高一学生中抽取HͲͲ名学生，获得了他们一周课外阅读时间单位：小时的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号分组频数HͲHHͲHͲHHHHHHHH合计HͲͲH求频率分布直方图中，的值；假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点代替，计算样本中的HͲͲ名学生该周课外阅读时间的平均数；求出样本中的HͲͲ名学生该周课外阅读时间的第Ͳ百分位数．19.本小题HͲ分如图，在四棱锥䁣香䁨中，侧面䁣香底面䁣香䁨，侧面䁣香是边长为H的等边三角形，底面䁣香䁨是正方形，是侧棱香上的点，是底面对角线䁣䁨上的点，且쳌香，䁣쳌䁨．H求证：䁣香； 求证：′′平面䁣；求点到平面䁣的距离．20.本小题HͲ分在䁣香䁨中，角䁣，香，䁨的对边分别为，，，已知ሻ䁨ሻ䁣香쳌ሻ香ሻ䁨䁣．H证明：쳌；若쳌，݋ሻ䁣쳌，求䁣香䁨的周长和面积．21.本小题HͲ分已知函数쳌ሻ݋ሻ݋ሻ．H求函数在Ͳ的值域；H若关于的方程cosH쳌Ͳ在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．22.本小题HͲ分如图，已知四棱锥䁣香䁨的底面䁣香䁨是边长为的正方形，䁣쳌香쳌，，分别是䁣香，䁨的中点．H求证：平面䁨平面；当直线䁣与平面䁨所成角的正弦值最大时，求此时二面角䁣香䁨的余弦值． 答案和解析1.【答案】䁣【解析】解：因为复数H쳌H쳌．所以复数的虚部为：．故选A．按照平方差公式展开，求出复数的实部与虚部即可．本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2.【答案】䁨【解析】解：对于䁣，若，，쳌䁣，′′，′′，则由面面平行的判定定理可得′′，故A正确；对于香，若，′′，则由线面垂直的性质定理可得，故B正确；对于䁨，若′′，，则′′或与异面，故C错误；对于，若，쳌，，，则由面面垂直的性质定理可得，故D正确．故选：䁨．由面面平行的判定定理可判断䁣；由线面垂直的性质定理可判断香；由题意得′′或与异面，可判断䁨；由面面垂直的性质定理可判断．本题主要考查空间位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】香【解析】解：中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相差很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的教，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有香项错误，故选：香．利用平均数、中位数、众数的定义求解．本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题． 4.【答案】香【解析】解：如图，延长䁨，交䁣香与点，因为点为䁣香䁨的重心，所以为䁣香的中点，H所以䁨쳌䁨쳌䁨䁣䁨香HH쳌䁨䁣䁨香HH쳌䁣䁨䁣香䁣䁨H쳌䁣香䁣䁨．故选：香．由重心的性质及平面向量基本定理计算即可得解．本题主要考查重心的性质，平面向量基本定理，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】H【解析】解：将函数쳌ሻ图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到쳌ሻ的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则쳌ሻ쳌sin，所以函数的最小正周期为쳌，A正确；쳌ሻ쳌Ͳ，则B正确；又쳌sin쳌H，函数取得最小值H，C正确；H项，Ͳ，，由于쳌ሻ在上单调递增，在上单调递减，则D错误．故选：．首先利用平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，对应쳌ሻ的性质即可．本题考查平移变换和伸缩变换，考查三角函数的性质，属于基础题．6.【答案】䁣 【解析】解：如图，圆台上底面半径为H，下底面半径为，设母线长为，H则圆台的侧面积쳌쳌，得쳌．设圆台的高为，则쳌H쳌．圆台的体积为H쳌．故选：䁣．由已知求得圆台的母线长，进一步求得圆台的高，再由圆台的体积公式得答案．本题考查圆台的侧面积与体积，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】䁨【解析】解：还原后的正方体及䁣香，䁨的位置如图所示，取正方体的一个顶点，连接䁨，，则䁣香′′䁨，所以䁨或其补角为直线䁣香，䁨所成角，因为䁨，，䁨均为面对角线，所以䁨쳌쳌䁨，即䁨为等边三角形，所以䁨쳌，所以直线䁣香，䁨所成角为．故选：䁨．先还原正方体，再平移䁣香，找到异面直线所成角，求之即可．本题考查异面直线夹角的求法，通过平移的思想，找到异面直线夹角是解题的关键，考查空间立 体感和运算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：对于䁣，由正方体的性质可知正方体外接球的直径为其体对角线，由于正方体的棱长为H，故体对角线的长度为，所以正方体外接球的半径为，故A错误；对于香，䁣H䁨H为边长是的等边三角形，面积为定值，点在线段䁣香上运动，䁣香′′䁣H香H，而䁣H香H与平面䁣H䁨H成角，故四面体䁣H䁨H的高是变化的，故体积是变化的，故B错误；对于䁨，与所有H条棱都相切的球的直径等于面的对角线香H䁨쳌，则쳌쳌，则球的体积쳌쳌쳌，故C错误；对于，正方体的内切球为正方体的中心，内切球的半径为，可知线段䁣长度的最小值是䁣到球心的距离减去内切球的半径，H正方体䁣香䁨䁣H香H䁨HH的棱长为H，쳌，H䁣到球心的距离为，所以䁣的最小值是，故D正确．故选：．对于䁣，利用正方体的性质即得；对于香，判断出四面体䁣H䁨H的高是变化的，底面积不变，故可判断体积不是定值，即得；对于䁨先求出球的半径쳌，即可求体积；对于判断出线段䁣长度的最小值是䁣到球心的距离减去内切球的半径，直接求解即可．本题考查了几何体与球的内切和外接问题，考查了几何体的体积计算以及球的性质，属于中档题．9.【答案】䁣香【解析】解：由图可知，ͲHͲH年全国居民人均可支配收入分别为元，元，Ͳ元，H元，H元，则ͲHͲH年全国居民人均可支配收入逐年递增，故选项A正确；由图得：HHHHHHHH쳌HͲͲ元，则ͲH年全国居民人均消费支出HͲͲ元，故选项B正确；ͲH年全国居民人均可支配收入为Ͳ元，而ͲͲ年全国居民人均可支配收入为H元，所以ͲͲ年全国居民人均可支配收入较前一年有所增长，故选项C错误； 由图得：쳌Ͳ，故选项D错误．故选：䁣香．由题意，根据频率分布直方图以及饼状图中所给信息进而求解即可．本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算求解能力．10.【答案】䁣香HH【解析】解：选项A，ሻH݋ሻH쳌ሻͲ쳌，即A正确；选项B，cos，即B正确；sin쳌cos쳌选项C，ሻͲ݋ሻͲ݋ሻHͲ݋ሻͲ쳌ሻͲ݋ሻͲ݋ሻͲሻͲ쳌sinͲͲ쳌ሻͲ쳌H，即C错误；ሻHͲሻͲ݋ሻͲሻͲ选项D，ሻͲͶHͲ쳌ሻͲ݋ሻHͲ݋ሻͲ쳌ሻͲሻͲ݋ሻͲ쳌ሻͲ݋ሻͲ݋ሻͲሻͲሻͲሻͲ݋ሻͲH݋ሻHͲሻͲ݋ሻͲሻͲ쳌ሻͲሻͲ݋ሻͲ쳌ሻͲ݋ሻͲ쳌ሻͲ݋ሻͲ쳌H，即D正确．故选：䁣香．选项A，由正弦的二倍角公式，得解；选项B，由余弦的二倍角公式，得解；选项C，结合诱导公式与两角和的正弦公式，得解；݋ሻͲ选项D，结合同角三角函数的商数关系与诱导公式，知ͶHͲ쳌，再由两角和的余弦公式ሻͲ与二倍角公式，化简运算得解．本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】䁣䁨【解析】解：H쳌，쳌H，则H쳌H쳌，故H쳌，H쳌H쳌，故A正确；设HH，故，故B错误； HH由复数模的性质可知，쳌，故C正确；H쳌H쳌，则H在复平面内对应的点在第一象限，故D错误．故选：䁣䁨．根据已知条件，结合复数模的性质，以及共轭复数的定义，复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数模的性质，以及共轭复数的定义，复数的四则运算，属于基础题．12.【答案】䁣【解析】解：根据函数쳌ሻͲ的部分图象，H该图象与轴的交点坐标是ͲH，ሻ쳌H，求得ሻ쳌．结合图象可得쳌．的图象关于点Ͳ对称，쳌，，쳌，，可以为或HH．HH当쳌时，在区间上，，函数单调递减，满足题意．HHH当쳌HH时，在区间上，HH，函数单调递减，满足题意．故选：䁣．根据题意，根据特殊点的坐标求出，根据图象的对称性求出，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查根据函数쳌䁣ሻ的部分图象求函数的解析式，根据特殊点的坐标求出，根据图象的对称性求出，可得函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．13.【答案】HͲ【解析】解：由题意可知，高三年级抽取了HH쳌H人，设该高中三个年级的学生总数为人，ͲH则쳌，解得쳌HͲ．故答案为：HͲ．根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．14.【答案】HͲ【解析】解：因为Ͳ，所以Ͳ，，H又cos쳌，sin쳌，所以sin쳌Hcos，cos쳌Hsin쳌，쳌H所以݋ሻ쳌cos쳌coscossinsin쳌쳌．HͲ故答案为：．HͲ先利用同角三角函数的平方关系求得sin和cos的值，再根据两角和的余弦公式，展开运算，得解．本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】．H쳌݋ሻ【解析】解：쳌，，쳌ሻ则쳌，ሻ쳌݋ሻሻ쳌ሻሻ쳌ሻHሻHH，ሻ쳌时，取最小值；Hሻ쳌H时，取最大值；即实数的取值范围为．H故答案为：．H根据向量相等的坐标运算列出方程组，将表示为复合的二次函数形式，进而可得实数的取值范围． 本题考查平面向量的坐标运算，考查三角函数的性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：角䁣쳌若䁣是䁨䁣香的平分线，所以香䁣쳌䁨䁣쳌，HHH可得䁣香䁨쳌䁣香䁣䁨ሻ䁣쳌䁣香䁣sin香䁣䁣䁨䁣sin䁨䁣，即䁣香䁣䁨쳌䁣香䁣䁣䁨䁣，又因为䁣쳌，HH所以쳌，䁣香䁣䁨HH䁣香䁣䁨䁣香䁣䁨所以䁣香䁣䁨쳌䁣香䁣䁨쳌쳌䁣香䁣䁨䁣䁨䁣香䁣䁨䁣香쳌，䁣香䁣䁨所以当且仅当쳌，即䁣香쳌䁣䁨时，取等号，䁣䁨䁣香所以䁣香䁣䁨的最小值为．故答案为：．HH由角平分线性质及三角形的面积的表示可得的值，再由“H”的活用和均值不等式，可得䁣香䁣䁨䁣香䁣䁨的最小值．本题考查三角形面积公式的应用及均值不等式的性质的应用，属于中档题．17.【答案】解：H向量与的夹角为HͲ，쳌H，HH则在上的投影向量的模为：݋ሻHͲ쳌H쳌；向量与的夹角为HͲ，쳌H，쳌，H则쳌H쳌H，쳌쳌H쳌H，，쳌쳌HH쳌HHH故cos쳌쳌쳌．HHH【解析】H根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解；根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解． 本题主要考查平面向量的数量积公式，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．18.【答案】解：H已知课外阅读事件在的有H人，其频数为ͲH，ͲH所以쳌쳌ͲͲ，课外阅读事件在HͲ的有人，其频数为Ͳ，Ͳ所以쳌쳌ͲH；平均数쳌HͲͲͲͲͲHͲͲHHͲHHͲͲHͲͲHͲͲ쳌；已知课外阅读时间在小时以下的学生所占比例为ͲͲͲͲͲHͲ쳌Ͳ，课外阅读时间在HͲ小时以下的学生所占比例为ͲͲͲͲͲHͲͲ쳌Ͳ，所以第Ͳ百分位数一定位于HͲ内，设第Ͳ百分位数的值为，则ͲͲͲͲͲHͲͲH쳌Ͳ，解得쳌．故样本中的HͲͲ名学生该周课外阅读时间的第Ͳ百分位数为．【解析】H由题意，先计算出第三组和第五组的频率，进而求出对应矩形的高，进而可得，的值；通过累加各级频率与组中值的乘积，即可得到平均数；先判断出第Ͳ百分位数一定位于HͲ内，设第Ͳ百分位数的值为，代入公式求解即可．本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算能力．19.【答案】解：H证明：因为侧面䁣香底面䁣香䁨，且侧面䁣香底面䁣香䁨쳌䁣香，䁣䁣香，䁣面䁣香䁨，所以䁣面䁣香， 因为香面䁣香，所以䁣香．证明：过作′′香䁣交䁣于点，过点作′′䁨交䁣于点，连接，因为쳌香，所以쳌香䁣，同理可得쳌䁨쳌香䁣，所以′′，쳌，所以四边形是平行四边形，所以′′，又面䁣，面䁣，所以′′面䁣．由知′′面䁣，所以点到平面䁣的距离是点到平面䁣的距离，在平面䁣香内过点作䁣于，因为䁣面䁣香，所以䁣，所以面䁣，所以是点到平面䁣的距离，在Ͷ中，쳌，쳌，所以쳌，所以点到平面䁣的距离为．【解析】H由线面垂直的判定定理可得䁣面䁣香，进而可得答案．过作′′香䁣交䁣于点，过点作′′䁨交䁣于点，连接，证明四边形是平行四边形，推出′′，由线面平行的判定定理，即可得出答案．由知′′面䁣，则点到平面䁣的距离是点到平面䁣的距离，进而可得答案．本题考查直线与平面的位置关系，点到平面的距离，解题中需要理清思路，属于中档题．20.【答案】解：H证明：因为ሻ䁨ሻ䁣香쳌ሻ香ሻ䁨䁣，展开可得ሻ䁨ሻ䁣݋ሻ香ሻ䁨݋ሻ䁣ሻ香쳌ሻ香ሻ䁨݋ሻ䁣ሻ香݋ሻ䁨ሻ䁣， 整理可得ሻ䁨ሻ䁣݋ሻ香ሻ香݋ሻ䁨ሻ䁣쳌ሻ香ሻ䁨݋ሻ䁣，由正弦定理和余弦定理可得：쳌，整理可证得：쳌；因为쳌，݋ሻ䁣쳌，可得ሻ䁣쳌，由余弦定理可得݋ሻ䁣쳌쳌쳌，可得，由H可得得쳌쳌H，쳌所以쳌，쳌H，可得쳌Ͳ，所以该三角形的周长쳌Ͳ，HH该三角形的面积䁣香䁨쳌ሻ䁣쳌쳌．【解析】H将已知等式展开，再由正弦定理及余弦定理整理可证得结论；由余弦定理及题意可得和的值，进而求出三角形的周长和面积．本题考查正余弦定理的应用及三角形面积的求法，属于中档题．21【.答案】解：H因为쳌ሻ݋ሻ݋ሻ쳌ሻ݋ሻH쳌ሻH，当Ͳ时，，H所以sinH，所以ሻH，ሻHH，所以的值域为H；因为쳌ሻH，所以쳌ሻH，所以H쳌ሻ，H所以쳌ሻ，所以cosHH쳌ͲcosሻH쳌Ͳሻሻ쳌Ͳ，因为， 所以，sinH，令Ͷ쳌sin，ͶH，所以有ͶͶ쳌Ͳ在ͶH上有两个不等的实根，由二次函数的性质可得：쳌ͲH，解得．HͲͲ所以实数的取值范围为．【解析】H由二倍角公式及辅助角公式可得쳌ሻH，再根据正弦函数的性质求解即可；将原方程化简为ሻሻ쳌Ͳ在区间上有两个不相等的实数根，Ͷ쳌sin，ͶH，则有ͶͶ쳌Ͳ在ͶH上有两个不等的实根，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可．本题考查了三角恒等变换、正弦函数的性质、二次函数的性质及转化思想，属于中档题．22.【答案】H证明：䁨，又䁣香，䁣香′′′′䁨，䁨，又쳌，平面，平面，䁨平面，又䁨平面䁨，平面䁨平面；解：䁣香，䁣香，为二面角䁣香䁨的平面角．又因为䁣香′′平面䁨，所以点䁣到平面䁨的距离等于点到平面䁨的距离，设쳌，由余弦定理可得쳌݋ሻ쳌H݋ሻ，所以쳌݋ሻ，在中，作，ሻ由等面积法可得：쳌쳌，设䁣与平面䁨所成的角为，݋ሻሻሻ则ሻ쳌쳌sin쳌，䁣݋ሻ݋ሻͶHͶͶ令݋ሻ쳌Ͷ݋ሻ쳌，则sin쳌쳌HͶH，ͶͶ 当且仅当Ͷ쳌H时，即݋ሻ쳌，等号成立，ሻ取最大值，所以：当䁣与平面䁨所成的角最大时，二面角䁣香䁨的平面角的余弦值为．