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天津市红桥区2022-2023学年高三数学上学期期末试题(Word版附解析)
天津市红桥区2022-2023学年高三数学上学期期末试题(Word版附解析)
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高三数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时,务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9题,每小题5分,共45分.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】方法一:求出集合后可求.【详解】[方法一]:直接法因为,故,故选:B.[方法二]:【最优解】代入排除法代入集合,可得,不满足,排除A、D;代入集合,可得,不满足,排除C.故选:B.【整体点评】方法一:直接解不等式,利用交集运算求出,是通性通法;方法二:根据选择题特征,利用特殊值代入验证,是该题的最优解.2.已知,其中是虚数单位,则()A.1B.3C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据复数的四则运算,结合复数相等,求得参数的值,可得答案.【详解】由,,,,则,即,故选:B.3.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可.【详解】由解得,由解得,因为当能推出,而推不出,所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A4.若直线被圆截得的弦长为4,则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据圆中弦心距、半径、半弦长的关系列出方程求解即可.【详解】由可得,即圆心,半径,则圆心到直线的距离,所以,即,解得,故选:A5.已知某函数图象如图所示,则下列解析式中与此图象最为符合的是() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据定义域舍去A选项;B选项,根据时,函数值大于0舍去B选项;CD选项,根据导函数求解函数的单调区间,从而确定正确答案.【详解】A选项,的定义域为,故和图象不合,舍去;B选项,当时,,与图象不合,舍去;C选项,定义域为,,当,时,,单调递增,当,时,,单调递减,与图象符合,D选项,定义域为,在上恒成立,故在上均单调递减,与图象不合,舍去;故选:C 6.设,则的大小关系为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.【详解】是单调递增函数,,,,是单调递减函数,,故选:B7.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和、假定两球是否落入盒子互不影响.则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求出甲乙两球都不落入盒子的概率,即可得到答案.【详解】由题知:甲乙两球都不落入盒子的概率为,所以乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故选:D8.已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为A.B.C.D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析:双曲线的一条渐近线是,则①,抛物线的准线是,因此,即②,由①②联立解得,所以双曲线方程为.故选D.考点:双曲线的标准方程.9.已知函数.对于下列四种说法,正确的是()①函数的图象关于点成中心对称②函数在上有个极值点.③函数在区间上的最大值为,最小值为④函数在区间上单调递增A.①②B.②③C.②③④D.①③④【答案】B【解析】【分析】对于①,,则函数的图象不关于点成中心对称;对于②,由的范围,得出的范围,利用正弦函数的性质可得取到极值点的位置;对于③,由的范围,得出的范围,利用正弦函数的性质可得出函数的最值;对于④,由的范围,得出的范围,利用正弦函数的单调性判断即可.【详解】对于①,,的图象不关于点成中心对称,错误; 对于②,,则,则当分别取时,函数取到极值,正确;对于③,,则,,正确;对于④,,则,由于正弦函数在上不单调,错误;故选:B二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.10.某校高一年级、高二年级、高三年级学生人数之比为,现采用分层抽样的方法从高中各年级共抽取同学参加“流行病学”调查,则高一年级应抽取__________名学生.【答案】【解析】【分析】利用分层抽样的公式计算可得答案.【详解】高一年级应抽取的学生人数为故答案为:11.________.【答案】【解析】【详解】试题分析:原式,答案:.考点:1.对数运算;2.对数的换底公式.12.在的展开式中,的系数为_______.【答案】【解析】【详解】展开式的通项为,由得 ,所以,所以该项系数为.考点:二项式定理及二项展开式的通项.13.在中,,以边所在直线为轴,将旋转一周,所成的曲面围成的几何体的体积为__________.【答案】【解析】【分析】根据旋转体的概念,结合题意得到该几何体是圆锥,根据体积计算公式,即可得出结果.【详解】因为在中,,所以,若以边所在的直线为轴,将旋转一周,所得的几何体是以为高,以为底面圆半径的圆锥,因为,,因此,其体积为:.故答案为:.14.街道上有编号1,2,.3,....10的十盏路灯,为节省用电又能看清路面,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,在两端的灯都不能关掉的情况下,满足条件的关灯方法有__________种.【答案】【解析】【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只,实际上还亮7只灯,而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯,此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯,有种方法,故答案为:.15.已知函数,函数,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】求出函数的表达式,构造函数,作函数 的图象,利用数形结合进行求解即可.【详解】∵,∴,∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点,∴方程f(x)−g(x)=0有四个解,即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解,即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点,,作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下,,结合图象可知,<b<2,故答案为:.三、解答题:本大题共5个小题,共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值【答案】(1)B=60°(2)【解析】【详解】(1)由正弦定理得 【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数,由正余弦定理化简求值是真理17.如图,在四棱锥中,平面,是的中点.(1)证明:平面;(2)若直线与平面所成角和与平面所成的角相等,求线段的长度.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用向量法证明,再由线面垂直的判定定理求证;(2)利用向量法求出线面角,根据线面角相等求出即可.【小问1详解】如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,.则各点坐标为:所以. 因为,所以,而是平面内的两条相交直线,所以平面;【小问2详解】由题设和(1)知,分别是平面,平面的法向量,而与平面所成的角和与平面所成的角相等,所以即由(1)知,,由,故,解得.所以.18.已知等比数列公比,且,.Ⅰ求数列的通项公式;Ⅱ设,是数列的前n项和,对任意正整数n不等式恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】【详解】试题分析:(Ⅰ)本小题用等比数列的基本量法可求解,即用首项和公比表示出已知条件并解出,可得通项公式;(Ⅱ)由,因此用错位相减法可求得其前项和,对不等式按的奇偶分类,可求得参数的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)设数列的公比为,则,∴∵,∴,∴数列的通项公式为.(Ⅱ)解:∴∴∴=∴对任意正整数恒成立,设,易知单调递增.为奇数时,的最小值为,∴得,为偶数时,的最小值为,∴,综上,,即实数的取值范围是.19.已知椭圆的长轴的两个端点分别为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)为椭圆上异于的动点,直线分别交直线于两点,连接并延长交椭圆于点,证明:直线的斜率之积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】 【分析】(1)根据长轴两个端点分别为和离心率为,由求解;(2)设,则直线的斜率为,直线的斜率为,再由直线的交点,求得点N的坐标,进而得到直线的斜率,然后结合运算即可.【小问1详解】由题设知,,则,椭圆的方程:;【小问2详解】设,则.因为直线的斜率为,直线的斜率为,所以直线的方程为,所以点的坐标为.所以直线的斜率为.所以直线的斜率之积为:,则直线的斜率之积为定值.20.已知函数,(1)若,求的极值;(2)讨论的单调区间;(3)求证:当时,. 【答案】(1)极小值为,无极大值(2)答案见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)求导后,根据正负可确定单调性,由此可得极值;(2)求导后,分别在和情况下,根据正负可得单调性;(3)构造函数,求导后令,利用导数可求得单调性,从而得到恒成立,由此可得单调递减,进而由推导得到结论.【小问1详解】当时,,则其定义域为,;当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增;的极小值为,无极大值.【小问2详解】由题意得:定义域为,;①当时,,在上恒成立,的单调递增区间为,无单调递减区间;②当时,令,解得:,当时,;当时,;的单调递增区间为,单调递减区间为.综上所述:当时,的单调递增区间为,无单调递减区间;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.【小问3详解】 令,则,令,则;当时,恒成立,在上单调递减,,在上恒成立,在上单调递减,,即当时,.【点睛】思路点睛:本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到利用导数求解函数的极值、讨论含参数函数单调性和不等式证明的问题;本题证明不等式的基本思路是通过构造函数的方式,将问题转化为函数最值的求解问题.
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高考 - 模拟考试
发布时间:2023-07-13 12:30:02
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