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浙江省宁波市2022-2023学年高二数学下学期期末试题(A)(Word版附解析)

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宁波市2022学年第二学期高二期末考试试卷数学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数的值域是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的知识可直接选出答案.【详解】函数的值域是故选:B【点睛】本题考查的是指数函数的值域,较简单.2.设,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】 解得:,问题得解【详解】由得:.所以“”不能推出“”,“”“”所以“”是“”的必要不充分条件.故选B【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念,属于基础题.3.已知点F为抛物线的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为,则该抛物线的准线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得抛物线标准方程,再去求其准线方程即可解决.【详解】抛物线的焦点,由,可得,不妨令则,解之得则抛物线方程为,其准线方程为故选:B4.已知平面向量,,当和垂直时,()A.B.22C.D.25【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示求出,再根据向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】,当和垂直时,则,解得,所以,, 所以.故选:D.5.已知函数,若函数有9个零点,则实数k的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用转化与化归思想将有9个零点的问题转化成与有9个不同交点问题,再分别画出两个函数的图象,利用数形结合求解.【详解】由题意,函数有9个零点,可转化为与有9个不同交点.因当有,所以在上是周期函数,又当时,有,,所以在上的图象如图所示要使与有9个不同交点,则只需夹在与之间即可, 所以,解得或.故选:A.【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围,处理这类题目要注意,通常转化为函数与函数交点的问题来处理,利用数形结合求解,本题是一道中档题.6.椭圆:有一特殊性质,从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后,经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2,且,当时,椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为:()A.1B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】设过点切线为,分别做于点,做交轴于点,设,入射角和反射角相等得,利用中位线可得,再根据,可得答案,【详解】设过点的切线为,分别做于点,做交轴于点,所得是梯形的中位线,设,入射角和反射角相等,则,则,因为,当为上顶点时,为,因为,,所以,即,, ,故选:C.7.已知函数,则的解集是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式,作出函数图象,继而作出的图象,数形结合,求得不等式的解集.【详解】根据题意当时,,当时,,作出函数的图象如图, 在同一坐标系中作出函数的图象,由图象可得不等式解集,故选:C【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是正确的作出函数的图象,数形结合,求得不等式解集.8.如图,直角梯形,,,,是边中点,沿翻折成四棱锥,则点到平面距离的最大值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面.作于,作于,连,可证得平面.然后作于,可得即为点到平面的距离.在中,根据等面积法求出的表达式,再根据基本不等式求解可得结果.【详解】由翻折过程可得,在如图所示的四棱锥中,底面为边长是1的正方形,侧面中,,且. ∵,∴平面.作于,作于,连,则由平面,可得,∴平面.又平面,∴.∵,,∴平面.在中,作于,则平面.又由题意可得平面,∴即为点到平面的距离.在中,,设,则,∴.由可得,∴,当时等号成立,此时平面,综上可得点到平面距离的最大值为.故选B.【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算,解题的关键是作出表示点面距的垂线段,另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键.在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解,此时需要注意等号成立的条件,本题难度较大. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据(单位:)绘制如下折线图,那么下列叙述正确的是()A.5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B.9号的最高气温与最低气温的差值最大C.最高气温的众数为D.5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大【答案】AC【解析】【分析】根据最低气温以及最高气温的折线图,结合选项即可逐一求解.【详解】由5号到11号的最低气温的散点分布是从左下到右上可知:最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关,故A正确,由图可知6号的最高气温与最低气温的差值最大,故B错误,最高气温出现了两次,其他数据出现为1次,故是最高气温众数,故C正确,5号到15号的最低气温的极差小于,5号到15号的最高气温的极差约等于,故D错误,故选:AC10.已知,且则()A.B. C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式求解判断.【详解】对于选项A,(当且仅当时取等号),故选项A错误;对于选项B,(当且仅当时取等号),故选项B正确;对于选项C,,则,故选项C正确;对于选项D,,故D选项错误.故选:BC.11.电子通讯和互联网中,信号的传输、处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和或余弦函数)的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形,则()A.为周期函数,且最小正周期为B.为奇函数C.的图象关于直线对称D.的导函数的最大值为7【答案】BCD【解析】【分析】利用函数的性质逐项分析判断即可.【详解】.对于A,,不是的周期,故A错误; 对于B,的定义域为,为奇函数,故B正确;对于C,,且为奇函数,的图象关于直线对称,故C正确;对于D,,当时,,取最大值7,故D正确.故选:BCD.12.已知函数,若时,有,是圆周率,为自然对数的底数,则下列结论正确的是()A.的图象与轴有两个交点B.C.若,则D.若,,,,,,则最大【答案】BCD【解析】【分析】根据导数判断的单调性及与轴的交点和极值可判断AB选项;由的图象及,,可知,再根据和在上单调递增可判断C选项;由指数函数单调性和幂函数单调性可知,,由及的单调性可判断D选项.【详解】的定义域为,且,当,即时,单调递增;当,即时,单调递减,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.由于时,,且当时,,故只有一个零点,所以A选项不正确; 由于的单调性,可得,所以B选项正确;由的单调区间,可画出函数的简图.由,,可知,.因为在上单调递减,可知,故有.因为在上单调递增,所以.综上,有,所以C选项正确;因为,由指数函数单调性可知,,,;由幂函数单调性可知,,,,即有,,故这6个数的最大数在与之中,最小数在与之中.由及的单调性,有,即.由,可得,即,所以;同理可得.综上可得,6个数中最大数是,最小数是,所以D选项正确,故选:BCD.【点睛】本题考查了函数的性质,解题的关键点是利用导数判断函数的单调性和极值,考查了学生分析问题、解决问题的能力.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13已知集合,若,则___________.【答案】{3,4,5}.【解析】【分析】根据求出m,进而求出A,B,最后求出并集.【详解】因为,所以,即,则,于是.故答案为:. 14.圆心在原点且与直线相切的圆的方程为______________.【答案】【解析】【分析】利用圆心到直线的距离为半径时直线与圆相切,可得半径,从而求出圆的方程.【详解】因为所求圆与直线相切且圆心坐标为,所以可得半径,因此可得圆心在原点且与直线相切的圆的方程是.故答案为:.15.已知数列的各项均为正数,记为的前项和,若,,则使不等式成立的的最小值是________.【答案】11【解析】【分析】由可得数列{an}是等比数列,利用等比数列求和公式计算,解不等式即可.【详解】由可得,则()()=0,又数列的各项均为正数,∴,即,可得数列{an}是首项为公比为q=2的等比数列,∴,则n>10,又,∴n的最小值是11,故答案为11.【点睛】本题考查了数列递推关系的应用,考查了等比数列的判断及求和公式,考查了指数不等式的解法,属于中档题.16.如图,在四面体中,,,两两垂直,,以为球心,为半径作球,则该球的球面与四面体各面交线的长度和为___. 【答案】【解析】【分析】先求出到平面的距离,判断球体与各个面的相交情况,再计算求解即可.【详解】因为,所以是边长为的等边三角形,所以边长为的等边三角形的高为:,所以,设到平面的距离为,,所以,所以,解得,则,所以以为球心,为半径的球与平面,平面,平面的交线为个半径为的圆的弧线,与面的交线为一个圆,且圆的半径为,所以交线总长度为:.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在图1中,四边形为梯形,,,,,过点A作,交于.现沿将折起,使得,得到如图2所示的四棱锥,在图2中解答下列两问: (1)求四棱锥的体积;(2)若F在侧棱上,,求证:二面角为直二面角.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理确定高,再用体积公式直接求解;(2)利用空间向量的坐标运算,证明两平面的法向量数量积等于0即可.【小问1详解】在图1中,∵,∴,又,∴,又,∴四边形为平行四边形,∵,∴平行四边形为菱形.在图2中,连接,则,又平面,,∴平面,∵平面,∴∵,平面,∴平面 【小问2详解】在图2中,以为原点,以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系,则,,,,设面的一个法向量为,由令,则,取设面的一个法向量为,由令,则,取所以,∴,从而二面角为直二面角18.在平面四边形中,,,,.(1)求;(2)若为锐角三角形,求的面积的取值范围.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】(1)在中,由正弦定理可得,从而求得.(2)解法一:由(1)求得,,从而,再利用,即可求得面积的取值范围;解法二:作于,作于,交于,求得,,,分别求出,,利用即可求得范围.【小问1详解】在中,由正弦定理可得,所以,又,所以.【小问2详解】解法一:由(1)可知,,因为为锐角,所以,所以, 在中,由正弦定理得,所以,,因为,且为锐角三角形,所以,所以,所以,所以,所以,即,所以的面积的取值范围为. 解法二:由(1)可知,,因为为锐角,所以,,如图,作于,作于,交于,所以,,所以,又,所以.由图可知,仅当在线段上(不含端点)时,为锐角三角形,所以,即.所以面积的取值范围为. 19.在中,角,,所对的边分别为,,若且.(1)求的值;(2)若且的面积为,求的周长.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据,由正弦定理结合两角和的正弦公式得到,则,然后由求解.(2)由3得到,从而,又的面积为,结合(1)求得a,c,再利用余弦定理求得b即可.【详解】(1)因为,所以由正弦定理得,所以,即.因为且,所以所以(2)因为3,所以,即,所以又, 所以,则.由余弦定理,得,即.所以的周长为.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和面角公式的应用以及两角和与差的三角函数的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20.如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成,点为弧的中点,且、、、四点共面.(1)证明:平面平面;(2)若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)若要证明面面垂直,只要证明其中一个面内直线垂直于另一个平面即可,结合图像,利用线面关系即可得解;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法,求出各个面的法向量,利用向量的夹角公式,即可得解.【详解】(1)如图,连接, 因为几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成,所以,,,因为,,所以四边形为平行四边形,,,因为平面,平面,所以,因为,所以平面,因为因为平面,所以平面平面.(2)如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则、、、、,,,,,设平面的一个法向量为,则,整理得,令,则, 设平面的一个法向量为,则,整理得,令,则,,所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何的面面垂直的证明,考查了求二面角的大小,计算量较大,属于中档题,本题的关键有:(1)通过线面关系得到线面垂直,从而得到面面垂直;(2)建系,利用方程求法向量,精确计算,这是求二面角的关键.21.已知,.若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】.【解析】【分析】解不等式,由题可得是的真子集,进而即得.【详解】由题可得,.∵是的充分不必要条件,∴是的真子集,故有或,解得,因此,所求实数的取值范围为.22.已知函数.(1)若函数在R上是增函数,求实数a的取值范围; (2)如果函数恰有两个不同的极值点,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)问题转化为对恒成立.求导后分离参数得到,设,利用导数研究单调性,求得最小值,根据不等式恒成立的意义得到所求范围;(2)由,为两个极值点不妨设,联立极值点的条件,并结合要证不等式,消去a,将要证不等式转化为只含有,的不等式,适当变形转化为只含有的不等式,作换元,转化为关于t的不等式,构造函数,利用导数研究单调性,进而证明即可.【详解】(1)是上是增函数,,,设则,令解得,解得,故在单调递减,在单调递增,,;(2)依题意可得:,,是极值点,∴,两式相减可得:,所证不等式等价于:,不妨设,两边同除以可得:,令, 所证不等式只需证明:,设,,由(1)可知:当时,恒成立,成立,即,可得:,在单调递减,,原不等式成立即.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-07-12 06:36:01 页数:24
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文章作者:随遇而安

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