2023八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第1课时课件（人教版）

第1课时12.3角的平分线的性质九年级上册RJ初中数学 角平分线的概念:一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.OABC如图，OC是∠AOB的平分线.∠AOC=∠BOC=∠AOB.知识回顾 1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.2.探究并证明角平分线的性质.3.会用角平分线的性质解决实际问题.学习目标 思考：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.ADBCE课堂导入你能说明它的道理吗？ ADBCE理由如下：如图构成了△ADC和△ABC，∵在△ADC和△ABC中，AD=AB，AC=AC，DC=BC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC.∵点C在射线AE上，∴AE是这个角的平分线.课堂导入 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.知识点1作已知角的平分线新知探究CBNOMA（3）画射线OC，射线OC即为所求. 注意：（1）以“适当长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.（2）“以大于MN的长为半径画弧”是因为小于MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径画弧时不容易操作.CBNOMA （3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.CBNOMA 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.知识点2角平分线的性质新知探究 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：（1）“点”是指角的平分线上任意位置的点；（2）“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度. 几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.∴PD=PE. 例如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE.更多同类例题见《教材帮》数学RJ八上12.3节新知课 证明几何命题的一般步骤：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.知识点3证明几何命题的一般步骤新知探究 注意：（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，依据可以是已知条件、定义、定理等. 例1求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相等.解：已知：如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.跟踪训练新知探究可先将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后确定已知和求证 证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.∵BE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF. 例2填空：下列结论一定成立的是（）①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE.②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE.OBACPD图2EOBACPD图1E┐┐（PD，PE不是角平分线上的点到角两边的距离）(OC不一定是∠AOB的平分线) ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D.若PD=3，则点P到OA的距离为3.OBACPD图3（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）所以一定成立的是③. 1.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F.求证：EB=FC.证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，DE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴EB=FC.CABDFE┐┐随堂练习 2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=ODB 解析：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD.在Rt△OCP和Rt△ODP中，∵OP=OP，PC=PD，∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）.∴∠CPO=∠DPO，OC=OD. 角的平分线的性质会用尺规作图法画出一个已知角的平分线性质应用角的平分线上的点到角的两边的距离相等利用角的平分线的性质解决实际问题课堂小结 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB的周长为（）A.10cmB.7cmC.8cmD.不能确定拓展提升 解析：在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC.∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8cm.