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河北省秦皇岛市部分学校2023届高三数学二模联考试题(Word版附解析)

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河北省2023届高三第二次高考模拟演练数学一、单项选择题∶本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数,则()A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法几何意义求复数的模.【详解】由.故选:B2.若集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求函数定义域、解一元二次方程求集合,由集合交运算求.【详解】由题设,,或,所以.故选:A3.已知数列满足,其前n项和为,若,则()A.B.0C.2D.4【答案】C【解析】【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列,再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解. 【详解】根据题意,可得数列为等差数列,所以,所以,所以,所以故选:C.4.已知,函数在区间上单调递减,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间,然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.【详解】由,得,即函数的单调递减区间为,令,则函数其中一个的单调递减区间为:函数在区间内单调递减,则满足,得,所以的取值范围是.故选:D.5.某学校为了搞好课后服务工作,教务科组建了一批社团,学生们都能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生,恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入,按学校规定每人只能加入一个社团,则甲进街舞社团,乙进书法社团或摄影社团的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】先利用排列计算出总的种数,再计算出甲进街舞社团,乙进书法社团或摄影社团的种数,最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种,其中甲进街舞社团,乙进书法社团或摄影社团有种,由古典概型的概率计算公式可得,按学校规定每人只能加入一个社团,则甲进街舞社团,乙进书法社团或摄影社团的概率为,故选:C.6.已知正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为,点P为此三棱锥各顶点所在球面上的一点,则点P到平面SAB的距离的最大值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】画图分析,构造三角形求出相应的量,利用正弦定理和余弦定理求相应的量,分析点P到平面SAB的距离的最大值即可.【详解】如图1,设正三棱锥的底面外接圆的圆心为,外接球的球心为,为的中点,的外接圆的圆心为,所以在正三棱锥中有:平面,平面,因为为等边三角形, 所以为的重心,且边长为3,所以,因为平面,平面,所以,所以在中,,设,所以在中,,所以,在中,,所以,由正弦定理得:,又平面,平面,所以,所以在中,,由图2: 当共线时,点P到平面SAB的距离有最大值为:,故选:B.7.若,则的大小关系为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设根据单调性可得,再利用不等式的性质可得,设,确定其的单调性,即可得,从而可得答案.【详解】设,则恒成立,所以函数在上单调递减,则,即,所以,于是有,即;设,,时,,设,则,时,,所以是减函数,所以恒成立,所以在时是减函数,并且,所以时,,所以.综上,.故选:A.8.已知F1,F2分别是双曲线C:左、右焦点,点P在双曲线上,,圆O:,直线PF1与圆O相交于A,B两点,直线PF2与圆O相交于M,N两点.若四边形AMBN的面积为,则C的离心率为()A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】设,,有,,,由弦长公式可得,,四边形AMBN的面积为,解得,可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限,如图所示,圆O:,圆心为,半径为,设,,点P在双曲线上,,则有,,可得,过O作MN的垂线,垂足为D,O为的中点,则,,同理,,由,四边形AMBN的面积为,,化简得,则有,则C的离心率.故选:D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有两个或两个以上选项符合题目要求,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分. 9.下列结论正确的是()A.数据64,91,72,75,85,76,78,86,79,92的第60百分位数为79B.若随机变量服从二项分布,则C.若随机变量服从正态分布,,则D.某校三个年级,高一有400人,高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人,已知从高一抽取了20人,则应从高三抽取19人【答案】BCD【解析】【分析】根据百分位数的定义判断A,根据二项分布的定义判断B,根据正态分布的性质判断C,根据分层抽样的性质判断D.【详解】对于A,将样本数据按从小到大排列可得,因为,所以样本数据的第60百分位数为,A错误;对于B,因为服从二项分布,所以,B正确;对于C,服从正态分布,因为,所以,所以,C正确;对于D,设从高二抽取人,由分层抽样性质可得,所以,所以高三应抽取的人数为(人),D正确;故选:BCD.10.已知a,b为实数,且,则下列不等式正确的是()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的性质可判断A错误;由基本不等式的应用计算可得B正确;利用作差法可知选项 C正确;根据基本不等式计算可得当时,成立,但显然,即D正确.【详解】对于A,由,可知,,且,由不等式性质可得,所以,即A错误.对于B,,当且仅当,即时取等号,B正确.对于C,作差可得,所以,C正确.对于D,,当且仅当,即时取等号,显然取不到等号,D正确.故选:BCD.11.函数与的定义域为,且.若的图像关于点对称.则()A.的图像关于直线对称B.C.的一个周期为4D.的图像关于点对称【答案】AC【解析】【分析】根据条件可得,即可判断A,然后可得,即可判断B,由条件可得,即可判断C,举特例可判断D.【详解】A选项:由,得,又,所以的图像关于对称,A选项正确;B选项:由的图像关于点对称,得,由选项结论知 ,所以,从而,故,即的一个周期为4,因为,所以B选项错误;C选项:由,及,则,得,函数的周期为C选项正确;D选项:取,又,与的图像关于点对称矛盾,D选项错误,故选:AC.12.已知正方体的棱长为2,棱AB的中点为M,点N在正方体的内部及其表面运动,使得平面,则()A.三棱锥的体积为定值B.当最大时,MN与BC所成的角为C.正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等D.若,则点N的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】首先利用平面的基本性质确定点所在平面,且面面 ,构建空间直角坐标系,求面的一个法向量,应用向量法求到面的距离,进而求三棱锥的体积判断A;找到最大时MN与BC所成角的平面角即可判断B;判断,,与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可判断C;N的轨迹是以为球心的球体被面所截的圆,进而求周长判断D.【详解】过中点作与交,作与交,重复上述步骤,依次作的平行线与分别交于(注意各交点均为各棱上的中点),最后依次连接各交点,得到如下图示的正六边形,因为,面,面,所以面,同理可得面,因为,面,所以面面,所以面中直线都平行于面,又面,且平面,所以面,即面,根据正方体性质,可构建如下图示的空间直角坐标系,则,,,,且,,,,,,A:由上分析知:面任意一点到面的距离,即为到面的距离,而,,若为面的一个法向量,所以,令,则,而,所以到面的距离,即到面的距离为, 又△为等边三角形,则,所以三棱锥的体积为定值,正确;B:由图知:当与重合时最大为,且,所以MN与BC所成的角,即为,错误;C:由正方体性质,只需判断各侧面的法向量,,与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可,又,同理可得,所以正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等,正确;D:若,则点N的轨迹是以为球心的球体被面所截的圆,因为面面,故也是面的法向量,而,所以到面的距离为,故轨迹圆的半径,故点N的轨迹长度为,正确.故选:ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示,忽略杯盏的厚度,这只杯盏的轴截面如图2所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm,则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.【答案】【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为轴,建立直角坐标系,设抛物线的标准方程为,根据题意得到点的坐标,代入求出参数的值,即可得解. 【详解】如图,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为轴,建立直角坐标系,依题意可得的坐标为,设抛物线的标准方程为,则,解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.故答案为:14.莱洛三角形,也称圆弧三角形,是一种特殊三角形,在建筑、工业上应用广泛,如图所示,分别以正三角形的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形,已知两点间的距离为2,点为上的一点,则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为,再利用三角形的几何意义求解即可.【详解】设为的中点,为的中点,如图所示,则, 在正三角形中,,所以,所以,因为,所以,所以的最小值为:.故答案为:.15.2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”.“大雪”标志着仲冬时节正式开始,该节气的特点是气温显著下降,降水量增多,天气变得更加寒冷.“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等.东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球,准备对它进行切割,制作一个正六棱柱模型,设M为的中点,当削去的雪最少时,平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为______平方分米.【答案】【解析】【分析】设正六棱柱的底面边长为a,高为h,表示出球的内接正六棱柱体积,利用导数求体积最大值,求得,,利用图形找到截面,求截面面积.【详解】设正六棱柱底面边长为a,高为h.若要使该正六棱柱的体积最大,正六棱柱应为球的内接正六棱柱中体积最大者,所以,即,又,所以该正六棱柱的体积为.设,,则,令,得. ,解得,,解得,在上单调递增,在上单调递减,所以,即,时V取得最大值.过M作,交于点P,交于点Q,则P,Q分别是,的中点,又,所以,则矩形ACQP即为平面ACM截该正六棱柱所得的截面.因为,且,所以矩形ACQP的面积为.故答案为:16.已知定义在R上的偶函数满足,,若,则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】根据题设条件可得为周期为4的偶函数,进而有,目标不等式化为,构造并利用导数研究其单调性,即可求解集.【详解】由为偶函数知:,又,所以,即,故为周期为4的偶函数,所以, 由可化为,令,则,故在R上递减,又即,所以,可得解集为.故答案为:【点睛】关键点点睛:首先要推出为周期为4的偶函数,再将不等式化为,构造函数研究单调性为关键.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,角的对边分别为,已知,且.(1)求的外接圆半径;(2)求内切圆半径的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理及余弦定理求得,由求;(2)由正弦定理求的范围,再用求得后即可求的取值范围.【小问1详解】由正弦定理,,可得再由余弦定理,,又,所以.因为,所以.【小问2详解】由(1)可知:,则. 则.在中,由正弦定理,,所以,则,又,所以,所以,,所以.18.如图,在三棱锥中,为的内心,直线与交于,,.(1)证明:平面平面;(2)若,,,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)设平面,垂足为,作于,于,连接 ,先证明,从而可证得,从而可得点为的内心,即两点重合,再根据面面垂直的判定定理即可得证;(2)如图,以点为原点建立空间直角坐标系,利用等面积法求得内切圆的半径,再利用勾股定理求得,即可得的坐标,再利用向量法求解即可.【小问1详解】设平面,垂足为,作于,于,连接,因为平面,平面,所以,又平面,所以平面,又平面,所以,因为平面,所以平面,又平面,所以,在和中,因为,所以,所以,在和中,,所以,所以,即点到的距离相等,同理点到的距离相等,所以点为的内心,所以两点重合,所以平面,又因平面,所以平面平面;【小问2详解】如图,以点为原点建立空间直角坐标系,则,设内切圆的半径为,则 即,解得,故,则,则,设平面的法向量,则,可取,设平面的法向量,则,可取,则,由图可得二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.19.随着国民旅游消费能力的提升,选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多.伴随着我国疫情防控形势趋向平稳,被“压抑”已久的出行需求持续释放,“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆,为旅游行业发展注入新活力,旅游预订人数也开始增多,为了调查游客预订与年龄是否有关,调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查,其中有200名游客预定了,这200名游客中各年龄段所占百分比见图: 已知在所有调查游客中随机抽取1人,抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为.(1)请将下列2×2列联表补充完整.预订旅游不预订旅游合计19-35岁18岁以下及36岁以上合计能否在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为旅游预订与年龄有关?请说明理由.(2)将上述调查中的频率视为概率,按照分层抽样的方法,从预订旅游客群中选取5人,在从这5人中任意取2人,求2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率.附:,其中.0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析,能在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为旅游顸订与年龄有关(2)【解析】【分析】(1)根据题意完善列联表,根据表中数据求,并与临界值比较分析;(2)根据分层抽样求每层抽取人数,再结合古典概型运算求解.【小问1详解】预定旅游中,19-35岁年龄段的人数为:人, 18岁以下及36岁以上人数为人.在所有调查对象中随机抽取1人,抽到不预订的旅游客群在19~35岁年龄段的人的概率为,故不预订旅游客群19~35岁年龄段的人为:人,18岁以下及36岁以上人数为人.所以列联表中的数据为:预订旅游不预订旅游合计19~35岁1207519518岁以下及36岁以上80125205合计200200400,则能在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为旅游顸订与年龄有关.【小问2详解】按分层抽样,从预定旅游客群中选取5人,其中在19-35岁年龄段的人数为,分别记为:A,B,C;18岁以下及36岁以上人数为2人,分别记为:a,b.从5人中任取2人,则有:,共有10种情况其中恰有1人是19-35岁年龄段的有:,共6种情况,故2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率为:.20.已知数列的首项,前n项和为,且满足.(1)求及;(2)若满足,求的最大值.【答案】(1);(2)5 【解析】【分析】(1)利用退位相减法,求得数列的递推关系,进而判断出数列为等比数列,从而求得通项公式(2)利用(1)的结论,可求得以及,化简,即可求解【小问1详解】由,得.因为,所以.又①,②,①②得即.又,所以数列是以为首项,为公比的等比数列.故.【小问2详解】由(1)可得,所以.因此.令,得,即,所以且,故的最大值为5.21.已知函数(1)若是的一个极值点,求的最小值;(2)若函数有两个零点,求的取值范围.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】(1)求出函数的导函数,依题意可得,即可求出参数的值,从而求出函数的单调区间,即可求出函数的最小值;(2)方法一:求出的解析式,即可求出导函数,即可求出函数的单调区间,依题意可得,,即可得到,再利用导数求出函数的值域,即可求出的取值范围;方法二:依题意可得有两个解,利用同构式,设函数,问题等价于方程有两个解,由导数说明函数的单调性,即可得到方程有两个解,设,,即有两个解,再构造函数,利用导数求出参数的取值范围,从而求出的取值范围.【小问1详解】因为,所以,因为是函数的一个极值点,所以,解得,经检验符合题意,所以,所以当时,当时,因此在上单调递减,在上单调递增,所以当时,有极小值即最小值;【小问2详解】方法一:因为,所以,则在上单调递增,记,当时,, 当时,,记,当时,;当时,;所以存在唯一的,使得,当时,,当时,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,若函数有两个零点,只需,即,又,即,则,设,则为增函数,,所以当时,,则,即,令,,则在上单增,由得,所以,所以的取值范围是方法二:若有两个零点,即有两个解, 即有两个解,利用同构式,设函数,问题等价于方程有两个解,恒成立,即单调递增,所以,问题等价于方程有两个解,即有两个解,设,,即有两个解,令,问题转化为函数有两个零点,因为,当时,,当时,,则在上递增,在上递减,为了使有两个零点,只需,解得,即,解得,由于,所以在和内各有一个零点.综上知的取值范围是【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.22.已知椭圆的离心率为,三点中恰有两个点在椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)若C的上顶点为E,右焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点(与椭圆顶点不重合),直线EA,EB分别交直线于P,Q两点,求面积的最小值. 【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据对称性得到和在C上,得到,再根据离心率得到答案;(2)设直线,联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系,计算的横坐标,得到,设,,,计算最值即可.【小问1详解】由椭圆的对称性可知点和在C上,代入方程得.设C的半焦距为,则离心率为,所以,所以,解得,以椭圆C的方程为.【小问2详解】设,,,设直线.由消去x得,所以,设点,直线EA方程为,由与联立得,同理可得.所以 .整理得,因为点到直线的距离,所以.设,则,所以,当,即时,.【点睛】关键点睛:本题考查了求椭圆方程,椭圆中的面积的最值问题,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中根据设而不求的思想,利用韦达定理得到根与系数的关系,利用换元法求最值是解题的关键.

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发布时间:2023-07-04 16:39:03 页数:27
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文章作者:随遇而安

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