河北省秦皇岛市部分学校2023届高三数学二模联考试题（Word版附解析）

河北省2023届高三第二次高考模拟演练数学一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法几何意义求复数的模.【详解】由.故选：B2.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求函数定义域、解一元二次方程求集合，由集合交运算求.【详解】由题设，，或，所以.故选：A3.已知数列满足，其前n项和为，若，则（）A.B.0C.2D.4【答案】C【解析】【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解. 【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以，所以，所以故选：C．4.已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.【详解】由，得，即函数的单调递减区间为，令，则函数其中一个的单调递减区间为：函数在区间内单调递减，则满足，得，所以的取值范围是.故选：D.5.某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为，故选：C.6.已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，点P为此三棱锥各顶点所在球面上的一点，则点P到平面SAB的距离的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】画图分析，构造三角形求出相应的量，利用正弦定理和余弦定理求相应的量，分析点P到平面SAB的距离的最大值即可.【详解】如图1，设正三棱锥的底面外接圆的圆心为，外接球的球心为，为的中点，的外接圆的圆心为，所以在正三棱锥中有：平面，平面，因为为等边三角形， 所以为的重心，且边长为3，所以，因为平面，平面，所以，所以在中，，设，所以在中，，所以，在中，，所以，由正弦定理得：，又平面，平面，所以，所以在中，，由图2： 当共线时，点P到平面SAB的距离有最大值为：，故选：B.7.若，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设根据单调性可得，再利用不等式的性质可得，设，确定其的单调性，即可得，从而可得答案．【详解】设，则恒成立，所以函数在上单调递减，则，即，所以，于是有，即；设，，时，，设，则，时，，所以是减函数，所以恒成立，所以在时是减函数，并且，所以时，，所以．综上，．故选：A．8.已知F1，F2分别是双曲线C：左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，圆O：，圆心为，半径为，设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，同理，，由，四边形AMBN的面积为，，化简得，则有，则C的离心率.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是（）A.数据64，91，72，75，85，76，78，86，79，92的第60百分位数为79B.若随机变量服从二项分布，则C.若随机变量服从正态分布，，则D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人【答案】BCD【解析】【分析】根据百分位数的定义判断A，根据二项分布的定义判断B，根据正态分布的性质判断C，根据分层抽样的性质判断D.【详解】对于A，将样本数据按从小到大排列可得，因为，所以样本数据的第60百分位数为，A错误；对于B，因为服从二项分布，所以，B正确；对于C，服从正态分布，因为，所以，所以，C正确；对于D，设从高二抽取人，由分层抽样性质可得，所以，所以高三应抽取的人数为（人），D正确；故选：BCD.10.已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的性质可判断A错误；由基本不等式的应用计算可得B正确；利用作差法可知选项 C正确；根据基本不等式计算可得当时，成立，但显然，即D正确.【详解】对于A，由，可知，，且，由不等式性质可得，所以，即A错误．对于B，，当且仅当，即时取等号，B正确．对于C，作差可得，所以，C正确．对于D，，当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D正确．故选：BCD．11.函数与的定义域为，且.若的图像关于点对称.则（）A.的图像关于直线对称B.C.的一个周期为4D.的图像关于点对称【答案】AC【解析】【分析】根据条件可得，即可判断A，然后可得，即可判断B，由条件可得，即可判断C，举特例可判断D.【详解】A选项：由，得，又，所以的图像关于对称，A选项正确；B选项：由的图像关于点对称，得，由选项结论知 ，所以，从而，故，即的一个周期为4，因为，所以B选项错误；C选项：由，及，则，得，函数的周期为C选项正确；D选项：取，又，与的图像关于点对称矛盾，D选项错误，故选：AC.12.已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（）A.三棱锥的体积为定值B.当最大时，MN与BC所成的角为C.正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等D.若，则点N的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】首先利用平面的基本性质确定点所在平面，且面面 ，构建空间直角坐标系，求面的一个法向量，应用向量法求到面的距离，进而求三棱锥的体积判断A；找到最大时MN与BC所成角的平面角即可判断B；判断，，与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可判断C；N的轨迹是以为球心的球体被面所截的圆，进而求周长判断D.【详解】过中点作与交，作与交，重复上述步骤，依次作的平行线与分别交于（注意各交点均为各棱上的中点），最后依次连接各交点，得到如下图示的正六边形，因为，面，面，所以面，同理可得面，因为，面，所以面面，所以面中直线都平行于面，又面，且平面，所以面，即面，根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，且，，，，，，A：由上分析知：面任意一点到面的距离，即为到面的距离，而，，若为面的一个法向量，所以，令，则，而，所以到面的距离，即到面的距离为， 又△为等边三角形，则，所以三棱锥的体积为定值，正确；B：由图知：当与重合时最大为，且，所以MN与BC所成的角，即为，错误；C：由正方体性质，只需判断各侧面的法向量，，与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可，又，同理可得，所以正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等，正确；D：若，则点N的轨迹是以为球心的球体被面所截的圆，因为面面，故也是面的法向量，而，所以到面的距离为，故轨迹圆的半径，故点N的轨迹长度为，正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.【答案】【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.故答案为：14.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，则， 在正三角形中，，所以，所以，因为，所以，所以的最小值为：.故答案为：.15.2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型，设M为的中点，当削去的雪最少时，平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为______平方分米．【答案】【解析】【分析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，表示出球的内接正六棱柱体积,利用导数求体积最大值,求得，，利用图形找到截面，求截面面积.【详解】设正六棱柱底面边长为a，高为h．若要使该正六棱柱的体积最大，正六棱柱应为球的内接正六棱柱中体积最大者，所以，即，又，所以该正六棱柱的体积为．设，，则，令，得． ，解得，，解得，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，时V取得最大值．过M作，交于点P，交于点Q，则P，Q分别是，的中点，又，所以，则矩形ACQP即为平面ACM截该正六棱柱所得的截面．因为，且，所以矩形ACQP的面积为．故答案为：16.已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】根据题设条件可得为周期为4的偶函数，进而有，目标不等式化为，构造并利用导数研究其单调性，即可求解集.【详解】由为偶函数知：，又，所以，即，故为周期为4的偶函数，所以， 由可化为，令，则，故在R上递减，又即，所以，可得解集为.故答案为：【点睛】关键点点睛：首先要推出为周期为4的偶函数，再将不等式化为，构造函数研究单调性为关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，角的对边分别为，已知，且.（1）求的外接圆半径；（2）求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.【小问1详解】由正弦定理，，可得再由余弦定理，，又，所以.因为，所以.【小问2详解】由（1）可知：，则. 则.在中，由正弦定理，，所以，则，又，所以，所以，，所以.18.如图，在三棱锥中，为的内心，直线与交于，，.（1）证明：平面平面；（2）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设平面，垂足为，作于，于，连接 ，先证明，从而可证得，从而可得点为的内心，即两点重合，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，利用等面积法求得内切圆的半径，再利用勾股定理求得，即可得的坐标，再利用向量法求解即可.【小问1详解】设平面，垂足为，作于，于，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，在和中，因为，所以，所以，在和中，，所以，所以，即点到的距离相等，同理点到的距离相等，所以点为的内心，所以两点重合，所以平面，又因平面，所以平面平面；【小问2详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设内切圆的半径为，则 即，解得，故，则，则，设平面的法向量，则，可取，设平面的法向量，则，可取，则，由图可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.19.随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多．伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见图： 已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为．（1）请将下列2×2列联表补充完整．预订旅游不预订旅游合计19-35岁18岁以下及36岁以上合计能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由．（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率．附：，其中．0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关（2）【解析】【分析】（1）根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值比较分析；（2）根据分层抽样求每层抽取人数，再结合古典概型运算求解.【小问1详解】预定旅游中，19－35岁年龄段的人数为：人， 18岁以下及36岁以上人数为人．在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在19~35岁年龄段的人的概率为，故不预订旅游客群19~35岁年龄段的人为：人，18岁以下及36岁以上人数为人．所以列联表中的数据为：预订旅游不预订旅游合计19~35岁1207519518岁以下及36岁以上80125205合计200200400，则能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．【小问2详解】按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，其中在19－35岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，b．从5人中任取2人，则有：，共有10种情况其中恰有1人是19－35岁年龄段的有：，共6种情况，故2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率为：．20.已知数列的首项，前n项和为，且满足．（1）求及；（2）若满足，求的最大值．【答案】（1）；（2）5 【解析】【分析】（1）利用退位相减法，求得数列的递推关系，进而判断出数列为等比数列，从而求得通项公式（2）利用（1）的结论，可求得以及，化简，即可求解【小问1详解】由，得．因为，所以．又①，②，①②得即．又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．故．【小问2详解】由（1）可得，所以．因此．令，得，即，所以且，故的最大值为5．21.已知函数（1）若是的一个极值点，求的最小值；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值；（2）方法一：求出的解析式，即可求出导函数，即可求出函数的单调区间，依题意可得，，即可得到，再利用导数求出函数的值域，即可求出的取值范围；方法二：依题意可得有两个解，利用同构式，设函数，问题等价于方程有两个解，由导数说明函数的单调性，即可得到方程有两个解，设，，即有两个解，再构造函数，利用导数求出参数的取值范围，从而求出的取值范围.【小问1详解】因为，所以，因为是函数的一个极值点，所以，解得，经检验符合题意，所以，所以当时，当时，因此在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值即最小值；【小问2详解】方法一：因为，所以，则在上单调递增，记，当时，， 当时，，记，当时，；当时，；所以存在唯一的，使得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，若函数有两个零点，只需，即，又，即，则，设，则为增函数，，所以当时，，则，即，令，，则在上单增，由得，所以，所以的取值范围是方法二：若有两个零点，即有两个解， 即有两个解，利用同构式，设函数，问题等价于方程有两个解，恒成立，即单调递增，所以，问题等价于方程有两个解，即有两个解，设，，即有两个解，令，问题转化为函数有两个零点，因为，当时，，当时，，则在上递增，在上递减，为了使有两个零点，只需，解得，即，解得，由于，所以在和内各有一个零点．综上知的取值范围是【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22.已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对称性得到和在C上，得到，再根据离心率得到答案；（2）设直线，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，计算的横坐标，得到，设，，，计算最值即可.【小问1详解】由椭圆的对称性可知点和在C上，代入方程得．设C的半焦距为，则离心率为，所以，所以，解得，以椭圆C的方程为．【小问2详解】设，，，设直线．由消去x得，所以，设点，直线EA方程为，由与联立得，同理可得．所以 ．整理得，因为点到直线的距离，所以．设，则，所以，当，即时，．【点睛】关键点睛：本题考查了求椭圆方程，椭圆中的面积的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，利用换元法求最值是解题的关键.