浙江省精诚联盟2022-2023学年高二数学下学期5月联考试题（Word版附解析）

高二年级数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出B集合的具体区间，再根据交集的求法求解.【详解】对于B集合，，即，；故选：C2若复数满足，则（）A.2B.2023C.D.1【答案】D【解析】【分析】先利用虚数单位的性质化简，从而解方程，结合复数的四则运算求得，再利用共轭复数的定义与模的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，即，故，则，故，，故选：D. 3.已知的展开式中含项的系数是－160，则为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】由二项展开式通项公式可得．【详解】由题意其展开式通项公式为，时，，由于是正整数，故解得，故选：B．4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若，，，估计的值约为（）A.0.2481B.0.3471C.0.4582D.0.7345【答案】C【解析】【分析】利用对数式与指数式的互化及换底公式即可求出的近似值．【详解】∵，，所以.故选：．5.已知均为单位向量且，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的模长结合向量的数量积的运算律可得，进而求投影向量.【详解】由题意，可得，因为，所以， 解得，所以在上的投影向量为.故选：B.6.从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的定义和古典概型计算.【详解】第一次取到的是偶数有：，共有种方法，在第一次是偶数的条件下，第二次取到的是3的倍数共有11种方法，；故选：A.7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】运用缩放法和对数的计算规则求解.【详解】设，则单调递增，，；，又，，即；故选：A.8.在三棱锥中，两两垂直，且，半径为1的球 在该三棱锥内部且与面､面､面均相切.若平面与球相切，则三棱锥的外接球被平面所截得的截面面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先推出球的截面面积与球心距离的关系，再根据条件将三棱锥看作正方体的一部分，求出外接球的球心和半径，运用前面推出的关系求解.【详解】设截面圆与球心的距离为h，球的半径为R，截面圆的半径为r，则，即h越大，截面的面积越小；由题意三棱锥是正方体的一部分，其外接球的球心为正方体对角线AH的中点，外接球的半径，则，如下图：以BC为x轴，BD为y轴，BA为z轴建立坐标系，则，，到球O球面上最远的点距离为，此时以最远点为切点的平面截外接球截面圆的半径为，即截面面积的最小值为；故选：C.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.下列命题正确的是（）A.“事件与事件相互独立”是“事件与事件相互独立”的充要条件B.样本空间中的事件与，“”是“事件与事件对立”的必要条件C.已知随机变量，若，则D.已知随机变量，且函数为偶函数，则【答案】ABD【解析】【分析】根据概率论中相关的定义和公式逐项分析.【详解】对于A，A与B相互独立即意味着A的发生与B无关，所以也与B无关，同时与B无关，则A也与B无关，所以是充分必要条件，正确；对于B，因为样本空间中只有A和B，并且A与B对立，所以，反之如果，并且，则A与B不是对立事件，即是A与B对立的必要条件，正确；对于C，根据二项分布的公式有，错误；对于D，根据偶函数的定义，有，即，正确；故选：ABD.10.已知函数，下列说法正确的是（）A.是该函数的一个单调递增区间B.函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C.若，则的最小值为D.若，函数在上有且仅有三个零点，则【答案】AD 【解析】【分析】，A选项，由正弦函数单调区间可判断选项正误；B选项，得到平移后的函数解析式，后由正弦函数对称轴可判断选项；由，要使最小，则可取为相邻的两个最值点，据此可判断选项正误；D选项，设，由，，结合在上有且仅有三个零点可得关于的不等式，即可判断选项正误.【详解】.A选项，，，因在上单调递增，则是该函数的一个单调递增区间，故A正确；B选项，函数的图象向右平移个单位长度后的函数解析式为，其对称轴满足，，不包含y轴，故B错误；C选项，若，要使最小，可取为相邻的两个最值点，此时为最小正周期的一半，即，故C错误；D选项，设，则，，因函数在上有且仅有三个零点，则，故D正确.故选：AD11.已知，下列不等式一定成立的有（）A.B.C.D.【答案】ACD 【解析】【分析】运用基本不等式逐项分析.【详解】对于A，原不等式等价于，，显然成立，正确；对于B，，由基本不等式知：，错误；对于C，，当且仅当即时等号成立，正确；对于D，，由基本不等式知：，当且仅当即时等号成立，正确；故选：ACD.12.定义在上的函数满足：的图象关于对称，，则（）A.B.5是函数的一个零点C.D，其中【答案】ABD【解析】【分析】利用换元法得出的图象关于点对称，，所以，直接判断A，然后用赋值法确定函数值判断BC，得出成等差数列，成等差数列，公差为，计算后判断D．【详解】设，由题意的图象关于点对称， 所以，从而，令，则有，即，所以的图象关于点对称，，所以，A正确；又，，，，，所以，因此，B正确；由以上推理得，若，则有，也符合题意，即不一定为0，C错；，，，，则，，所以成等差数列，公差为，成等差数列，公差为，所以，，D正确，故选：ABD．【点睛】方法点睛：抽象函数的求值方法主要是通过赋值法得出函数值，一是利用抽象函数满足的条件通过赋值得出函数可能具有的性质，如奇偶性、周期性、对称性，二是通过赋值得出特殊的函数值，或函数值之间的关系，如本题中的等差数列，然后结合题中要求进行判断求解．三､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，分别表示众数､平均数､中位数，则中最小值为__________. 【答案】【解析】【分析】将所给的直方图近似看作为一个梯形，再根据众数，平均数和中位数的定义求解.【详解】将所给的直方图近似看作为一个梯形，则众数m出现在最大的矩形（即从左边数第6个矩形）内，平均数n出现在从左边数第4个矩形内，中位数p必须保证中位数p两边矩形面积相等，所以出现在从左边数第5个矩形内，所以n最小；故答案为：n.14.已知在中，为平面内一点，则的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】先用余弦定理求出，建立坐标系，再用坐标的方法求解.【详解】由余弦定理得：，以B点为原点，BC为x轴，建立直角坐标系如图，则A点的横坐标为，纵坐标为， 即，设，则，，当时，上式最小=-6；故答案为：.15.某节目录制现场要求三位选手回答六道题，已知每位选手至少答一题，且不能连续答三题，每题限一人答题，则不同答题方案有__________种.【答案】【解析】【分析】将三个人进行编号，通过分析三个人的符合要求的做题量，即可求出不同的答题方案的种类.【详解】由题意，三位选手回答六道题，已知每位选手至少答一题，且不能连续答三题，每题限一人答题，设三位选手分别的编号为，∴三个人可能做题量有以下几种情况：①三人做题量为：，此时有种方法②三人做题量为：，此时一个人必须有间隔，一人不能出现做题，此时有种方法③三人做题量为：，此时有种方法，∴共有种方法.16.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】依题意可同构成恒成立，令，问题等价于 恒成立，利用导数说明函数的单调性，考虑到，则只需恒成立，参变分离可得，再令，，利用导数求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围，即可得解.【详解】因为对任意，不等式恒成立，所以恒成立，显然，所以恒成立，即恒成立，令，则问题等价于恒成立，又，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又，当时，因为，所以，所以只需恒成立，所以，令，，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，则，所以，所以实数的最小值是.故答案为：【点睛】关键点睛：本题解答的关键是通过将式子变形同构成，再构造函数，将问题转化为恒成立.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在中，的中点为，把绕旋转一周，得到一个旋转体. （1）求旋转体的体积；（2）设从点出发绕旋转体一周到达点的最近路程为，探究与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】（1）过作于，得到旋转体由两个同底圆锥组成，求出其半径和高，利用圆锥体积公式即可；（2）得到展开的扇形，求出其圆心角，再利用余弦定理即可得到答案.【小问1详解】旋转体由两个同底的圆锥组成，过作于，则，，，【小问2详解】把圆锥沿展开得到一扇形，则.从沿旋转体表面一周到达的最短路程：.，所以从沿旋转体表面一周到达的最短路程大于.18.人工智能正在改变我们世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：ChatGPT应用的广泛性服务业就业人数的合计减少增加广泛应用601070没广泛应用402060合计10030130（1）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）没有（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比判断；（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望.【小问1详解】零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.根据表中数据得，所以根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.【小问2详解】由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，则的可能取值为，又，所以的分布列为123所以.19.已知在锐角中，内角所对的边分别是，且.（1）求；（2）记面积为，求的取值范围.【答案】（1）60°（2）【解析】【分析】（1）运用正弦定理求解；（2）运用正弦定理和面积公式将转化为三角函数求解.【小问1详解】，由正弦定理得，，又；【小问2详解】 ，其中，锐角，从而得；综上，，.20.已知函数满足，其中.（1）求实数的值；（2）若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意代入运算求解即可；（2）根据分析可得，结合分段函数以及二次函数求的最值，进而可得结果.【小问1详解】因为，即，可得，若，则，不恒成立，不合题意；若，则；综上所述：. 【小问2详解】当时，不等式显然成立；当时，等价于，设，（ⅰ）当，即时，当时，；当时，；所以，故；（ⅱ）当，即时，当时，；当时，；因为，即。所以；综上所述：，可得.所以实数的取值范围.21.如图，三棱柱中，，侧面为矩形，，二面角的正切值为. （1）求侧棱的长；（2）侧棱上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由.【答案】（1）2（2）存在在的三等分点靠近的分点处，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意三垂线法可得二面角的平面角为，进而可得结果；（2）法一：建系，利用空间空间向量处理二面角问题；法二：根据题意三垂线法可得二面角的平面角为，进而可得结果.【小问1详解】取的中点，连接，因为，则，又因为侧面为矩形，则，//，且//，则//，即四点共面，平面平面，所以平面，则，则是二面角的平面角，则，所以，设，因为，则， 又因为，则，可得，在中，由余弦定理得：，即，平方整理得，得或（舍去），即为2.【小问2详解】解法一：如图，建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系，过作底面，因为，可得，则，，可得，所以，则，， 设平面的法向量为，则，则，令，则，即，设，设，则，设平面的法向量为，因为，则，令，则，即，平面与平面所锐二面角为，可得，解得，所以存在，在的三等分点靠近的分点处.解法二：把三棱柱补为四棱柱，如图，为中点，过作，由（1）知：，则，由棱柱的性质易得：且，即为平行四边形，所以，故，又，，面，则面，在面内，所以，而，面， 则平面，且平面，则，过作，连，，面，则平面，且平面，可得，则为二面角的平面角，设，则，可得，由点到的距离为，则，解得，所以存在，在三等分点靠近的分点处.22.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）记函数，且的最小值为.（i）求实数的值；（ii）若存在实数满足，求的最小值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求得斜率，进而求得切点，再利用点斜式即可写出切线方程；（2）（i）求导后，设导数的零点，从而确定最小值即可求解；（ii）由题意得，不妨令，设，则.记，求导后设导数的零点，进而得到，再结合单调性可得，进而可解.【小问1详解】 ，则，又，所以切线方程为：，即.【小问2详解】（i），令，即，则且，所以有两异号实数根，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以有唯一零点.所以当时，，当时，，则在上递减，在上递增.所以，且.代入可得，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，故.（ii），即，则不妨令，设，则.记，则，令，即，则且，所以有两异号实数根，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以有唯一零点.且. 所以当时，，当时，，则在上递减，在上递增，所以.其中，即，又在上单调递减，且，得，又因为在上单调递增，所以（当时，有），所以的最小值为.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.