湖南省长沙市周南中学2023届高三数学下学期模拟(三)试卷(Word版附解析)
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2023届周南中学高三三模考试数学试卷时量:120分钟分量:150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简集合B,进行交集运算.【详解】且.故.故选:C.2.的虚部为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算与复数虚部的概念即可得解.【详解】因为,所以的虚部为.故选:B.3.“”是“函数是奇函数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】【分析】函数为奇函数,解得,判断与的互推关系,即可得到答案.【详解】当函数为奇函数,则,解得.所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选:A.4.已知单位向量,满足,若向量,则().A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】计算出及,利用向量余弦夹角公式计算,再利用平方关系求出.【详解】因为,是单位向量,所以,又因为,,所以,,所以,因为,所以.故选:A.5.马路上有编号为1,2,3,…,9九盏路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏,也不能关掉
两端的两盏,求满足条件的关灯方案有()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意,用插空法计算.【详解】先将亮的6盏灯排成一列,根据题意,因为关掉3盏路灯不能是两端2盏,也不能相邻,则有5个符合条件的空位,在5个空位中,任选3个,安排熄灭的灯,有种情况,即有10种关灯方法.故选:A.6.设,,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较,构造函数,,利用导数判断函数的单调性,再根据函数的单调性即可得解.【详解】因为,所以,所以,所以,令,则,所以在上单调递增,所以,即,所以,令,则,所以函数在上递增,
所以,即,即,所以,即,综上,.故选:A.【点睛】关键点点睛:构造函数,,利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.7.函数的部分图象如图,则下列选项中是其一条对称轴的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由给定解析式及图象确定值的表达式,再逐项分析判断作答.【详解】依题意,点是函数的图象对称中心,且在函数的一个单调增区间内,则,即,,令函数周期为,由图象知,即有,而,则有,因此,,解得,而,则,,,由得函数图象对称轴:,
当时,,当时,,当时,,即选项A,B,D不满足,选项C满足.故选:C8.在三棱锥中,平面,,,则三棱锥外接球表面积的最小值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设,在等腰中,求得,设的外心是,外接圆半径是,由正弦定理得,设外接球球心是,可得是直角梯形,设可得,把()也用表示,然后可表示出外接球半径,利用三角恒等变换,换元法,变形后由基本不等式求得最小值,从而得球表面积的最小值.【详解】设,在等腰中,,设的外心是,外接圆半径是,则,∴,设外接球球心是,则平面,平面,则,同理,,又平面,所以,是直角梯形,设,外接球半径为,即,则,所以,在直角中,,,,,∴,
,令,则,,当且仅当,时等号成立,所以的最小值是.故选:D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积,解题关键是用一个变量表示出球的表面积,前提是选定一个参数,由已知设,其他量都用表示,并利用三角函数恒等变换,换元法,基本不等式等求得最小值.考查了学生的运算求解能力,逻辑思维能力,属于难题.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知数列的前n项和是,则下列说法正确的是()A.若,则是等差数列B.若,,则是等比数列C.若是等差数列,则,,成等差数列D.若是等比数列,则,,成等比数列
【答案】ABC【解析】【分析】求出通项公式判断AB;利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C;举例说明判断D作答.【详解】对于A,,时,,解得,因此,,是等差数列,A正确;对于B,,,则,而,是等比数列,B正确;对于C,设等差数列的公差为,首项是,,,因此,则,成等差数列,C正确;对于D,若等比数列的公比,则不成等比数列,D错误.故选:ABC10.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项,某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位:秒)服从正态分布,且.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个,其中成绩在间的个数记为X,则()A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】A选项,由正态分布的对称性可知,A正确;B选项,由得到;C选项,求出和,得到大小关系;D选项,由二项分布计算出,利用对立事件概率公式求出.【详解】A选项,由正态分布的对称性可知:,故,A错误;
B选项,,故,B正确;C选项,,,故,C错误;D选项,因为,所以,故,D正确.故选:BD11.已知抛物线:()与:()都经过点,点M,N分别在,上,且,则()A.,B.点M,N的坐标分别为C.的面积为3D.若直线l与,都相切,则l的方程为【答案】ACD【解析】【分析】对A,代入A(4,8)求解即可;对B,设,,根据,列出方程得到关系式,分类讨论,即可求解;对C,根据B可得,,求解直线的方程,再求解到的距离,进而可得的面积;对D,利用导数的几何意义,求得切线的方程,根据为曲线的公切线,联立方程组,结合,进而求得的方程;【详解】对A,因为曲线都过点,所以,解得,,,故A正确;对B,设,,又,,所以,可得,
两式相减得到,当时,,,当时,,此时方程无解,(舍去),综上,可得,,故B错误;对C,由,,则,故直线的方程为,即,故到的距离,又,则△OMN的面积,故C正确;对D,设直线与曲线相切于点,令,可得,则切线的斜率,所以切线方程为,即,由,整理得,因为为曲线的公切线,所以,解得,所以直线的方程为,即.故D正确;故选:ACD12.若,若恒成立,则的值不可以是()A.B.1C.D.【答案】ABD【解析】【分析】将问题转化为恒成立,从而构造函数,结合的单调性可得恒成立,再构造函数,从而得解.【详解】因为,等价于,等
价于,所以原题意即为恒成立,令,则,又易得在定义域内单调递增,所以,即,故恒成立,令,则,所以当时,;当时,;则在上单调递减,在上单调递增,故,解得,所以若恒成立,则.故A、B、D错误,C正确.故选:ABD.【点睛】结论点睛:指对同构的常见形式:积型:,①,构建;②,构建;商型:,①,构建;②,构建;和型:,①,构建;②,构建.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知多项式满足对任意,则_________(用数字作答).【答案】1【解析】【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换,化简后可得即可求解.【详解】解:由题意得:,由可知:.故答案为:114.定义在R上的非常数函数满足:,且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据已知,且得出对称轴和对称中心,确定一个具体函数即可.【详解】因为.得出对称中心,且得出对称轴为轴,且周期为
4的函数都可以.故答案为:15.如图,在中,点是边上一点且,是边的中点,直线和直线交于点,若是的平分线,则______.【答案】【解析】【分析】分析可知与共线,可知存在,使得,然后依据、、三点共线以及、、三点共线可得出关于的表达式,结合平面向量的基本定理可求得的值.【详解】记,,以、为邻边作平行四边形,因为,则平行四边形为菱形,所以,平分,且,因为平分,则、共线,则存在,使得,
因为、、三点共线,则、共线,则存在,使得,即,可得,因为为的中点,所以,,因为、、三点共线,则、共线,所以,存在,使得,即,所以,,因为、不共线,则,解得,故,又因为,所以,,故.故答案:.16.已知双曲线方程是,过的直线与双曲线右支交于,两点(其中点在第一象限),设点、分别为、的内心,则的范围是______.【答案】【解析】【分析】根据双曲线和三角形内切圆的性质可得点、与双曲线右顶点三点共线,且,线段,可分别用直线倾斜角表示出,根据倾斜角范围可求出的范围.
【详解】因,故,,,如图,过点分别作,,,垂足分别为,因为的内心,所以,故点也在双曲线上,即为双曲线的右顶点,同理,所以三点共线,设直线的倾斜角为,因双曲线的渐近线方程为,倾斜角为,根双曲线的对称性,不妨设,因,所以,,所以,
因,所以,所以,故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和为,,且.(1)求的通项公式;(2)已知,求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据前n项和与通项之间的关系分析可得,结合等比数列求其通项公式;(2)结合(1)求,分奇偶项,利用分组求和的方法求和即可.【小问1详解】∵,则有:当时,,解得;当时,则,两式相减得,即;注意到,故,∴是首项为3,公比为3的等比数列,
故.【小问2详解】由(1)得,当n为偶数时,;当n为奇数时;综上所述:.18.在中,角、、所对的边分别为、、,.(1)求;(2)若,求面积最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出,即可求得的值;(2)分析可知、均为锐角,利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出,求出的最小值,即可求得的最小值.【小问1详解】解:,
.由正弦定理得..因为,则,,,则,所以,,即,所以,,,即.【小问2详解】解:由(1)得.若,则、均为钝角,则,矛盾,所以,,,此时、均为锐角,合乎题意,,当且仅当时,等号成立,且为钝角.,则,且为锐角,由,解得,即,当且仅当时,等号成立,
,.因此,面积的最小值为.19.如图,在多面体中,平面平面,平面,和均为正三角形,,,点在上.(1)若平面,求;(2)若是的中点,求二面角的正弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)记中点为,连接、,依题意可得,根据面面垂直的性质得到平面,如图建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,设,,依题意可得求出的值,即可得解;(2)依题意点与点重合,利用空间向量法计算可得.【小问1详解】记中点为,连接、,为正三角形,,则,且.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,又为正三角形,所以,所以,如图建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,设平面的法向量为,
则,令,则,,则,设,,则,因为平面,所以,解得,所以为的中点,此时.【小问2详解】若是的中点,则点与点重合,则平面的一个法向量可以为,设二面角为,显然二面角为锐角,则,所以,所以二面角的正弦值为.20.有一种水果,在成熟以后进行装箱,每一箱10个.根据以往经验,该种水果每箱含有0,1,2个坏果
的概率分别为,,.(1)现随机取三箱该水果,求三箱水果中坏果总数恰有2个的概率;(2)现随机打开一箱该水果,并从中任取2个,设X为坏水果的个数,求X的分布列及期望.【答案】(1)0.15(2)的分布列为:012期望为【解析】【分析】(1)根据两种情况以及概率乘法公式即可求解,(2)分别求解为0,1,2的概率,即可求解分布列以及期望【小问1详解】三箱水果中坏果总数恰有2个坏果的情况有:有一箱有2个坏果,其他两箱没有坏果,或者有两箱各有一个坏果,另一箱没有坏果,三箱水果中坏果总数恰有2个坏果的概率为,【小问2详解】由题意可知:可取0,1,2则,,,所以的分布列为:012期望为
21.已知椭圆E:的左、右焦点分别为,焦距与短轴长均为4.设过F2的直线l交E于M,N,过M,N分别作E在点M,N上的两条切线,记它们的交点为P,MN的中点为Q.(1)证明:O,P,Q三点共线;(2)过F1作平行于l的直线分别交PM,PN于A,B,求的取值范围.参考结论:点T(,)为椭圆()上一点,则过点T(,)的椭圆的切线方程为.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)先求得椭圆方程,再设的方程为,联立椭圆的方程,并化简切线方程组可得.再设的中点为,证明即可;(2)取中点,根据三角形的性质有四点共线,再结合椭圆的对称性有即可.【小问1详解】由题意,,,解得,,故椭圆的方程为.又,显然斜率不为0,故设的方程为,,则,即,故,.联立过的切线方程,即,相减可得,即,化简可得.
代入可得,故.设的中点为,则,,故.因为,,故,所以三点共线.【小问2详解】由作平行于l的直线分别交于,易得,取中点,根据三角形的性质有四点共线,结合椭圆的对称性有,当且仅当时取等号.故.【点睛】方法点睛:根据直线与椭圆的位置关系,结合向量的性质,联立方程利用韦达定理证明三点共线与求取值范围的问题.需要根据题意联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理得到P,Q的坐标,再根据三角形与向量的性质转化所求的量从而进行简化求解范围.属于难题.22.已知函数.(1)若函数在上有极值,求在上所有极值的和;(2)若对任意恒成立,求正实数a的取值集合.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】
【小问1详解】,当时,,在上单调递增,无极值.当时,,在上单调递减,无极值.当时,在上有2个实根,设其为,且.当时,;当时,.所以在单调递增,在单调递减,在单调递增.所以为的极大值,为的极小值.由正弦函数的对称性可知,所以在上的所有极值的和为.【小问2详解】即.设,,则,设.当时,,所以在R上单调递增.又,,所以,使得,所以,当时,,单调递减:当时,,单调递增.所以,,不合题意当a=1时,,所以在R上单调递增.又,所以,当时,,单调递减;
当时,,单调递增.所以,,符合题意.当时,因为函数在上都为增函数,所以在上单调递增.又,所以,所以在上单调递增.又,,所以,使得,所以,当时,,单调递增.所以,,不合题意.综上,正实数a的取值集合是.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.
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