黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三数学第五次模拟试题（Word版附答案）

2023年哈三中高三学年第五次高考模拟考试数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合中元素的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个2.已知，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.3.已知焦点在x轴上的双曲线，其中一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.4.在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则x的值为（）A.2B.3C.4D.55.下列说法不正确的是（）A.甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18B.设一组样本数据，，…，的方差为2，则数据，，.…，的方差为32C.在一个列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大D.已知随机变量，且，则6.我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则该文物的体积约为（）（参考数据：，） A.B.C.D.7.已知，，则的最大值为（）A.B.C.D.8.已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（）A.B.C.D.（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于中心对称C.在上单调递减D.把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）A.在第10行中第5个数最大B.C.第8行中第4个数与第5个数之比为D.在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为11.已知平面内动点满足到定点的距离和到定直线的距离相等，动点的轨迹为曲线E，则下列说法正确的有（）A.曲线E的方程为B.两条直线和分别交曲线E不同于原点的C、D两点，若直线CD过点，则C.过点F的直线与曲线E交于不同的两点A、B，直线OA与直线l交于点G，则直线GB平行于y轴D.点为曲线E上定点，其关于y轴对称点为点N，则对于曲线E上异于M、N的任一点T，都有直线NT与直线MT的斜率之差为定值12.定义在的函数满足，且都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（）A.B.若数列为等差数列，则公差为6C.若，则D.若，则 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为钝角，，则的值为______.14.已知函数的导函数为，则______.15.如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.16.已知数列满足，，，定义表示实数x，y中的较大的数，若，则实数______，记数列的前n项和为，则的值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求满足条件的最大整数n.18.在长方体中，，点P为棱上任意一点.（1）求证：平面⊥平面BDP； （2）若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面BDE与平面PBD夹角的余弦值为.19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求的值；（2）求的最大值.20.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；（3）参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.21.已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）若O为坐标原点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值；（3）若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点.22.已知关于x方程在区间内有且只有一个解.（1）求实数a的取值范围；（2）如果函数，求证：在上存在极值点和零点；（3）对于（2）中的和，证明：. 2023年哈三中高三学年第五次高考模拟考试数学试卷答案一、选择题：题号123456789101112答案CBDCCADBADBCACDABD二、填空题：13.14.404615.116.26000三、解答题：17.（1），，是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）：，在↗单调递增18.（1）证明：在长方体中，，又面ABCD，面ABCD，.，且AC，面，面，面BDP，平面平面BDP（2）以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设，，，，. 设点，.设面BDE的一个法向量为.，.，.令，，，.设面PBD的一个法向量为.，.，.令，，，..，或.点P为棱上靠近点的第一个六等分点时，面BDE与面PBD夹角的余弦值为.19.（1）由余弦定理：，，由正弦定理：，化简得：.（2），由（1）知，即B为锐角，，20.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，根据题意得 ，，，，，由全概率公式，得.（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率..（3）类似（2），可得，.故第1，2台车床操作员应承担，第3台车床操作员应承担.21.（1）由已知，，，则，则有C：；（2）由于直线l不能与y轴垂直，故设，，代入可得恒成立，设，，则有，点O到直线l的距离为所以当且仅当：时取最大值；（3）设直线MB的方程为 ，代入可得，可设、则有，由于且可得即，即即由于，化简得，即直线MB恒过定点22.（1）令，当时，，若，则，此时无解若，，当时，，则在上为单调递增函数，而，，所以存在，使，方程有且只有一个解，综上，.（2）由（1）知，且在上，为单调递减函数， 又，，所以存在，，在上，在上，可得在上为单调递增函数，在上为单调递减函数又，所以由，又所以在上存在唯一零点，当时，当时，，而当时，，在上有唯一极大值点，在上单调递增，在上单调递减，又，所以，，所以在上有唯一零点.（3）先证明：，因为，所以只需证明，由（2）知所以 可以证明：，得，令，，所以在为单调递减函数，所以，于是，所以于是，又，所以有，又，所以有.