四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二数学（理）下学期第三次月考试题（Word版附答案）

高二下期第三次考试数学（理科试题）一、单选题（每题5分，共60分）1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．将上所有点经过伸缩变换：后得到的曲线方程为（    ）A．B．C．D．3．设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ）A．B．C．D．4．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）A．B．C．D．5．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．6．关于的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（    ）A．甲B．乙C．丙D．丁7．．已知函数，则的大致图象为（    ）A．B．C．D．8．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．9．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ）试卷第3页，共3页 A．3B．4C．D．610．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ）A．B．C．D．11．已知点O为坐标原点，点F是椭圆的左焦点，点，分别为C的左，右顶点，点P为椭圆C上一点，且轴，过点A的直线l交线段PF于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE上靠近O点的三等分点，则椭圆C的离心率（）A．B．C．D．12．已知函数，若，则的最大值为（    ）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为12，则___________.14．过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率___________.15．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．16．若不等式恒成立，则实数的最小值为__________.三、解答题（第17题10分，其余试题每题12分）17．（本题10分）已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．(1)求实数p的值；(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．18．（本题12分）已知函数在处有极值.(1)求实数的值；试卷第3页，共3页 (2)求函数在上的最值.19．（本题12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．(1)求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；(2)若射线与圆的交点为P，与圆的交点为Q，求的值．20．（本题12分）如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，.(1)求证：平面；(2)若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.21．（本题12分）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，离心率，点E在椭圆C上，的面积的最大值为．(1)求C的方程；(2)设C的上、下顶点分别为A，B，点M是C上异于A，B的任意一点，直线MA，MB分别与x轴交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：为定值22．（本题12分）已知函数．(1)若，求函数的图像在处的切线方程；(2)若，是函数的两个极值点，求的取值范围，并证明：．试卷第3页，共3页 高二下期第三次考试数学（理科答案）一、选择题答案1．A2．D3．A4．C5．C6．A7．C8．D9．B10．A11．D12．D11【分析】根据题设条件，画出图形，设OE上靠近O点的三等分点为N，利用平行关系建立比例式，即可求出椭圆离心率作答.【详解】如图，设OE上靠近O点的三等分点为N，椭圆的半焦距为c，轴，则，在中，，在中，由，得，而，则，即，解得，又，于是，所以椭圆C的离心率.12．D【分析】分析函数的单调性，设，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】因为，则函数在上单调递减，在上单调递增，不妨设，有，可得，有，令，有，令，可得，令，可得，答案第6页，共6页 可得函数的增区间为，减区间为，可得，故的最大值为.二、填空题13．214．15．/16．16、【详解】令，则，所以在上单调递增，由恒成立，得恒成立，得恒成立，即恒成立，因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，令，则，由，得；由，得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以，所以的最小值为.17．(1)(2)或【详解】（1）由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，，解得：；（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为F，显然直线l斜率不为0，设直线l为：，，联立直线与抛物线方程：，得：，则，，则所以，解得，所以直线l为：或；综上，，直线l为：或.18．(1)(2)答案第6页，共6页 【详解】（1），，解得，则，若，则；若，则或,即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，故：（2）由（1）知，，，若，则；若，则或,在上单调递增，在上单调递减,又，.19．(1)圆，即，则，圆，即，则，两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：．(2)将代入圆和圆的极坐标方程得：，，所以．20．(1)证明见解析(2)【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.所以，.又，因为，所以.因为平面，平面，所以.   又，平面，平面，所以平面.         答案第6页，共6页 （2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.   则，，.设平面的法向量为，由，得，令，可得平面的一个法向量为.           设与平面所成角为，则.21．(1)(2)证明见解析【详解】（1）设C的半焦距为，由题意可得，解得，所以C的方程为．（2）由（1）可得，，设椭圆上任意一点，答案第6页，共6页 所以直线AM的方程为，令，得，即同理可得，所以，∵在椭圆上，则，整理得，∴（为定值）.22．(1)(2)，证明见解析【详解】（1）当时，，，所以，，所以函数的图像在处的切线方程为，即．（2）因为，所以，由题意知是方程在内的两个不同的实数解，令，又，且函数图像的对称轴为直线，所以只需，解得，即实数的取值范围为，由是方程的两根，得，，故，又，所以．答案第6页，共6页 答案第6页，共6页