第8章整式乘法与因式分解8.1.2幂的乘方与积的乘方课件

8.1幂的运算2.幂的乘方与积的乘方第8章整式乘法与因式分解 乘方的意义：a·a·…·an个a=an.同底数幂的乘法的运算法则：am·an=am·anam+n(m，n都是正整数).=(a·a·…·a)·m个a(a·a·…·a)n个a=a·a·…·a(m+n)个a=am+n.推导过程复习 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？你知道(102)3等于多少吗？V球=πr3，其中V球是球的体积，r是球的半径. 1.一个正方体的棱长是10，则它的体积是多少？2.一个正方体的棱长是102，则它的体积是多少？自主探究103=10×10×10=101+1+1=101×3(102)3=102×102×102=102+2+2=102×3幂的乘方 3.100个104相乘怎么表示？又该怎么计算呢？(104)100100个104100个4猜一猜=am·am·…·am（乘方的意义）=am+m+…+m（同底数幂的乘法法则）（乘法的意义）=a100m.=104×100.=104×104×…×104=104+4+…+4(am)100=？ (1)(a3)2=a3·a3am·am·…·amn个am=am+m+……+mn个m=am·am(2)(am)2=amn.(am)n==a3+3=a6.=am+m=a2m(m是正整数).请你观察上述结果的底数与指数有何变化？你能猜想出幂的乘方是怎样的吗？做一做 幂的乘方法则：(am)n=amn(m，n都是正整数).幂的乘方，底数＿＿，指数＿＿.不变相乘归纳总结 例1计算：解:(1)(102)3=102×3=106.(2)(b5)5=b5×5=b25.典例精析(6)2(a2)6–(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12-a12=a12.(5)(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7.注意：一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．(3)(an)3=an×3=a3n.(1)(102)3；(2)(b5)5；(5)(y2)3·y；(6)2(a2)6－(a3)4.(3)(an)3；(4)－(x2)m；(4)－(x2)m=－x2×m=－x2m. （1）（2）（3）（4）（5）（6）判断对错：（×）（×）（√）（×）（×）（√）练一练 例2已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值.解：∵2x＋5y－3＝0，方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．∴2x＋5y＝3.∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.底数不同，可以化成同底数幂，再进行运算. 我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？思考下面两道题：(1)(2)我们可以根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行运算.这两个式子有什么特点？底数为两个因式相乘，积的形式.这种形式称为积的乘方积的乘方 同理：（乘方的意义）（乘法交换律、结合律）（同底数幂相乘的法则） (ab)n=(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab=(a·a·…·a)·(b·b·…·b)n个an个b=anbn.证明：思考：积的乘方(ab)n=?猜想结论：因此可得：(ab)n=anbn(n为正整数).(ab)n=anbn(n为正整数).推理验证 积的乘方法则：积的乘方，等于各因式乘方的积.(ab)n=anbn(n为正整数).想一想：三个或三个以上的因式的积的乘方等于什么？(abc)n=anbncn(n为正整数).知识要点积的乘方乘方的积 例3计算：(1)(3x)2；(2)(－2b)5；(3)(－2xy)4；(4)(3a2)n.解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式==9x2.=－32b5.=16x4y4.=3na2n.32x2(－2)5b5(－2)4x4y43n(a2)n典例精析方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏方． 例4太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V=πR3．太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)?解：∵R=6×105千米，∴V=πR3≈×3×(6×105)3=8.64×1017(立方千米)．答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解题的关键． 解：原式逆用幂的乘方法则幂的乘方法则逆用同底数幂的乘法法则逆用积的乘方法则例5计算：提示：可利用简化运算. 知识要点幂的运算法则的逆用：an·bn=(ab)nam+n=am·anamn=(am)n作用：可使运算更加简便快捷！ (4)－(－ab2)2=a2b4()(3)(－2a2)2=－4a4()(2)(3xy)3=9x3y3()(1)(ab2)3=ab6()××××1.判断：2.下列运算正确的是（）A.x·x2=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x4C3.(0.04)2023×[(－5)2023]2=_____.1 4.计算：(1)(103)3；(2)(x3)4·x2；(3)[(－x)2]3；(4)x·x4–x2·x3.解：（1）原式=103×3=109.（2）原式=x12·x2=x14.（3）原式=(–x)6.（4）原式=x5–x5=0. (1)(ab)8；(2)(2m)3；(3)(－xy)5；(4)(5ab2)3；(5)(2×102)2；(6)(－3×103)3.5.计算：解：(1)原式=a8·b8.(2)原式=23·m3=8m3.(3)原式=(－x)5·y5=－x5y5.(4)原式=53·a3·(b2)3=125a3b6.(5)原式=22×(102)2=4×104.(6)原式=(－3)3×(103)3=－27×109=－2.7×1010. (1)2(x3)2·x3－(3x3)3+(5x)2·x7；(2)(3xy2)2+(－4xy3)·(－xy)；(3)(－2x3)3·(x2)2.解：原式=2x6·x3－27x9+25x2·x7=2x9－27x9+25x9=0.解：原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4.解：原式=－8x9·x4=－8x13.注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.6.计算： 7.已知am=2，an=3.求：(1)a2m，a3n的值；解：(1)a2m=(am)2=22=4，a3n=(an)3=33=27.(3)a2m+3n=a2m.a3n=(am)2.(an)3=4×27=108.(3)a2m+3n的值.(2)am+n的值；(2)am+n=am.an=2×3=6. 能力提升：如果(an.bm.b)3=a9b15(a，b均不为0和±1)，求m，n的值.∴(an)3·(bm)3·b3=a9b15.∴a3n·b3m·b3=a9b15.∴a3n·b3m+3=a9b15.∴3n=9，3m+3=15.∴n=3，m=4.解：∵(an·bm·b)3=a9b15， 你能比较　　　　　　　的大小吗？思维拓展解： 幂的乘方法则(am)n=amn(m，n都是正整数)注意幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn，am·an=am+n幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m 幂的运算性质性质am·an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn(m、n都是正整数)反向运用am+n=am·anamn=(am)nan·bn=(ab)n可使某些计算简捷注意运用积的乘方法则时要注意：公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用(混合运算要注意运算顺序)