安徽省合肥一六八中学2023届高三数学最后一卷（Word版附答案）

绝密★考试结束前合肥一六八中学2023届高三最后一卷数学试题合肥一六八中学命题中心一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合，则（）A.B.C.D.2.设是虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二兔限C.第三象限D.第四象限3.“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.5.在数列中，已知，当时，是的个位数，则（）A.4B.3C.2D.16.数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数 ，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音.已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（）A.B.C.D.7.在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（）A.1B.C.2D.8.定义在上的函数满足，且当时，.当时，，则的最小值为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，方差为16，女生样本的均值为164，方差为30.则下列说法正确的是（）A.如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人B.该校全体高三学生的身高均值为171C.抽取的样本的方差为44.08D.如果已知男､女的样本量都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值10.已知函数，则下列说法正确的有（） A.若，则B.将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C.函数的最小正周期为D.若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为11.正四棱锥中，高为3，底面是边长为2的正方形，则下列说法正确的有（）A.到平面的距离为B.向量在向量上的投影向量为C.棱锥的内切球的半径为D.侧面所在平面与侧面所成锐二面角的余弦值为12.已知数列满足，曲线和有交点，且和在点处的切线重合，则下列结论正确的为（）A.B.C.D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，含项的系数为__________.14.近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.15.已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线与相交于，与相交于，则的最小值为__________. 16.设，定义的差分运算为.用表示对a进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小正整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.（1）已知，则的深度为__________.（2）中深度为的数组个数为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.球数构成一个数列，满足且.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.18.（本小题满分12分）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.（1）求角； （2）若的面积为，求的周长.19.（本小题满分12分）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，其中四边形是边长为4的正方形，点是半圆弧上的动点，且四点共面.（1）若点为半圆弧的中点，求证：平面平面；（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角是？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足，且.（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线过点，过圆上一点作圆的切线，直线交双曲线于两点，且的面积为，求直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数，其中.（1）若时，有极值，求的值；（2）设，讨论的零点个数.22.（本小题满分12分）在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记 忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值的随机变量，分别记作和.条件概率，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量的平均信息量定义为：.当时，信道疑义度定义为（1）设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数的平均信息量；（2）设某信道的输入变量与输出变量均取值0，1.满足：.试回答以下问题：①求的值；②求该信道的信道疑义度的最大值.合肥一六八中学2023届高考全真模拟详解答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案A2.答案A由，得，所以，故选：3.答案：B详解：方程表示椭圆，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.4.答案：D详解：由题意，做出正四棱台的对角面，如图 为正四棱台上底面正方形对角线，为正四棱台下底面正方形对角线，为外接球球心，为线段中点，则过点作，垂足为，则即为所求角因为，所以，所以，所以，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为.5.答案：C，详解：由题意知：，，可知数列从第3项开始有，所以，故答案选C.6.答案C解：令，求导得，当时，由解得由于，结合图像，只有选项满足.故选：C7.答案：B详解：因为点分别为和的中点，，所以，又，所以选B.8.答案：B 详解：由题意，当时，故，当时，故，可得在区间上，，所以当时，，作函数的图象，如图所示，当时，由二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.答案：ACA､根据分层抽样，抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有正确B､样本学生的身高均值，B错误C､抽取的样本的方差为；C正确D､因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适.D错误.10.答案ABD详解：由，故必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度正确； 由题意的图象关于轴对称，B正确；的最小正周期为错误.，在上有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：，则，D正确；故选：ABD11.答案BD详解：补体为长方体.如图，在Rt中，WC为CD到平面距离，容易求出其距离为错误；根据投影向量概念知：向量在向量上的投影向量为向量.即为，所以正确；由等体积求内切球半径得，，所以C错误；连接，可知是所求二面角的平面角，在中由余弦定理知道：正确.故选：BD12.答案：AC 详解：依题意，有，且，解得，显然，即，故A正确；构造函数，则，显然当时，，即在上单调递增，从而为递增数列，又，故，易知B错误；易知，需证，只需证，令，则，只需证，令，则，易知单调递减，故当时，，从而C正确；由，可知，即为正项递增数列，亦为正项递增数列，故数列为正项递增数列，又，易知D错误；三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案：40详解：设的通项，则，化简得，令，则的系数为.14.答案：150详解：第一类：仅要好的两位女生去同一景点；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点，总方法数为.15.答案：16详解：设直线直线方程为： 另解：设直线倾斜角为，所以最小值为16.16.答案（1）4（2）（可以通过举例归纳得到，如）.详解：（1）略；（2）易知中仅有一组中深度的数组仅1组中深度的数组仅2组；中深度的数组仅4组；中深度的数组仅组；；所以中深度为的数组仅有组.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.答案：（1）（2）由，所以18.答案（1），则，故，所以，可得，由，所以. （2）如图，连接，则，正面积，而，则，在中，由余弦定理得：，即，则，在中，，由余弦定理得，则，，所以的周长为19.答案：（1）连接，如图所示：若点为半圆弧的中点，则，所以，即，因为，所以，又面，所以平面平面，则平面平面. （2）假设存在点，使得直线与平面所成的角为，以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，设，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则即，依题意，整理得，与矛盾，所以不存在另解：连接，可知面，所以，即是平面的一个法向量（下同）.20.答案：（1）由对称性可知：，故，由双曲线定义可知：，即，所以分又因为，在中，由余弦定理得：， 即，解得：，故离心率为.（2）因为双曲线过点，所以双曲线方程：当直线的斜率不存在时，则直线的斜率不存在时不成立.当直线的斜率存在时，设直线的方程为又点到直线距离，联立，消去得，则由的面积为，即，将代入上式得，或，即或直线的方程为：或21.解：（1）.由题意得且，即，联立解得， .经检验，符合题意.（2）方法一：定义域是.由条件知，.当时，单调递增；当时，单调递减.故是的极大值点，且极大值为.当时，，此时有一个零点.当时，.记，则.取，则，，根据零点存在定理，当时，存在一个零点.取，则.由零点存在定理可知，当时，存在一个零点.故此时有两个零点.综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点.方法二：由题意，函数的零点即方程的根，即方程的根，即的根，记，答案：由，得到，当时，单调递增，时，单调递减，又，因为，当时，，综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点22.解：（1）设表示扔一非均匀股子点数，则 123456扔一次平均得到的信息量为（2）①由全概率公式，得②由题意，.所以， 其中.令时时，