3.4 第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形课件

第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形 问题1什么是圆周角？复习引入特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.●OBACDE 问题2什么是圆周角定理？圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC. 情境引入如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？ 思考：如图，AC是圆O的直径，则∠ADC=，∠ABC=.90°90°推论：直径所对的圆周角是直角.反之，90°的圆周角所对的弦是直径.直径所对应的圆周角 问题回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心. 例1如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B，求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，典例精析 在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.归纳 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.练一练C 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？圆内接四边形及其性质 如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.(2)当ABCD为一般四边形时，猜想：∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º性质探究(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º 试一试证明：圆内接四边形的对角互补.已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.求证∠BAD+∠BCD=180°.证明：连接OB、OD.根据圆周角定理，可知12由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180° 圆内接四边形的对角互补.推论要点归纳 CODBA∵∠A＋∠DCB＝180°，E∠DCB＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.想一想如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？ 1.四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=，∠D=.2.⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=.70°100°90°练一练 解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120°B．100°C．80°D．60°A 例2如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.典例精析 1.如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.50°ABOCD2.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A.70°B.110°C.90°D.120°BACBODE 3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补） 变式：已知∠OAB等于40°，求∠C的度数.ABCOD 4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（　　）A.3B.C.D.2A 5.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC； (2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点． 圆周角定理推论2推论3圆内接四边形的对角互补.直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.