4.3 第2课时完全平方公式课件

4.3公式法第四章因式分解第2课时完全平方公式 复习引入1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？(1)提公因式法(2)平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 你能把下面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？拼出图形为：aabbabababa²b²ab用完全平方公式分解因式 这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式逆过来写，能得到： 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.a2+2ab+b2a2-2ab+b2观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个数或式的平方和；3.有两底数之积的±2倍.完全平方式： 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²-6m+9=()²-2·()·()+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab＋b²=(a±b)²，填空：mm-33x2m3 下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4；（2）1+4a²；（3）4b2+4b-1；（4）a2+ab+b2；（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例1如果x2-6x+N是一个完全平方式，那么N=()A.11B.9C.-11D.-9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3)，故可知N=(-3)2=9.变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值为______.解析：由于16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.±8典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解． 例2分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-4y2.分析：(1)中16x2=(4x)2，9=3²；24x=2×4x·3；所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2×4x·3+(3)2.+2ab+b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式. 解：(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.例3把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，则原式也是个完全平方式. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.概念学习 因式分解：(1)-3a2x2＋24a2x-48a2；(2)(a2＋4)2-16a2.针对训练＝(a2＋4＋4a)(a2＋4-4a)解：(1)原式＝-3a2(x2-8x＋16)＝-3a2(x-4)2.(2)原式＝(a2＋4)2-(4a)2＝(a＋2)2(a-2)2.有公因式要先提公因式要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解 例4把下列完全平方公式分解因式：(1)1002-2×100×99＋99²；(2)342＋34×32＋162.解：(1)原式=(100-99)²(2)原式=(34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.=1.=2500. 例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值.＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0.∴x＝2，y＝5.∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负式的和为0，则这几个非负式都为0. 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式性质解答问题． 例6已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．∴△ABC是等边三角形.解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c. 1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是_____．BB14.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为______．±4 5.把下列多项式因式分解.(1)x2-12x+36；(2)4(2a+b)2-4(2a+b)+1；(3)y2+2y+1-x2.解：(1)原式=x2-2·x·6+(6)2=(x-6)2.(3)原式=(y+1)²-x²=(y+1+x)(y+1-x).(2)原式=[2(2a+b)]²-2·2(2a+b)·1+(1)²=(4a+2b-1)2. (2)原式6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；解：(1)原式=(38.9－48.9)2=100. 7.分解因式：(1)4x2＋4x＋1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x2-2x＋3.解：(1)原式＝(2x)2＋2×2x•1＋1＝(2x＋1)2.小聪:小明:××(2)原式＝(x2-6x＋9)＝(x-3)2. 8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值.原式＝2×52＝50.解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当a－b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时， 完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2完全平方式（1）要求多项式有三项；（2）其中两项是两数(或两式)的平方和，另一项则是这两数(或式)的乘积的2倍，符号可正可负.