浙江省杭嘉湖金四县区2022-2023学年高二数学下学期5月调研测试试题(Word版附答案)
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2023年5月浙江省杭嘉湖金四县区调研测试高二年级数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________第I卷(选择题)一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.已知 , th,则 的值为() A. B. C. 或 D. 或 2.设 为等比数列 的前 项和, ,则 等于() A.thhB.t C. D.hh3.设某项试验的成功率是失败率的 倍,用随机变量 去描述h次试验的成功次数,则 试 功等于()hh A. B.C.D. 4.已知函数 ln ,下列直线不.可.能.是曲线 的切线的是() A. t t B.h t t C. t t D. t t ln 5.已知数列 , h , ㌳ ,若 h h ,则正整数 的值为()A. B. hC. D. 6.学校以劳动周形式开展劳育工作创新实践,学校开设“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“ 打印”四种课程 甲、乙、丙 名同学每名同学至少从中选一种,每种课程都恰有h人参加,记 “甲参加民俗文化”, “甲参加茶艺文化”, “乙参加茶艺文化”,则下列结论正确的是()A.事件 与 相互独立B.事件 与 互斥 C. 试 ܥ 功 D. 试 ܥ 功 h h 7.已知实数 ㌳ 满足 ln ln ,则满足条件的 的最小值为()A.hB. C. D. 8.现有 试 ݊ ㌳ 功个相同的袋子,里面均装有 个除颜色外其它无区别的小球,第 试 h㌳ ㌳ 功个袋子中有 个红球, t 个白球 现将这些袋子混合后,任选其中一个袋子,
并且从中连续取出三个球试每个取后不放回功,若第三次取出的球为白球的概率为,则h ()A. B. C.h D. 二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求) h 9.已知在试 t 功的二项展开式中,第 项为常数项,则() A. h B.展开式中项数共有h 项 C.含 的项的系数为D.展开式中有理项的项数为 10.某兴趣小组研究光照时长 试,功和向日葵种子发芽数量 试颗功之间的关系,采集 组数据,作如图所示的散点图 若去掉 h ㌳ 后,下列说法正确的是()A.相关系数 的绝对值变小B.决定系数 变大C.残差平方和变大D.解释变量 与响应变量 的相关性变强11.设函数 , 定义域交集为 ,若存在 ,使得对任意 都有 t t ,则称 ㌳ 构成“相关函数对” 则下列所给两个函数构成“相关函数对”的有()A. ㌳ h hB. ln ݊ ㌳ ݊ h C. ㌳ D. ㌳ 12.某种疾病在某地区人群中发病率为 hͳ 现有一种检测方法能够检测人体是否患该病,但不是完全准确,其准确率如下:健康人群检测为阳性的概率为 ,患病人群检测为阴性的概率为 设事件 “某人不患该病”, “该人被检出阳性”,则()A. 试 ܥ 功 B. 试 功 C.该地区某人去检测是否患该病,检测为阳性的概率约为 D.某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性,那么他真正患该病的概率约为
第II卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)h13.设随机变量 ~ ㌳,则 试 功 . 14. ,则 的值为.若ht h h 15.某公司销售某种业务保单,已知每份业务保单的利润现值随机变量 可以用正态分布近似,且满足: 试 功 , 试 功 h 已知标准正态分布随机变量 满足 试 ݊th 功 ,那么该业务保单的利润现值可以以 ͳ的概率大于.16.已知 h和 分别是函数 试 功 t 试 ݊ 且 h功的极大值点和极小值点.若 h ,则 的取值范围是.四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.试本小题h 分功已知函数 .试h功当 h时,求函数 的单调区间;试 功过点 ㌳ 可作曲线 的两条切线,求实数 的取值范围.18.试本小题h 分功 数列 满足 h h,数列前 项和为, . 试h功求数列 的通项公式;试 功设 ,求数列 的前 项和 .19.试本小题h 分功某大学有 , 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务,甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐,近h 天选择餐厅就餐情况统计如下:选择餐厅情况试午餐,晚餐功试 ㌳ 功试 ㌳ 功试 ㌳ 功试 ㌳ 功甲 天 天 天h 天乙 天 天h 天 天试h功假设甲、乙选择餐厅相互独立,用频率估计概率 计算某天甲同学午餐去 餐厅用餐的情况下晚餐去 餐厅用餐的概率;
试 功某天午餐,甲和乙两名同学准备去 , 这两个餐厅中某一个就餐 设事件 “甲选择 餐厅就餐”,事件 “乙选择 餐厅就餐”, ݊ , ݊ 若 试 ܥ 功 试 ܥ 功,证明:事件 和 相互独立.20.试本小题h 分功过点 试h㌳ 功作曲线 曲 试 试 ㌳ 功㌳ ㌳ ݊h功的切线,切点为 h,设 h在 轴上的投影是点 h;又过点 h作曲线 的切线,切点为 ,设 在 轴上的投影是点 ㌳ ,依此下去,得到一系列点 h㌳ ㌳ ㌳ ,设点 的横坐标是 .试 功求 h,并求数列 的通项公式; 试 功求证: h . th21.试本小题h 分功学习强国中有两项竞赛答题,一项为“双人对战”,另一项为“四人赛” 规则如下:一天内参与“双人对战”答题,仅首局比赛可获得积分,获胜得 分,失败得h分;一天内参与“四人赛”答题,仅前两局比赛可获得积分,首局获胜得 分,次局获胜得 分,失败均得hh分 已知李明参加“双人对战”答题时,每局比赛获胜的概率为;参加“四人赛”答题时, h第一局和第二局比赛获胜的概率分别为 , 李明周一到周五每天完成“双人对战”答题一 局和“四人赛”答题两局,各局答题互不影响.试 功求李明这 天完成“双人对战”答题的总得分 的分布列和数学期望;试 功设李明在这 天的“四人赛”答题中,恰有 天每天得分不低于 分的概率为 试 功 求 为何值时, 试 功取得最大值.22.试本小题h 分功 已知函数 试 功 , 试 功 ln t .试h功当 h时,求函数 的最大值;试 功若关于 的方程 h有两个不同的实根,求实数 的取值范围.
答案和解析1.【答案】 【解析】【分析】本题考查组合数公式,属于基础题.【解答】解:因为组合数公式得性质 t ,而 th 可得 th 或 th ,所以 或 .经验证 或 符合题意.2.【答案】 【解析】【分析】本题考查等比数列有关基本量的求解,为基础题.【解答】 hht ht htt 解: ,则公比 t , ht htt t thh. hht 3.【答案】 【解析】【分析】根据某项试验的成功率为失败率的 倍,写出随机变量的分布列,分布列中两个变量对应的概率,是含有 的代数式,根据分布列概率的性质,写出关于 的等式,解出结果.本题离散型随机变量的分布列的性质,是一个基础题,解题过程中用到方程思想,通过解方程得到要求的概率.【解答】解:设 的分布列为:
h 即“ ”表示试验失败,“ h”表示试验成功,设失败的概率为 ,成功的概率为 ,由 h,h . 故选B.4.【答案】 【解析】【分析】本题考查利用导数求曲线上的切线方程,属于中档题.【解答】 h解: 试 功 ln 试 功 的定义域为试 ㌳ 功, T试 功 , 设曲线 试 功上的切点为试 ㌳ 功h T试 功 验证 ,试 功 t t ,得 ㌳ h , ln h T试 功 hh验证 、h t t ,得 ㌳ ln h 验证 : T试 功 ,即 t h , t ,方程无解.h T试 功 验证 、 t t ln ,得 h㌳ h ln ln 故选项C对应的直线不可能是曲线 的切线.5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式,考查等差数列的有关运算,为中档题.【解答】解: ㌳ ,可知 h h ,则可知 为首项为 ,公差为 的等差数列,有 , h h h ,则 .6.【答案】 【解析】【分析】本题考查相互独立事件的判断和条件概率,属于中档题.分别求出 试 功, 试 功和 试 功,再利用互独立事件同时发生的概率和条件概率公式逐个判断即可.【解答】解:甲、乙、丙三名同学从四种课程中至少选一种,共有 种基本事件,事件 包含的基本事件数为: h , h hh 则 试 功 ,同理 试 功 试 功 ,事件 包含的基本事件数为: , h hh 则 试 功 ,事件 包含的基本事件数为: ,则 试 功 , h h因为 试 功 试 功 试 功,故A错误 因为 事件和 事件不互斥,故B错误 试 功 因为 试 ܥ 功 ,故C正确 试 功h 试 功h因为 试 ܥ 功 ,故D错误. 试 功 故选C.7.【答案】 【解析】【分析】本题考查导数求函数单调性,导数求函数的最值,属于综合题.【解答】
解:由题意, ln ln ,可化为 ln试 功试 ݊ ㌳ ݊ ㌳ ݊h功,即 ln试 功 ln试 功 ln试 功,构造函数 试 功 ,试 ݊ 功, T试 功 试 h功 ,当 试 ㌳ 功时, T试 功݊ , 试 功单调递增, 即 试 功 试ln试 功功,可以得到 ln试 功,从而 , 试 th功构造函数,试 功 试 ݊ 功,,T试 功 , 令,T试 功 可以得到 h,当 试 ㌳h功时,,T试 功 ,,试 功单调递减,当 试h㌳ 功时,,T试 功݊ ,,试 功单调递增,从而当 h时,,试 功取最小值,试h功 ,即 有最小值 .8.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查古典概型,互斥事件及相互独立事件的概率求法问题,考查了逻辑分析能力和计算能力,属于较难题.设选出的是第 个袋,连续三次取球的方法数为 试 th功试 t 功,再分四类求出第三次取出白球 t 的方法数试 th功试 t 功试 t 功,进而求出第 个袋子中第三次取出的是白球的概率 ,及 h选到第 个袋子的概率为,最后根据互斥事件及独立事件的概率即可求解. 【解答】解:设选出的是第 个袋子,连续三次取球的方法数为 试 th功试 t 功,第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形:试白,白,白功,取法数为试 t 功试 t th功试 t t 功,试白,红,白功,取法数为 试 t 功试 t th功,试红,白,白功,取法数为 试 t 功试 t th功,试红,红,白功,取法数为 试 th功试 t 功,从而第三次取出的是白球的种数为:试 t 功试 t th功试 t t 功 试 t 功试 t th功 试 t 功试 t th功 试 th功试 t 功
试 th功试 t 功试 t 功, t 则在第 个袋子中第三次取出的是白球的概率 , h而选到第 个袋子的概率为, 故对于任意的正整数 试 ݊ 功,求第三次取出为白球的概率为: h t hh h th th h h h试 t 功 . th 所以 ,解得 h 故答案为 9.【答案】 【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用,二项展开式的特定项与特定项的系数,属于中档题.【解答】解:解:该二项式展开式的通项为 t ht h t 试t功 试t功 . h t 因为第 项为常数项,所以当 时, , hh t 解得 h 所以通项为 试t功 . hh 展开式中项数共有hh项,故A正确,B错误. h t h 含 的项得 ,即 ,所求的系数为 t , h 故C正确.根据通项公式,由题意得h t h t ,令 ,试 功,则h t ,即 t , h , 应为偶数, 可取 , ,t ,即 可取 , , , 第 项,第 项与第 项为有理项.故D正确.
10.【答案】 【解析】【分析】本题考查利用散点图判断两个变量的关系,属于基础题.根据去掉 点后变量 与变量 的线性相关性变强进行分析,即可得解.【解答】解:由散点图可知,散点大致分布在一条直线附近,变量 和变量 具有线性相关关系. 离回归直线较远,去掉后变量 和变量 的相关性变强,相关系数 的绝对值变大,残差的平方和变小,决定系数 变大,各组数据对应的点到回归直线的距离的平方和变小,所求回归直线方程与实际更接近.11.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了函数新定义,考查函数的定义域和值域,考查不等式恒成立问题,考查利用导数研究函数的单调性,属于较难题.A. ,利用导数可得 h,故不满足题意;hB. ㌳ ,设, t ln t,易知,试 功在 ㌳ 上单调递增,存在 h h㌳ ,使得, h ,满足题意;C. ,由 试 功t 试 功 试 t 功 得 ht t ,故不满足题意;hhD. ㌳ ,且, ,故当 时,故满足题意. 【解答】解: 选项中,易知 ,设 t th,则 T th,当 时, T试 功 ,函数 试 功单调递减;当 ݊ 时, T试 功݊ ,函数 试 功单调递增.故 试 功 试 功 ,故不存在 ,使得对任意 ,不等式 试 功t 试 功 试 t 功 恒成立,故A不正确;
选项中, ㌳ ,h设, t ln t, 易知,试 功在 ㌳ 上单调递增,h且,试h功 th,, ln t݊ , 所以存在 h h㌳ ,使得, h ,所以当 ㌳ h时,,试 功 当 h㌳ 时,,试 功݊ .故当 h时, t t 对任意的 ㌳ 恒成立,故B正确; 选项中,易知 ㌳ ㌳h 设, t t, h易知,试 功在 ㌳ 上单调递增,且, , hh所以当 ㌳时,,试 功 , 当 ㌳ 时,,试 功݊ . h故当 时, t t 对任意的 ㌳ 恒成立,故C正确. 选项中,易知 ,由 试 功t 试 功 试 t 功 得 t t ,即 ht t ,故不存在 ,使得对任意 ,不等式 试 功t 试 功 试 t 功 恒成立,故D错误;故选BC.12.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查条件概率和全概率公式综合,属于较难题.【解答】解:由题意可得, 试 功 ht h% 试 ܥ 功 试 ܥ 功 , 试 ܥ 功 试 ܥ 功 ,可得A正确.则有 ܥ ܥ 试ht h%功 h% ,故BC错误.
ܥ h% 试 ܥ 功 . 故D正确. 13.【答案】h 【解析】【分析】本题考查 次独立重复试验的概率计算,属于基础题.【解答】hh 试 功 试功 试功 h 14.【答案】th【解析】【分析】本题考查二项式定理有关的应用,为中档题.【解答】解: t ㌳ ㌳h㌳ ㌳ , ht h, 其中 t h t t hth , t t h t t th th. h h 15.【答案】h 【解析】【分析】本题主要考查正态分布,属于较易题.【解答】解:由题意可得Z~N(350,1002),设该业务保单的利润现值为x, t t 则有Z= ݊th , h 解得x>185.5.
16.【答案】试h㌳ 功【解析】【分析】本题考查利用导数的极值求解参数,考查转化能力与运算求解能力,属于较难题.求导,转化为 T试 功 试 t 功至少要有两个零点 h和 ,构造函数,试 功 T试 功,分类讨论,判断单调性,进而求解范围.【解答】解: T试 功 试 t 功至少要有两个变号零点 h和 ,构造函数,试 功 T试 功 试 t 功,对其求导,,T试 功 试 功 t ,试h功若 h,则,T试 功在 上单调递减,此时若,T试 功 ,则 T试 功在试t ㌳ 功上单调递增,在试 ㌳ 功上单调递减,此时若有 h和 分别是函数 试 功 t 试 ݊ 且 h功的极大值点和极小值点,则 h݊ ,不符合题意;试 功若 ݊h,则,T试 功在 上单调递增,此时若,T试 功 ,则 T试 功在试t ㌳ 功上单调递减,在试 ㌳ 功上单调递增, 令,T试 功 ,则 试ln 功 ,此时若有 h和 分别是函数 试 功 t 试 ݊ 且 h功的极大值点和极小值点,且 h ,则需满足 T试 功 , h即 T试 功 ln t 试t 功 ㌳ ݊㌳ ln ݊h㌳ln ln 故 ln ln ln ݊h,试ln 功所以 试h㌳ 功.17.【答案】解:试h功易知 T ,故递减区间为t ㌳t ,递增区间为t ㌳ . 试 功设切点 ㌳ ,则 h , 即 ݊ 可知 ݊ 或 t . t 有两非零解,由
【解析】本题考查利用导数研究函数单调区间,曲线外一点做曲线的切线,已知切线条数有关问题求参,为中档题. 试 th功 试 th功18.【答案】解:试h功由已知可得:当 时, t , 当 h时, h h,符合,所以 .试 功 . h h , h 试 th功 h, h h 试ht 功 h试ht 功 ht t 得,t t t ,ht 试 th功 h 所以 . 【解析】本题主要考查错位相减法求和,求数列的通项公式,属于中档题.19.【答案】解:试h功设事件 为某天甲同学中午去 餐厅用餐,事件 为该天晚上去 餐厅用餐,由题知 , , 试 ܥ 功 试 功 试 功 试 功t 试 功试 功由 试 ܥ 功 试 ܥ 功可知 , 试 功 试 功ht 试 功化简得 试 功 试 功 试 功,可知 与 相互独立,即 和 相互独立.【解析】本题考查条件概率的计算,条件概率与独立性的关系,属于中档题.20.【答案】解:试h功 T th,若切点是 ㌳ ,则切线方程为 t th试 t 功. th 当 h时,切线过点 试h㌳ 功,即 t h h试ht h功,得 h th. th 当 ݊h时,切线过点 th试 th㌳ 功,即 t 试 tht 功,得 th th. 所以数列 是首项为 th,公比为 th的等比数列, 试 功 th h 试 功 h hh h h th th th th th
hh th h th.【解析】本题考查曲线的切线方程的应用,考查等比数列通项公式的求解,以及数列不等式的证明,为中档题.21.【答案】解:试 功 的取值范围是 ㌳ ㌳ ㌳ ㌳ ㌳h ͺ,h h 试 功 试功 , hhhh , 试 功 试功试功 h h h , 试 功 试功试功 h h h h , 试 功 试功试功 h h hh , 试 功 试功试功 h h 试 h 功 试功 . 所以 的分布列为 h h h h h h h h 试 功 h . h h 试Ⅱ功由题意知,设“每天得分不低于 分”为事件 ,hh 则 试 功 试ht 功 所以 天中恰有 天每天得分不低于 分的概率 试 功 试 h功 试ht h功 试h 功 试ht 功 , h, T试 功 试h 功试ht 功t 试h 功试ht 功 试h 功试ht 功试 th 功, 当 试 ㌳功时, T试 功݊ , 试 功在试 ㌳功单增,
当 试㌳h功时, T试 功 , 试 功在试㌳h功单减, 所以当 时, 试 功取得最大值. 【解析】本题考查概率和导数的综合应用,属于较难题.试Ⅰ功求出 的所有可能取值和对应概率,即可得分布列和期望. 试Ⅱ功求出 天中恰有 天每天得分不低于 分的概率 试 功 试h 功试ht 功,利用导数即 可求解.h22.【答案】解:试h功易知 T th, 即 在 ㌳h时递增,试h㌳ 功时递减,故 试 功max th.试 功由 h可知 ln t ln t h,令 ln t ,即 h,,试 功 递增,且, h,故 ln t 有两个不同的正数根,hht 即 ln t ,则 T t , 若 ,则 T ݊ ,即 递增,最多只有一个零点,舍;hhh若 ݊ ,则 在 ㌳ 上递增, ㌳ 上递减,故 试 功max 试 功 tln th݊ ,即 h , h hhhhhh此时 tht , 在㌳上有一个零点,同时 lnt,设 , 则 ݊ , ln t 有 T th ,即 在 ㌳ 上递减,故 t hh ,故 ,故 在㌳ 只有一个零点, h综上: 【解析】本题考查利用导数研究函数的最值,利用导数研究函数的零点,属于综合题.
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