四川省德阳市 2022-2023学年高一数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

德阳中学高2022级高一下期5月月考数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合A和B，再根据交集的定义求解．【详解】由题得，，所以.故选：A.2.设复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算化简求值即可.【详解】由，得，故选：D．3.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（）A.的长度大于的长度B.的长度等于的长度C.的面积为4D.的面积为2 【答案】C【解析】【分析】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形求解.【详解】如图所示：由图象知：对于A，，则有，A错误；对于B，，，B错误；的面积，C正确D错误；故选：C4.若向量，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.（，）C（，）D.（4，2）【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积及向量在向量上的投影向量计算即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，故选：B5.已知，则的化简结果是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.【详解】因为，所以，，则，所以.故选：A6.以下说法正确的个数为（）①圆柱的所有母线长都相等②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形③底面是正多边形的棱锥是正棱锥④棱台的侧棱延长后必交于一点A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用圆柱，棱柱，正棱锥和棱台的定义和性质，逐一对①②③④分析判断即可得出结果.【详解】对于①，由圆柱的性质知，所以母线相等，故①正确；对于②，所有棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形，故②正确；对于③，底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形是正棱锥，故③错误；对于④，用平行于底面的平面去截棱锥可得到棱台，所以棱台的侧棱延长后必交于一点，故④正确.故选：C.7.已知函数，，则“”是“的值域为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】 利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立；必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.8.设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b=3，c=5，则=（　　）A.8B.C.6D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的定义结合圆的性质求解作答.【详解】因为O为△ABC的外心，则，同理，所以.故选：A二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（） A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱､圆锥､球的体积之比为【答案】CD【解析】【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可.【点睛】对选项A，圆柱的侧面积为，故A错误；对选项B，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，故B错误.对选项C，球的表面积为，故C正确.对选项D，圆柱的体积，圆锥的体积，球的体积，所以圆柱､圆锥､球的体积之比为，故D正确.故选：CD10.若，是方程的两个虚数根，则（）A.的取值范围为B.的共轭复数是C.D.为纯虚数【答案】BCD【解析】【分析】，是方程的两个虚数根，则，得，则根据一元二次方程方程的求根公式可知的共轭复数是， 【详解】由，得，A错误；因为原方程的根为，所以的共轭复数是，B正确；，C正确；因为等于或，所以为纯虚数，D正确.故选：BCD.11.已知函数，其中的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（）A.一条对称轴为B.若，则有是的整数倍C.的图象关于对称D.若，函数的值域为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意求得，对于A：说明为一条对称轴；对于B：两个零点之间相差半个周期的整数倍；对于C：验证是否为的零点；对于D：先求出的范围，再求的值域.【详解】因为的最小正周期为，所以，所以，对于A：因为，所以的一条对称轴为，故A正确；所以，所以，因为，所以，所以 ，对于B：由得，所以，所以，故B正确；对于C：因为，所以不是的图象的对称中心，故C错误；对于D：由得，所以，故D正确.故选：ABD12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中使用．如图，一个半径为6米的筒车逆时针匀速转动，其圆心O距离水面3米，已知筒车每分钟转动1圈，如果当筒车上一盛水桶M（视为质点）从水中浮现时（图中点）开始计时，经过t秒后，盛水桶M运动到P点，则下列说法正确的是（）A.当秒时，米；B.在转动一周内，盛水桶到水面的距离不低于6米的持续时间为20秒；C.当时，盛水桶距水面的最大距离为米；D.盛水桶运动15秒后筒车上另一盛水桶恰好露出水面，则转动中两盛水桶高度差的最大值为米．【答案】BCD【解析】【分析】以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心为坐标原点，以平行于水面的直线为轴建立平面直角坐标系，求出点距离水面的高度关于时间的函数解析式，再根据三角函数的性质一一分析即可.【详解】解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心为坐标原点，以平行于水面的直线为 轴建立平面直角坐标系，点距离水面的高度关于时间的函数为．则，解，，又水轮每分钟转动一周，则，，由，得，，则．对于A：当时，，又，，故A错误；对于B：令，则，所以，解得，则在转动一圈内，盛水桶到水面的距离不低于米以上的持续时间为秒，故B正确；对于C，当，则，则，所以，故C正确；设盛水桶运动时间为，则另一桶为，所以 ，当时，故D正确；故选：BCD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，则__________.【答案】【解析】【分析】利用计算即得结果.【详解】由题设可知，，所以，故答案为：14.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的侧面积为，则其母线长为__________.【答案】9【解析】【分析】由圆台的侧面积公式求得圆台的母线长.【详解】圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，设圆台的母线长为l，则该圆台的侧面积为，则，所以圆台的母线长为9．故答案为：9.15.三棱锥的顶点都在球O的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为108，则球O的表面积为________.【答案】 【解析】【分析】解三角形知为直角三角形，求出外接圆半径，圆心、球心、P在一条直线上时棱锥体积最大，求出此时棱锥高，再由求出球的半径即可.【详解】在中，由正弦定理得：，解得，，外接圆的半径，当三棱锥体积最大时，P到的距离最大，即P点为AB中点与球心连线延长线与球的交点，且此连线垂直于平面ABC，设三棱锥的高为h，则，解得，设球的半径为R，则，解得..故答案为：16.已知分别为锐角的三个内角的对边，为中点，，且，则长度的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理，余弦定理可求，由向量求得，再利用正弦定理进行边角互化，利用三角恒等变换及三角函数的性质求解.【详解】由已知及正弦定理得，整理得，由余弦定理得， 又，∴．由正弦定理得，∴，∵锐角，∴，∴．∴的取值范围为．因为为中点，所以所以因为，所以故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17.已知，向量，. （1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；（2）若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解；（2）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解.【小问1详解】设点C的坐标为，因为，，，可得，则，若四边形OACB为平行四边形，可得，则，解得，故点C的坐标为.【小问2详解】设点P的坐标为，由（1）可知：，则，若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则， 则，解得，故点P的坐标为.18已知锐角，，且满足，．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出和，利用两角和的正弦弦公式求出；（2）根据同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求，结合角的范围可得答案.【小问1详解】因为，是锐角，所以由，，∵为锐角，，且，∴，，，，所以，，. 【小问2详解】因为是锐角，由，则，由，，所以，，∵，∴．19.在长方体中，下底面的面积为16，.（1）求长方体的表面积的最小值；（2）在（1）的条件下，设上底面的中心为，求三棱锥的体积.【答案】（1）96（2）【解析】【分析】（1）首先利用棱长表示正方体的表面积，再结合基本不等式求最小值；（2）利用等体积转化求三棱锥的体积.【小问1详解】设，，由题意可知，，则长方体的表面积，当时，等号成立，所以长方体表面积的最小值为96；【小问2详解】由（1）可知，，根据等体积公式可知，. 20.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；（2）先利用正弦定理将转化为的关系，再结合（1）中的条件求出，最后利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】,由正弦定理得，即，又，；【小问2详解】，由正弦定理得①，又②，由①②得， .21.已知．（1）当时，求的x的取值范围；（2）是否存在实数，使得不等式，对任意的恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简得到，代入得到，解得答案.（2）代入数据化简不等式，设，，变换得到，设，计算最大值得到答案.【小问1详解】.，即，故，解得.【小问2详解】， 即，即，设，则，，，则，，故，即，设，，故，解得，即.22.十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.（1）若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长；（2）若在另一次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；（3）在杆AB上有两点，满足.当横档CD的中点E位于时，记太阳高度角为 ，其中，都是锐角.证明：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合图形，在中用正切函数的定义即可求出.(2)先求出，用余弦定理求出的值，再用同角的平方关系即可求出；或先求出和，再用正弦的二倍角公式求出.(3)先求出，通过变形得到讨论函数在上的单调性，即可证明结论.【小问1详解】如图1，由题意得，，，且E是的中点，，，所以在中，.【小问2详解】解法一：由题意，.由于E是的中点，且，所以，且.由余弦定理得从而 即太阳高度角的正弦值为.解法二：由题意，.由于E是的中点，且，所以，且，于是且，从而,即太阳高度角的正弦值为.【小问3详解】由题意，，因为，都是锐角，则，所以，从而.根据，可知因为函数在单调递增，且，所以，即.【点睛】方法点睛：新文化题出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决问题，这种题目的特点，就是把要解决的实际问题转化为数学公式或者概念.在本题中，要把物体的长度，太阳高度角等实际生活中的条件转化为三角形中的长度和角度，从而利用三角函数的有关知识解答.