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湖北省襄阳市第四中学2023届高三数学下学期5月适应性考试(一)试题(Word版附解析)
湖北省襄阳市第四中学2023届高三数学下学期5月适应性考试(一)试题(Word版附解析)
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绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一)数学本试卷共4页,22题.全卷满分150分.考试用时150分钟.★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先解对数不等式求出集合,在根据二次函数的性质求出集合,最后根据并集的定义计算可得.【详解】由,解得,所以,又,所以.故选:A2.若复数在复平面内对应的点在第四象限,则实数a的取值范围是() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数运算法则求复数的代数形式,根据点所在象限列不等式组即可求解.【详解】由题得,复数在复平面内所对应的点在第四象限,所以,解得:,所以a的取值范围是.故选:C3.已知非零向量满足,则在方向上的投影向量为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得,根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.【详解】由知:,可得,所以在方向上的投影向量为.故选:B4.已知数列为等差数列,且满足,,则的值为()A.2033B.2123C.123D.0【答案】D【解析】【分析】根据是等差数列,先求出公差,然后由等差数列的通项公式即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为,则,所以,故选:D. 5.现有高校进入高中校园组织招生宣传,4名男生、3名女生去参加A,B两所高校的志愿填报咨询会,每个学生只能去其中的一所学校,且要求每所学校都既有男生又有女生参加,则不同的安排方法数是()A.42B.60C.84D.120【答案】C【解析】【分析】先将男生按2,2和3,1,分为2组分配到两个学校,再把女生分3,1两组分配到两个学校,然后利用分步乘法计数原理求解.【详解】解:先将男生分为2组分配到两个学校:一类是,二类是,再把女生分为2组分配到两个学校有,然后利用分步乘法计数原理得,故选:C6.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就,其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个81位数,则由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001),可得的值为()235711130.3010.4770.69908451.0411.114A.13B.14C.15D.16【答案】B【解析】【分析】由题意得出,然后两边取以10为底的对数,再对比参考数据可得出.【详解】由题意知,,即,,而,,,,,,正整数的值为14. 故选:B.7.若a,b,c均为正数,且满足,则的最小值是()A.2B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用条件得到,再利用均值不等式即可得出结果.【详解】因为,所以,又a,b,c均为正数,,当且仅当时取等号,所以,即,故选:A.8.如图,二面角的大小为,已知A、B是l上的两个定点,且,,,AB与平面BCD所成的角为,若点A在平面BCD内的射影H在的内部(包括边界),则点H的轨迹的长度为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意:点H的轨迹是以点B为球心,以为半径的球与以AB为轴,母线AH与轴AB成60°的圆锥侧面交线的一部分,该部分是圆心角为的弧长,只要求出半径即可.【详解】如图所示: 因为AB与平面BCD所成的角为,且点A在平面BCD上的射影H,,所以,所以点H在以点B为球心,以为半径的球面上,又点H在以AB为轴,以AH为母线的圆锥的侧面上,所以点H的轨迹为以点B为球心,以为半径的球与以AB为轴,母线AH与轴AB成的圆锥侧面交线的一部分,即图中扇形EOF的弧EF,且扇形所在平面垂直于AB,因为二面角α﹣1﹣β的平面角的大小为,所以,又,所以点H的轨迹的长度等于,故选:D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知平面平面,且,则下列命题不正确的是()A.平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B.平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C.平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD.过平面α内的任意一点作交线l的垂线,则此垂线必垂直于平面β【答案】ACD【解析】【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可. 【详解】对于A,平面内取平行于交线的直线时,该直线与平面平行,不垂直于平面β内的任意一条直线,故A错误;对于B,取平面内无数条与交线垂直的直线,平面内的已知直线与这无数条直线垂直,故B正确;对于C,平面内取与平行的直线,不垂直于平面,故C错误;对于D,若内任意一点取在交线上,所作垂线可能不在平面内,所以不一定垂直于平面,故D错误.故选:ACD10.设函数在R上存在导函数,对任意的有,且在上,若,则实数a的可能取值为()A.B.0C.1D.2【答案】AB【解析】【分析】构建,根据题意分析可得:为奇函数,在R上单调递增,利用单调性解不等式即可得结果.【详解】令,即,则为奇函数,当时,,则在区间上单调递增,故在区间上单调递增,则在R上单调递增,∵,即,∴,解得,故A、B正确,C、D错误.故选:AB.11.已知抛物线的焦点为F,准线与x轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线E交于A,B两点(点A和点C在点B的两侧),则下列命题正确的是()A.若BF为的中线,则B.若BF为的角平分线,则C.存直线l,使得 D.对于任意直线l,都有【答案】ABD【解析】【分析】这直线,不妨令都在第一象限,联立方程组,根据则,求得,以及,,结合选项,利用抛物线的几何性质,逐项判定,即可求解.【详解】由题意,不妨令都在第一象限,又由,可得,设直线,联立方程组,整理得,则,解得,且,所以,如图所示,对于A中,若为的中线,可得,所以,所以,所以,可得,由抛物线的定义可得,所以,所以A正确;对于B中,若为的角平分线,则,作、垂直准线于、两点,则且,所以,所以,可得,将代入整理得,解得或(舍去),所以,所以B正确;对于C中,若,即,所以为等腰直角三角形,此时,即,可得,即,解得,此时,则此时为同一个点,不合题意,所以C错误; 对于D中,由,又由,结合,可得,即恒成立,所以D正确.故选:ABD12.设,当时,规定,如,.则下列选项正确的是()A.B.C.设函数的值域为,则的子集个数为D.【答案】BD【解析】【分析】结合特例,可判定A错误;结合,可判定B正确;结合正弦、余弦函数的值域,得到的值域为,可判定C正确;设,得到的周期为,证得恒为,可判定D正确.【详解】对于A中,例如,则,,可得,所以A错误; 对于B中,由,,所以,所以,所以B正确;对于C中,因为,可得,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,若,则且,所以且,即且,所以,不符合题意,即,同理,若,则与其中一个为,另一个为,或其中一个为,另一个为,不妨令,则,此时,,则,,所以,,又,显然不符合题意;再令,则,此时,, 则,,所以,,又,不妨令,,此时满足;即函数的值域为,所以集合的子集个数为,所以C错误;对于D中,设,若,可得,所以,,则,所以的周期为,又当时,可得,此时;,此时;,此时;,此时,所以,结合周期为,即恒为,即,所以,所以D正确. 故选:BD.【点睛】方法点睛:对于函数的新定义试题的求解:1、根据函数的新定义,可通过举出反例,说明不正确,同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化;2、正确理解函数的定义的内涵,紧紧结合定义,结合函数的基本性质(如单调性、奇偶性和周期等性质)进行推理、论证求解.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中含项的二项式系数为___________.【答案】【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式,确定第五项中k的值,再求二项式系数.【详解】由题意知:通项为,令,得,所以的展开式中含项为第六项,第六项的二项式系数为:.故答案为:.14.若函数的最小值为,则常数的一个取值为___________.(写出一个即可)【答案】(答案不唯一).【解析】【分析】化简函数解析式,由条件结合正弦函数性质求常数的一个取值即可.【详解】可化为,所以,设,则,设,则,因为函数的最小值为, 所以,,所以或,其中,故答案为:(答案不唯一).15.某次视力检测中,甲班12个人视力检测数据的平均数是1,方差为1;乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5,方差为0.25,则这20个人的视力的方差为___________.【答案】0.76##【解析】【分析】根据均值和方差计算公式代入可得.【详解】设甲班12个人视力检测数据分别为,乙班8个人的视力检测数据分别为,由题意知:,,,,由题意20个人的视力的平均数为方差为故答案为:0.7616.如图,已知有公共焦点、的椭圆和双曲线相交于A、B、C、D四个点,且满足,直线AB与x轴交于点P,直线CP与双曲线交于点Q,记直线AC、AQ的斜率分别为、,若,则椭圆 的离心率为___________.【答案】##【解析】【分析】设椭圆的方程为,双曲线的方程为,联立方程组求的坐标,再求点的坐标,由条件列方程求椭圆的离心率.【详解】设椭圆的方程为,双曲线的方程为,因为椭圆和双曲线有公共焦点、,所以,因为,联立,可得,所以,所以点的坐标分别为,,,, 所以直线的斜率,直线的方程为,所以点的坐标为,所以直线的斜率为,所以直线的方程为,联立,消得,,设点的坐标为,则,所以,,所以直线的斜率,又,,所以,又,所以,因为点,,所以,故,故 所以.故答案为:.【点睛】方法点睛:椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,.(1)求的值:(2)在边AB上取一点D,使得,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先由余弦定理求出,再由正弦定理求出;(2)根据的值,求得的值,由(1)求得的值,从而求得的值,进而求得的值.【小问1详解】由已知在中,,,.由余弦定理,可得,所以.在中,由正弦定理 得:,解得:;【小问2详解】由于,,所以,在中由(1)知,所以,所以,又,所以.所以.由于,所以.所以.18.设正项数列的前n项和为,已知,且.(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1); (2)【解析】【分析】(1)根据得到,根据和得到,即可得到数列是公差为2的等差数列,然后求通项即可;(2)利用裂项相消的方法求和即可.【小问1详解】因为,所以①,所以时,②.由,得,即.因为各项均为正数,所以,即,因为,所以,,解得,,,所以数列是公差为2等差数列,所以.【小问2详解】由(1)得.当n为偶数时,;当n为奇数时,. 所以19.在三棱锥P-ABC中,若已知,,点P在底面ABC的射影为点H,则(1)证明:(2)设,则在线段PC上是否存在一点M,使得与平面所成角的余弦值为,若存在,设,求出的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)在线段PC上是否存在一点M,满足条件,且.【解析】【分析】(1)由条件证明,再证明,由此可得,由线面垂直判定定理证明平面,由此证明;(2)建立空间直角坐标系,技术存在点满足条件,由条件求平面的法向量和直线的方向向量,由条件列方程求即可.【小问1详解】因为点P在底面ABC的射影为点H,所以平面,又平面,所以,因为,,,平面, 所以平面,又平面,所以,因为,,,平面,所以平面,又平面,所以,因为,,所以点为的垂心,所以,因为,,平面,,所以平面,又平面,所以;【小问2详解】延长交于点,由(1)可得,又,所以点为线段的中点,所以,同理可得,所以为等边三角形,又,所以,如图,以点为原点,以为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,故,设存在点M,使得BM与平面所成角的余弦值为,且,则,设平面的法向量为,,则,所以,令,可得,所以为平面的一个法向量,所以,设直线BM与平面所成角为,则,又, 所以,故,所以或,又,所以所以在线段PC上存在点M,使得BM与平面PAB所成角的余弦值为,且.20.某校举行“强基计划”数学核心素养测评竞赛,竞赛以抽盲盒答题的形式进行,现有甲、乙两个盲盒箱,甲中有4个选择题和2个填空题,乙中有3个选择题和3个填空题,竞赛可以以不同的方式进行.(1)若已知A班选择了甲箱,且派出5人参赛,每个人盲抽一个题作答,答完后仍放回甲箱.每个人答对选择题的概率为,答对得3分,答错得0分,每个人答对填空题的概率为,答对得5分,答错得0分,求A班总得分X的数学期望.(2)若已知A班班长先从甲箱中依次抽取了两道题目,答题结束后将题目一起放入乙箱中,然后B班班长再从乙箱中抽取一道题目,已知B班班长从乙箱中抽取的是选择题,求A班班长从甲箱中取出的是两道选择题的概率.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)先计算A班参加竞赛的5个人中每个人得分的平均分,在根据数学期望的意义求出A班得分的数学期望;(2)按照不放回概率思想计算.【小问1详解】A班在甲箱抽取时,每个人抽到选择题的概率为,抽到填空题的概率为,每个人得分的平均值,A班得分的数学期望;【小问2详解】因为A班班长抽取在先,放回甲箱后再由B班班长在乙箱抽取,所以A班班长抽取的结果与B班班长抽取的结果无关,在A班班长抽取2题时,是不放回的抽取,所以抽到的是2道选择题的概率;21.已知双曲线的离心率为,点,分别是其左右焦点,过点的直线交双曲线的右支于P,A两点,点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时,.(1)求双曲线的标准方程.(2)线段交圆于点B,记,,的面积分别为S1,S2,S,求的最小值. 【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据双曲线的离心率为,得到,再根据,得到求解.(2)设,则,求得,再利用双曲线的定义得到,,再由,求解.【小问1详解】解:因为双曲线的离心率为,所以,又过点的直线PA的斜率不存在时,,所以.解得,所以双曲线的方程为:;【小问2详解】设,则,且,所以,,,由双曲线定义得,所以,则, 所以,,,所以,当且仅当时,等号成立,所以的最小值.22.已知函数(1)若,求不等式的解集;(2)若存在两个不同的零点,,证明:.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】【分析】(1)由的单调性及可求解;(2)根据函数存在两个不同的零点,得,,将所证不等式转化为,利用由(1)的过程知及,代入可证得结论.【小问1详解】令,的定义域为, 则,所以在上单调递增.因为,所以当时,,当时,,所以原不等式的解集为.【小问2详解】证明:,令,易知在上单调递减,且.当时,,此时单调递增;当时,,此时单调递减.所以.因为函数存在两个不同的零点,所以,即,由图可知,由题意知,所以,两式相减得.所以等价于,也等价于.因为,所以由(1)的解题过程知……①……②因为,所以,即……③ ①+②+③得,所以.【点睛】关键点点睛:本题难点在零点的转化应用:由的零点为得:(1),两式相减得,使用此时代入消去.(2)由得即,使用此时代入消去.本题中两次对零点的使用都富有创新性.
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高考 - 模拟考试
发布时间:2023-05-29 03:54:04
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文章作者:随遇而安
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