浙江省宁波市镇海中学2023届高三数学下学期4月统一测试试题(Word版附解析)
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2022学年第二学期普通高中高三4月统一测试数学试题第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可得,由此可得出结论.【详解】任取,则,其中,所以,,故,因此,.故选:C.2.已知是互相垂直的单位向量,若,则()A.B.C.0D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积运算求得正确答案.【详解】故选:A3.已知是定义在上的函数,那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增,则在上的最大值为,
若在上的最大值为,比如,但在为减函数,在为增函数,故在上的最大值为推不出在上单调递增,故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件,故选:A.4.已知,均为锐角,且,则的最大值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将变形,配角利用两角差的正弦公式展开化简计算,可得关于的一元二次方程,根据列不等式求解的取值范围,即可得最大值.【详解】∵,∴,即,∴,即,又因为为锐角,所以该方程有解,即,解得.又为锐角,∴.所以的最大值是.故选:C5.如图1所示,古筝有多根弦,每根弦下有一个雁柱,雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中,每根弦都垂直于x轴,相邻两根弦间的距离为1,雁柱所在曲线
的方程为,第n根弦(,从左数第1根弦在y轴上,称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线交于点(,)和(,),则()参考数据:取.A.814B.900C.914D.1000【答案】C【解析】【分析】求出,用错位相减法求和即可.详解】由条件可得①,所以②,-②得:,,所以.故选:C.6.数列满足,,且其前项和为.若,则正整数()A.99B.103C.107D.198【答案】B
【解析】【分析】根据递推公式,构造新数列为等比数列,求出数列通项,再并项求和,将用表示,再结合通项公式,即可求解.【详解】由得,∴为等比数列,∴,∴,,∴,①为奇数时,,;②为偶数时,,,∵,只能为奇数,∴为偶数时,无解,综上所述,.故选:B.【点睛】本题考查递推公式求通项,合理应用条件构造数列时解题的关键,考查并项求和,考查分类讨论思想,属于较难题.7.已知函数,,若,,,则、、的大小关系为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断出函数是偶函数,且在区间上单调递增,然后比较、、三个数的大小,由此可得出、、的大小关系.【详解】,该函数的定义域为,,所以,函数为偶函数,当时,,任取,,则,,所以,,
,,即,所以,函数在上单调递增,,,则,即.故选:A.【点睛】本题考查函数值的大小比较,解题的关键在于分析函数的单调性与奇偶性,考查推理能力,属于中等题.8.已知定点,动点Q在圆O:上,PQ的垂直平分线交直线OQ于M点,若动点M的轨迹是双曲线,则m的值可以是()A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】当在圆内时,由几何性质可得,此时的轨迹是以为焦点的椭圆.当在圆上时,线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时,,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支,从而可得答案.【详解】当在圆内时,设与圆的另一交点为,设点为弦的中点,则,线段的中点在线段内,则线段的中垂线交线段于点,如图1.连接,则,所以
则此时的轨迹是以为焦点的椭圆.当在圆上时,线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时,设与圆的另一交点为,设点为弦的中点,则,线段的中点在线段内,则线段的中垂线交线段的延长线于点,如图2.连接,则,所以则此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.同理当在圆上运动时,还会得到所以动点的轨迹是双曲线,则在圆外,所以故选:D二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列命题中正确的有()A.若复数满足,则;B.若复数满足,则;C.若复数满足,则;D.若复数,则.【答案】AD
【解析】【分析】根据复数的运算性质,即可判定A正确;取,可判定B不正确;取,可判断C不正确;根据复数的运算法则,可判定D正确.【详解】对于A中,设复数,可得,因为,可得,所以,所以A正确;对于B中,取,可得,所以B不正确;对于C中,例如:,则,此时,所以C不正确;对于D中,设,由,可得,即,可得,所以D正确.故选:AD10.将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,若在上为增函数,则的值可能为()A.B.1C.2D.3【答案】ABC【解析】【分析】先利用三角函数平移得到的解析式,再利用正弦函数的性质得到的单调递增区间,结合题意可得,从而得解.【详解】依题意,,由,得:,所以的单调递增区间为,
因为在上为增函数,所以只考虑的一个单调递增区间,故,即,解得,所以选项D不满足,选项ABC满足.故选:ABC.11.在正三棱柱中,,点满足,其中,,则()A.当时,的周长为定值B.当时,三棱锥的体积为定值C.当时,有且仅有一个点,使得D.当时,有且仅有一个点,使得平面【答案】BD【解析】【分析】对于A,由于等价向量关系,联系到一个三角形内,进而确定点的坐标;对于B,将点的运动轨迹考虑到一个三角形内,确定路线,进而考虑体积是否为定值;对于C,考虑借助向量的平移将点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数;对于D,考虑借助向量的平移将点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数.
【详解】易知,点在矩形内部(含边界).对于A,当时,,即此时线段,周长不是定值,故A错误;对于B,当时,,故此时点轨迹为线段,而,平面,则有到平面的距离为定值,所以其体积为定值,故B正确.对于C,当时,,取,中点分别为,,则,所以点轨迹为线段,不妨建系解决,建立空间直角坐标系如图,,,,则,,,所以或.故均满足,故C错误;对于D,当时,,取,中点为.,所以点轨迹为线段.设,因为,所以,,所以,此时与重合,故D正确.故选:BD.【点睛】本题主要考查向量的等价替换,关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.
12.已知函数,方程有两个不等实根,则下列选项正确的是()A.点是函数的零点B.,,使C.是的极大值点D.的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】求出函数导数,利用导数求出函数的单调性,画出函数图象,数形结合即可判断每个选项.【详解】当时,,则,当时,,单调递增,当时,,单调递减,且;当时,,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,且,且恒成立,画出函数图象如下:
对A,由函数图象可得0是函数的零点,故A错误;对B,由图可得,故,,使,故B正确;对C,由图可得是的极大值点,故C正确;对D,方程等价于或,由图可得有1个实数根,所以方程有两个不等实根等价于有1个非零实根,则由图可得或,故D错误.故选:BC.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,当时,,若,则_________.【答案】【解析】【分析】根据题意,结合奇、偶函数的性质,列方程组求出和,即可求解.【详解】根据题意,由为奇函数,得关于对称,故,即,∵,∴,又∵,
∴,即,由,解得,,∵,∴.故答案为:.14.已知,若Î,使得,若的最大值为M,最小值为N,则___________.【答案】【解析】【分析】作出在上的图象,为的图象与直线y=m交点的横坐标,利用数形结合思想即可求得M和N﹒【详解】作出在上的图象(如图所示)因为,,所以当的图象与直线相交时,由函数图象可得,设前三个交点横坐标依次为、、,此时和最小为N,由,得,
则,,,;当的图象与直线相交时,设三个交点横坐标依次为、、,此时和最大为,由,得,则,,;所以.故答案为:.15.已知椭圆,,若上任意一点都满足,则的离心率的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】利用距离公式将表示,配方后,分和两种情况讨论即得.【详解】设,则,因为,当即时,,所以,,所以,即,显然该不等式不成立,
当,即时,,恒成立,由,得,所以综上,离心率的范围为.故答案为:16.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿(1643-1727)给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图,方程的根就是函数的零点r,取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为,一直这样下去,得到,它们越来越接近r.若,则用牛顿法得到的r的近似值约为___________(结果保留两位小数).【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程进行求解即可.【详解】由,,所以在处的切线方程为:,令,可得:,所以在处的切线方程为:,令,故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数的最小正周期为8.(1)求的值及函数的单调减区间;(2)若,且,求的值.【答案】(1),[](k∈Z);(2).【解析】分析】(1)化简f(x),根据最小正周期求出ω,再求f(x)单调减区间;(2)由求出,在结合求出,最后利用正弦的和角公式求﹒【小问1详解】由已知可得,,∵的最小正周期,∴,∴,由得,∴f(x)的单调递减区间为[](k∈Z);【小问2详解】∵,由(1)有,即,由,知;∴,
故﹒18.已知数列是等差数列,,且,,成等比数列.给定,记集合的元素个数为.(1)求,的值;(2)求最小自然数n的值,使得.【答案】(1),;(2)11【解析】【分析】(1)利用等比数列的性质求得公差,得通项公式,写出时的集合可得元素个数,即;(2)由(1)可得,然后分组求和法求得和,用估值法得时和小于2022,时和大于2022,由数列的单调性得结论.【小问1详解】设数列的公差为,由,,成等比数列,得,,解得,所以,时,集合中元素个数为,时,集合中元素个数为;小问2详解】由(1)知,,
时,=2001<2022,时,=4039>2022,记,显然数列是递增数列,所以所求的最小值是11.19.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的六面体中(其中平面EDC),四边形ABCD是正方形,平面ABCD,,且平面平面.(1)设为棱的中点,证明:四点共面;(2)若,求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)根据线面垂直以及面面垂直的性质证明平面,平面,进而证明,即可求解,(2)建立空间直角坐标系,根据平面法向量以及向量的夹角即可求解平面夹角.【小问1详解】连接,由于四边形ABCD是正方形,所以,又平面,平面,所以,平面,所以平面,由于为棱的中点,,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,因此,所以四点共面,
【小问2详解】由于两两垂直,故建立如图所示空间直角坐标系,,,设,由(1)知,故,解得,故,,设平面,的法向量分别为则即,取,则,即,取,则,设平面与平面的夹角为,则20.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.
如图所示的小木块中,上面7层为高尔顿板,最下面一层为改造的高尔顿板,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过7次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2…,6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽,则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处,再以的概率向右滚下,或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处,再以的概率向左滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验,求小球落入第7层第6个空隙处的概率;(2)小明同学在研究了高尔顿板后,利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动,8元可以玩一次高尔顿板游戏,小球掉入号球槽得到的奖金为元,其中.①求的分布列:②高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小明同学能盈利吗?【答案】(1);(2)①答案见解析,②能盈利.【解析】【分析】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M,小球落入第7层第6个空隙处,需要在6次碰撞中有1次向左5次向右,由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率;(2)①记第7层从左向右的空隙编号为,的取值分别为1,2,3,4,5,6,7,则的取值分别为0,1,2,3,4,5,6,且,X的取值可为1,2,3,4,5,6,此能求出X的分布列;②由①得的可能取值为0,5,10,15,进而可求出的分布列和,从而能求出小明同学能盈利.【详解】解:(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M,小球落入第7层第6个空隙处,需要在6次碰撞中有1次向左5次向右,
则;(2)①,记第7层从左向右的空隙编号为,的取值分别为1,2,3,4,5,6,7,则的取值分别为0,1,2,3,4,5,6,且,X的取值可为1,2,3,4,5,6,,,,,,,∴X的分布列为X123456P②,的可能取值为0,5,10,15,,,,,∴.∴小明同学能盈利.21.已知双曲线E:与直线l:相交于A、B两点,M为线段AB的中点.(1)当k变化时,求点M的轨迹方程;
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点,问:是否存在实数k,使得A、B是线段CD的两个三等分点?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【答案】(1),其中或(2)存在,【解析】【分析】(1)设,,,联立直线l与双曲线E的方程,消去y,得,根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点,得且,即且,由韦达定理,得,则,,联立消去k,得,再根据的范围得出的范围,即可得出答案;(2)设,,根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出,,则,即线段AB的中点M也是线段CD的中点,若A,B为线段CD的两个三等分点,则,结合弦长公式列式得,即可化简代入得出,即可解出答案.【小问1详解】设,,,联立直线l与双曲线E方程,得,消去y,得.由且,得且.由韦达定理,得.
所以,.由消去k,得.由且,得或.所以,点M的轨迹方程为,其中或.【小问2详解】双曲线E的渐近线方程为.设,,联立得,同理可得,因为,所以,线段AB的中点M也是线段CD的中点.若A,B为线段CD的两个三等分点,则.即,.而,.所以,,解得,所以,存在实数,使得A、B是线段CD的两个三等分点.22.已知,函数.(I)求曲线在点处的切线方程:(II)证明存在唯一的极值点(III)若存在a,使得对任意成立,求实数b的取值范围.【答案】(I);(II)证明见解析;(III)
【解析】【分析】(I)求出在处的导数,即切线斜率,求出,即可求出切线方程;(II)令,可得,则可化为证明与仅有一个交点,利用导数求出的变化情况,数形结合即可求解;(III)令,题目等价于存在,使得,即,利用导数即可求出的最小值.【详解】(I),则,又,则切线方程为;(II)令,则,令,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增,当时,,,当时,,画出大致图像如下:所以当时,与仅有一个交点,令,则,且,当时,,则,单调递增,当时,,则,单调递减,为的极大值点,故存在唯一的极值点;(III)由(II)知,此时,所以,
令,若存在a,使得对任意成立,等价于存在,使得,即,,,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,故,所以实数b的取值范围.【点睛】关键点睛:第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点;第三问解题的关键是转化为存在,使得,即.
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