湖北省荆荆襄宜四地七校2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A．-1B．5C．4D．32.若随机事件，则（）A．B．C．D．3.已知直线为曲线在点处的切线，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．1001234.已知随机变量的分布列如右表，则的均值等于（）A．B．C．1D．25.某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（）A．B．C．D．6.设（是自然对数的底数），，，则的大小关系为（）A．B．C．D．7.已知数列为等差数列，其首项为1，公差为2，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的取值可以是下面选项中的（）A．9B．10C．11D．12 8.若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱，，，，则下列结论正确的有（）A．四面体是鳖臑B．阳马的体积为C．若，则D．到平面的距离为10.在平面直角坐标系中，已知定点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是（）A．曲线的方程为B．直线与曲线的位置关系无法确定C．若直线与曲线相交，其弦长为4，则D．的最大值为311.关于函数，下列说法正确的是（）A．在上单调递增B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得恒成立D．对任意两个正实数，且，若，则12.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（） A．点在抛物线的准线上B．C．D．若，则的值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在等比数列中，，则______________.14.的展开式中的系数是______（用数字作答）.15.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为__________________.16.黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题（1）_____；（其中表示不超过的最大整数，如）（2）已知正项数列的前项和为，且满足，则_________.（参考数据：）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知函数（，是自然对数的底数）.（1）若，求的极值；（2）若在上单调递增，求的取值范围.18.（12分）手机碎屏险，即手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机的普及，应运而生的保险.为方便手机用户，某品牌手机厂商针对两款手机推出碎屏险服务，保修期为1年，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务，两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：碎屏险费/元50屏幕意外损坏概率0.050.08 （1）某人分别为款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为0.05，0.08，手机屏幕意外损坏相互独立.记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为，求的分布列和数学期望.（2）已知在该手机厂商在售出的两款手机中，分别有24000部和10000部上了碎屏险，两款手机更换屏幕的成本分别为400元和600元.若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于50万元，求款手机的碎屏险费最低应定为多少？（业务收入=碎屏险收入—屏幕更换成本）19.（12分）如图，已知三棱柱中，，四边形是菱形.（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值.20.（12分）已知数列的前项和为，.（1）求的值，并求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：.21.（12分）已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆上异于椭圆右顶点的四个不同的点，直线、直线均不与坐标轴垂直，直线过点且与直线垂直，，证明：直线和直线的交点在一个定圆上. 22.（12分）已知函数（是常数，是自然对数的底数）.（1）当时，求函数的最大值；（2）当时①证明：函数存在唯一的极值点.②若，且，证明：.2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”数学试题参考答案一、选择题123456789101112DDBCDAACBCDADABDACD1.D2.D，故3.B，，切线，即，则点到直线的距离为4.C，得，则5.D法1：法2：6.A有，得由，得，，即，故7.A，， 当时，当时8.C设，则，得在上单增则设，则，得在上单增，在上单减，则，故9.BCDA错B对，C对，D对，，由，得10.ADA对，设动点，则，即B错，直线过定点，点在圆内C错，圆心在上，代入得.D对，11.ABDA对，，在上单减，在上单增B对，设，，在上单减，又，则在上有且只有一个零点.C错，，设，则，在上单减.当时，，则无最小值，故不恒成立. D对，设由得，即，即设则在上单减，，故12.ACDA对，设点，则有，得，，又，得则点，即，故点在准线上B错，点在以为直径的圆上，则，即C对，设点在准线上得射影分别是，则，得，即D对，由，得，，则，得三、填空题：13.314.3515.0.0716.（1）1（2）8813.3，，得，14.35 15.0.07，16.（1）1（2）88（1），，所以，所以；（2）当时，，解得，因为，所以，当时，，所以，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，因为，所以，所以，当时，，即，所以，令，则，因为，，，所以，，因为，，，所以，所以，即四、解答题17.（1），当时，………………………………1分由，得 当时，，在上单增当时，，在上单减………………………………………………3分故当时，有极大值，无极小值.……………………………………………………5分（2）在上恒成立即在上恒成立，………………………………………………7分又…………………………………………………………………………………8分则.…………………………………………………………………………………10分（说明：结果不带等号的只扣1分）18.（1）的可能取值为、、…………………………………………………………………4分的分布列为0120.8740.1220.04故次数的数学期望为0.13.……………………………………………………………………6分（2）依题意，可知、款手机发生屏幕意外损坏分别有24000×0.05＝1200部，10000×0.08＝800部………………………………………………………………………………………………8分屏幕更换总成本为1200×400+800×600＝960000元碎屏险总收入为24000+10000×50业务收入为24000+10000×50－960000＝24000－460000…………………………………10分则24000+10000×50－960000≥500000，得，故款手机的碎屏险费最低应定为40元.………………………………………………………12分19.（1）由四边形是平行四边形，，得四边形是矩形，则………………………………………………………………………………………………………1分由，，，、面，得面，又面，则……………………………………………………………3分 由四边形是菱形，得由，，，、面，得面………………………………………………………………………………………………………5分（2）由（1）可知，面，又面，得面面由四边形是菱形，，得是正三角形.取、的中点分别为、，连，，则，.由面面，，＝得面…………………………………………………………………………………6分以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示则，，……………………………………7分面的一个法向量为………………………………………………………8分设面的一个法向量为由，令，得…………………………10分设二面角的大小为则…………………………………………11分故二面角的正弦值为.…………………………………………………………12分20.（1）当时，，又得，即……………………………2分 当时，，……………………………………………………………3分又，得，当时，当时，符合上式综上，得………………………………………………………………………………6分（2）…………………………………………………………………8分……………10分由，得，，即.………………………………12分21.（1）依题意，得，解得则椭圆.………………………………………………………………………………4分（2）设直线，点，由，消，得得，且…………………………………………6分由，得，即，即 则即，即，或………………………………………………9分当时，直线过定点，不合题意，故舍去.当时，直线过定点……………………11分又，故直线与的交点在以和所连线段为直径的定圆上.…12分22.（1）当时，，…………………………1分得当时，，在上单增当时，，在上单减则当时，有最大值……………………………………………………………4分（2）当时，，①，，在上单减……………………6分由，得，，则又，（说明：也可以）由零点存在性定理可知，存在唯一使，即………………7分得当时，，，在上单增当时，，，在上单减则在处取得极大值，即存在唯一的极值点.…………………………………8分②由①可知，，即由，且，得由，得，两式相除，得………………………………………………………………………9分由（1）可知，，即，则， 则，，……………10分法一设，则得在上单减，则，得，则………………11分又得故成立.证毕………………………………………………………12分法二（同上）………………………………………………………………………………………………10分设，则得在上单减，则，得，则故成立.证毕………………………………………………………12分