湖北省襄阳市第三中学2022-2023学年高一数学下学期5月月考试题（Word版附答案）

襄阳五中2023届高三适应性考试（一）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数，则在复平面内对应的点位于（    ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数的图象大致为（    ）A.B.C.D.3.已知，则（    ）A.B.C.D.4.希尔伯特在1990年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若和均是素数,素数对称为孪生素数.从16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（    ）A.B.C.D.5.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（    ）A.B.C.D.6.图1中，正方体的每条棱与正八面体（八个面均为正三角形）的一条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若，则点M到直线的距离等于（    ） A.B.C.D.7.在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为（    ）A.B.C.D.8.已知函数（e是自然对数的底数），若存在，使得，则的取值范围是（    ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.以下说法正确的是（）A.89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95B.具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点C.相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强D.已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥 10.已知，则下列结论成立的是（    ）A.B.C.D.11.如图1，在中，，，，DE是的中位线，沿DE将进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（    ）A.当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为B.四棱锥的体积的最大值为C.若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为D.若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离为12.已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（    ） A.B.椭圆的离心率是C.的最小值为D.的值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.国家发展改革委为贯彻落实《长三角一体化发展规划“十四五”实施方案》有关部署，制定沪苏浙城市结对合作一对一帮扶皖北城市工作计划，帮扶城市（区）包括上海市个区，江苏省个市、浙江省个市，受帮扶城市包括安徽省淮北市、亳州市、宿州市、蚌埠市、阜阳市、淮南市、滁州市、六安市共个市，则帮扶方案中上海市个区没有被安排帮扶蚌埠市、阜阳市、滁州市的方法种数为______.（用数字作答）14.已知向量满足，则          15.已知，若对任意的，不等式恒成立，则m的最小值为____.16.已知数列的各项都是正数，若数列各项单调递增，则首项的取值范围是          当时，记，若，则整数          ．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.记锐角的内角为，已知.(1)求角的最大值；(2)在锐角中，当角为角A的最大值时，求的取值范围.18.函数的图象为自原点出发的一条折线，当时，该函数图象是斜率为的一条线段.已知数列由定义.(1)用表示；(2)若，记，求证：.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且． (1)求证：BG//平面；(2)若PA⊥平面ABCD，且，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为，.(1)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（若，则认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；(2)用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望.21.已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为．(1)求椭圆方程；(2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围．22.如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．(1)当时，求实数的值； (2)当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；(3)当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围． 数学参考答案1-8DAABDADA9-12ACDABDABDACD13.720014.015.16.(0,2);-417.解：(1)A=BC.，所以=bc，A==，当且仅当b=c时取等号，0<A，角A的最大值；(2)A=，所以2+=2+(-)=2-+=+=(+),因为为锐角三角形,所以0<<,<+<,所以<<,所以+(,),所以(+)(,),所以2+(,),2cosB1+cosC1的取值范围为(,).18.解:(1)=b,=,=,=+(2)b=2时,由=,-==+++=1-=n-,=-(+++)=-(2-)>19.(1)证明:延长FM与DA的延长线交于点N,连接CN交AB于点H,连接FH.因为平面平面ABCD,平面平面PAD=EF,平面ABCD平面PAD=AD,且E为PA的中点,所以EFAD,且AD=2EF,同理可得FGCD,CD=2FG,又AM=2ME,所以AN=2EF=AD,又ABCD,所以H为AB的中点,所以BHCD,且CD=2BH.又FGCD,CD=2FG,所以FGBH,且FG=BH,所以四边形BHFG为平行四边形,所以BGFH,又FH平面CFM,BG⊄平面CFM,所以BG平面CFM. (2)解:由题意易得AB,AD,AP两两垂直,故以A为坐标原点,直线AB,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示),则C(4,4,0),D(0,4,0),F(0,2,3),M(0,0,2),P(0,0,6),所以=(-4,0,0),=(-4,-2,3),=(0,2,1),=(0,4,-6)，设平面PCD的一个法向量=(x,y,z),则，即，令z=2,得x=0,y=3,故=(0,3,2)，设平面CFM的一个法向量=(a,b,c),则，即，令b=1,得a=-2,c=-2,故=(-2,1,-2)，设平面CFM与平面PCD所成锐二面角的大小为,则=|<,>|===,即平面CFM与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为.20.解：（1）设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为  ，则教师甲获得冠军的概率  ，由对立事件的概率公式，可得  ，所以  ，解得  ，因为  ，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.（2）根据题意知， 的可能取值为  ，可得  ， ， ， . 所以随机变量  的分布列为015300.150.4250.350.075所以期望为  .21.解:(1)根据椭圆C的离心率为知a=c,b=c,在A1BF中,=,B|=c,由正弦定理得==c=2,解得c=,a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由条件知直线l的斜率不为0,设直线l:x=ty+m(t0),P(,),Q(,),联立,得(t+2)+2mty+-4=0, 得于是+=-,=,(*)因为(-2,0),(2,0),+=1,所以====-,同理=-,于是=-,=-,因为+=(+),所以--=(+),即-=(+)又直线l的斜率存在,所以+0,于是=-,所以=-,即+3(-2)(-2)=0,又=+m,=+m,所以+3(ty1+m-2)(t+m-2)=0,整理得(+10)+3t(m-2)(+)+3=0,将(*)式代入上式,得(+10)()+3t(m-2)(-)+3=0,化简整理得(m-2)(2m+1)=0,又P、Q位于x轴的两侧,所以=<0,解得-2<m<2, 所以m=-,此时直线l与椭圆C有两个不同的交点,于是直线l恒过定点D(-,0).当m=-时,+=,=-,PQ的面积=D|-|===,令=,因为直线l的斜率存在,则>,t2=,于是==,又函数y=在(,+)上单调递减,所以PQ面积的取值范围为(0,)22.解：（1）由题设，函数定义域为（0，+∞），且f′（x）=2x+a+，由f′（1）=4+a=0，则a=-4．（2）当a=-8时，f′（x）=2x+-8，则f′（8）=，即l1的斜率k1=，假设l2存在，则l2的斜率k2=，则f′（x）=k2有解，即2x+-8=在（0，+∞）上有解，该方程化简为33x2-130x+33=0，解得x=或，符合要求，因此该函数存在另外一条与l1垂直的切线l2．（3）f′（x）=2x+a+=2（x+）+a,令h（x）=f′（x），则h′（x）=2（1-），当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，设曲线y=f（x）的另一条切线的斜率为f′（t0），①当a≥-4时，f′（x）=2x+a+≥0，显然不存在f′（x0）f′（t0）=-1，即不存在两条相互垂直的切线；②当-5≤a＜-4时，f′（x）≥f′（1）=4+a,且f′（1）=4+a＜0，x趋近于0或x趋向于正无穷大时，f′（x）都趋向于正无穷大，所以f′（x）在（0，1）、（1，+∞）上各有一个零点x1、x2，故当x∈（0，x1）或x∈（x2，+∞）时，都有f′（x）∈（0，+∞），当x∈（x1，x2）时f′（x）∈[4，+∞），故必存在f′（x0）f′（t0）=-1，即曲线y=f（x）存在相互垂直的两条切线，所以D=[-5，-4），因为a∈[-5，-4），由②知，曲线y=f（x）存在相互垂直的两条切线， 不妨设x0∈（x1，x2），t0∈（0，x1）∪（x2，+∞），满足f′（x0）f′（t0）=-1，即f′（t0）=-，又a+4≤f′（x0）＜0，f′（t0）=-≥，所以f′（t0）=2（t0+）+a≥，故2（t0+）≥-a+=-（a+4）++4≥6，当且仅当a=-5时等号成立，所以t0+）≥3，解得t0∈（0，]∪[，+∞），又f′（x0）=2x0+a+＜0，即2+ax0+2＜0，解得＜x0＜，因为=＜1，1＜≤2，所以x0∈（，2），综上可知，对任意满足-5≤a＜-4的所有函数不存在与l1垂直的切线l2的x0的取值范围是（，]∪[2，）．