山东省潍坊市六县区2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附答案）

2022-2023学年度下学期期中质量监测高一数学本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为A.B.C.D.2.“角α是第三象限角”是“sinα·tanα<0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.为了得到函数，的图象，只需把的图象上的所有点A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位4.函数图象的一个对称中心是A.B.C.D.(0,0)5.已知D是△ABC的边BC上的点，且BC=3BD,则向量AD=A.AB-ACB.C.D.AB+AC6.函数f(x)=2xtanx(-1≤x≤1)的图象大致是D.A.B.C.7.向量b=(1,2)在向量α=(-1,1)上的投影向量的坐标为A.B.C.D.8.某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下；在水平直线m上取长度为1的线段AB,并作等边三角形ABC,然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D;再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E;再以点A为圆心，AE为半径逆时针高一数学第1页(共4页) 画圆弧，交线段BA的延长线于点F;再以点B为圆心，BF为半径逆时针画圆弧，……;以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线m有4个交点(不含A点)时，则螺线长度为A.14πB.30πC.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.以下各式化简结果正确的是A.B.√I-2sin20°cos20°=cos20°-sin20°C.sin(-36°)+cos54°=0D.10.下列说法错误的是A.若a·b=b·c,则α=cB.若a//b,则存在唯一实数λ使得a=AbC.若a//b,b//c,则a//cD.与非零向量a共线的单位向量为±11.已知函数，在(0,π)上是单调函数，则下列结论中正确的有A.当α>0时，的取值范围是B.当w<0时，α的取值范围是C.当w>0时，w的取值范围是D.当α<0时，α的取值范围是·12.小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”.小明是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中水滴的轴截面(如图),该水滴轴截面由线段AB,AC和优弧BC围成，设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R,其中BC⊥AO,AB,AC与圆弧相切，已知水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为,则A.优弧BC的长度RB.OA=2RD.“水滴”的轴截面的最大面积为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a平行，则m=.14.已知,且α∈[0,π],则2sinα-cosα=。15.已知f(x)=2023sinx+2024tanx-1,f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=·16.设正八边形AA…A的外接圆半径为1,圆心是点O,点P在边AA₂上，则若P在线段AA上，且AP=xAA+yAA,则x-y的取值范围为.高一数学第2页(共4页) 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知点P(√3,m)(其中m≠0)在角α的终边上，,且α是第象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并据此解答以下问题：(1)求m,cosa,tana的值；(2)在(1)的条件下化简并求值：sin(-a)cos(2π+α)tan(2023π+a).注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.(12分)设e₁,e₂是平面内不平行的非零向量，α=e₁+e₂,b=e₁-2e₂.(1)证明：a,b组成平面上向量的一组基底；(2)请探究是否存在实数k,使得ke₁+e₂和3e₁+ke₂平行?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.19.(12分)在一次研究性学习中，小华同学在用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xx₁x₂x₃αx+φ0π2πcos(ox+φ)10-101f(x)√20y₂0√2(1)请利用上表中的数据，写出x的值，并求函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数ʃ(x)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g|(x)-A|<2在上恒成立，求实数λ的取值范围.高一数学第3页(共4页) 20.(12分)已知向量,,b=(cosθ,-sinθ)·(1)求la|,|b|和a-b的值；(2)令m=(t²+4)a+b,n=ta-kb,若存在正实数k和t,使得m⊥n,求此时的最小值，21.(12分)北方某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD,如图所示，AB=50米，BC=25√3米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE,EF和OF,考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°.(1)设∠BOE=α,试将△OEF的周长1表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；(2)在(1)的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低?并求出最低费用.(备用公式：22.(12分)已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为且过点.(1)若函数y=f(x+m)是偶函数，求|m的最小值；高一数学答案第1页，共6页 (2)令g(x)=3f(x)+1,记函数g(x)在上的零点从小到大依次为x₁,x₂,…,xn,求x+2x₂+2x₃+…+2x-₁+x,的值；(3)设函数y=φ(x),x∈D,如果对于定义域D内的任意实数x,对于给定的非零常数P,总存在非零常数T,若恒有φ(x+T)=P·φ(x)成立，则称函数↵(x)是D上的P级周期函数，周期为T.是否存在非零实数A,使函数，是R上的周期为T的T级周期函数?请证明你的结论.本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.2023.4一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.DADCCBBA二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.ABC10.ABC11.AD12.BCD.三、填空题13.-0.514.15.-516.0,1,（第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:（工）设x,ym,则r，....................................................工分mm因为sina==，2m+32所以m=土1，....................................................2分高一数学答案第1页，共6页 故a为第一象限或第四象限角；若选①,m=1,sina==,cosa==,tana==；........................................6分若选④,m=-1,sina==-,cosa==,tana==-.....................6分2（2）sin(-a)cos(2π+a)tan(2023π+a)=-sinacosatana=-sina1=-........................................10分418.解：（1）证明：假设“，b不能组成平面上向量的一组基底，所以“与b平行，则b=μa，....................................................2分即e1-2e2=μ(e1+e2)，高一数学答案第1页，共6页 (μ=1因为e1,e2不平行，所以〈，..................................................5分lμ=-2因为该方程组无解，所以a，b平行不成立，故假设不成立，所以a，b不平行，故a，b组成平面上向量的一组基底...........................6分（2）若ke和3e+ke平行，+e1212则存在实数λ,使得ke+e=λ(3e+ke)成立，...............................7分1212(3λ=k因为非零向量e1,e2不共线，所以〈，....................................................9分lλk=1解得：λ=土,k=土,....................................................11分所以存在实数k=土使得ke1+e2和3e1+ke2平行....................................12分19.解：（1）由表格根据五点法作图的规律，+Q=1π由表可得〈，解得：Φ=,Q=,...................................................2分24+Q=2π又A=，所以f(x)=cosx+由x1+=0，得x1=-，综上：x1=-，f(x)=cosx+；......................3分根据2kπ<x+<2kπ+π,k=z,解得：4kπ-<x<4kπ+,k=z,所以函数f(x)的单调递减区间为4kπ-,4kπ+,k=z.................................6分f(x)（2）将函数的图象向右平移个单位得y=cosx-+=cosx，1再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的2，纵坐标不变得g(x)=cosx；...........7分高一数学答案第2页，共6页 由g(x)-λ<2得-2+λ<g(x)<λ+2，若g(x)-λ<2在,上恒成立，-+则〈min，....................................................9分gx)2又当xe,时，g(x)=cosxe,1，(|-2+λ>:〈,-1<λ<+2.....................................................12分|l2+λ<120.解：（1）由题意得，a=(sinθ,cosθ)，.................1分所以|a|==1，.......................2分|b|==1，...................................4分a·b=sinθcosθ-sinθcosθ=0....................................................6分22（2）因为m」n,所以m·n=t(t+4)a2-k(t+4)a·b+ta·b-kb2=t(t2+4)-k=0,2即k=t(t+4)，....................................................9分k4所以2=t+之2根2=4，....................................................11分tt当且仅当t=2,k=16时等号成立，此时的最小值为4．....................................................12分21.解:（1）∵在RtΔBOE中，OB＝25，经B=90。，经BOE＝c,∴OE=.........................1分25OF=在RtΔAOF中，OA＝25，经A＝90。，经AFO＝c，∴sinc.......................2分22(25)(25)25又经EOF=90。，EF=OE2+OF2=||+||=,（cosc)（sinc)coscsinc252525∴l=OE+OF+EF=++coscsinccoscsinc高一数学答案第3页，共6页 25(sinc+cosc+1)即l=.............................4分coscsinc当点F在点D时，这时角c最小，求得此时c=；点E在C点时，这时角c最大，求得此时c=.故此函数的定义域为,.........6分（2）由题意知，要求照明装置费用最低，只要求OE+OF最小即可.25(sinc+cosc)由（1）得，OE+OF=,c=,coscsinc设sinc+cosc=t，则sinc.cosc=，25(sinc+cosc)25t50t50OE+OF==2=2=∴coscsinct_1t_11...........................8分t_2t由<c+<，得<t<，令f(t)=t_,可以证明y=f(t)在(0,+伪)上为增函数,所以当t=时OE+OF最小,π,此时c=,............................10分(OE+OF)min=504所以当BE＝AF＝25米时，照明装置费用最低，最低费用为20000元.............12分高一数学答案第4页，共6页 22.解：因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为，所以T=π,可得负=2，....................................................1分所以f(x)=sin(2x+Q),1又函数f(x)的图象过点(0,)，所以f(0)=sinQ=,2π因为Q<,所以Q=,此时f(x)=sin(2x+),....................................................2分6又f(x+m)=sin(2x+2m+)是偶函数，所以2m+=kπ+,解得m=+,kez,m所以当k=0时，最小，最小值为.....................................................4分(2)由g(x)=0得，sin(2x+)=一,「π5π]π「π7π]因为xe一，，所以2x+e一，，....................................................5分|L33」|6|L22」|π「π7π]1「π7π]令u=2x+,ue一，，则sinu=一,ue一，，6|L22」|3|L22」|「π7π]考查y=sinu的图象知，在ue一，」|内有4个不同的根u1,u2,u3,u4，即|L22n=4,....................................................6分且u1+u2=π,u2+u3=3π,u3+u4=5π,π4π7π所以x+x=,x+x=,x+x=,122334333x1+2x2+2x3+x4=4π...................................................8分xx（3）因为f(x)=sin(2x+),所以h(x)=()f(λx一)=()sinλx，xx假定存在非零实数λ,使函数h(x)=()f(λx一)=()sinλx是R上的周期为T高一数学答案第5页，共6页 的T级周期函数，即vxeR，恒有h(x+T)=T.h(x)成立，则vxeR，恒有x+Tx()sin(λx+λT)=T()sinλx成立，..................................................9分T即vxeR，恒有sin(λx+λT)=T.2sinλx成立，当λ子0时，xeR，则λxeR，λx+λTeR，T于是得sinλxe[一1,1]，sin(λx+λT)e[一1,1]，要使sin(λx+λT)=T.2sinλx恒成立，则有T.2T=土1，....................................................10分当T.2TT=时，由函数y=2x与y=的图象存在交点知，方程2T=有解，=1，即2此时sin(λx+λT)=sinλx恒成立，则λT=2mπ,meZ，即λ=,meZ，11当TTT时，由函数y=2x与y=一的图象没有交点知，方程2T无.2=一1，即2=一=一TT高一数学答案第6页，共6页 解，所以λ=,meZ，符合题意，其中T满足T.2T=1...................................12分高一数学第4页(共4页)