山东省威海市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】，,.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过求出的范围，再通过充分性和必要性的概念得答案.【详解】由得或，因为可推出或，满足充分性，或不能推出，不满足必要性.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.某学校组织高一学生参加数学测试，现将学生成绩整理并做出频率分布直方图如图所示，其中数据的分组依次为，，，．若高于60分的人数是350，则高一学生人数为（） A.1000B.750C.500D.250【答案】C【解析】【分析】先由频率分布直方图得高于60分的人数所占频率，再根据比例计算可得高一学生人数.【详解】由频率分布直方图得高于60分的人数所占频率为，所以高一学生人数为人故选：C.4.已知正实数满足，则的最小值为（）A.8B.17C.20D.25【答案】D【解析】【分析】利用，展开后通过基本不等式求最小值.【详解】，当且仅当，即时等号成立.故选：D.5.函数单调递减区间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断规则来得答案.【详解】对于有，解得函数的定义域为，又，对于，其在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，由复合函数单调性的规则：同增异减得函数的单调递减区间为.故选：A.6.一种电路控制器在出厂时，每4件一等品装成一箱．工人装箱时，不小心将2件二等品和2件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐件进行测试．假设检测员不知道该箱产品中二等品的具体数量，则测试的第2件产品是二等品的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由条件进行分析，结合古典概型计算公式，即可得到结果.【详解】只考虑测试的第2件产品，它可以是箱中的4件产品中的任何一件，因此有四种结果，并且这4中结果的出现是等可能的，测试的第2件产品是二等品的结果有2种，因此，测试的第2件产品是二等品的概率为故选:D.7.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：mol/L，记作）的乘积等于常数，已知pH的定义为，若某人血液中的，则其血液的pH约为（参考数据：）（） A.7.2B.7.3C.7.4D.7.5【答案】B【解析】【分析】由题可得，再利用，化简对数相关运算即可得出结果.【详解】由题意得，，又，，则，，则.故选：B8.已知函数若，，，则（）A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.a＜b＜c【答案】D【解析】【分析】由题可得在R上单调递增，后由函数单调性结合，，大小可得答案.【详解】令，知其在上单调递增.令，知其在上单调递增，又，得在R上单调递增. 因函数均在上单调递增，则.又，，则.故，又由函数在R上单调递增，则，即a＜b＜c.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，则下列选项中能使成立的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于A：，，，，故A正确；对于B：，，，，故B错误；对于C：，，故C正确；对于D：，，，，故D错误；故选：AC.10.某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则（） A.讲座前问卷答题的正确率的第60%分位数为75%B.讲座前问卷答题正确率的平均数大于70%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】BC【解析】【分析】由图表信息，结合百分位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前的第60%分位数为,所以错；讲座前问卷答题的正确率分别为60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,平均数为74.5%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C对；讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.故选:BC.11.已知函数，则（）A.为奇函数B.的值域为C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】 【分析】结合函数的奇偶性、单调性对选项逐一分析即可.【详解】函数的定义域为R，且，则为奇函数，故A正确；，则，则，故B正确；即，即，得，故C错误；在R上单调递增且，则在R上单调递减，故在R上单调递减，又为奇函数，则，即；解得，故D正确；故选：ABD.12.若是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（）A.在上单调递减B.C.在上恰有5个零点D.偶函数【答案】ACD【解析】【分析】由函数的奇偶性得出函数的周期，即可得出函数在一个周期内的图象，从而结合函数的性质逐个判断.【详解】由是定义在上的奇函数得，由是偶函数得，即关于对称，结合是奇函数可得关于对称，∴，∴，∴函数的周期为8. 当时，，则在（1个周期）的图象如图所示.对A，由图易得，在上单调递减，A对；对B，由函数的奇偶性、周期性可得，B错；对C，由图易得，函数在有5个零点，故由函数的周期性，在上恰有5个零点，C对；对D，因为函数关于对称，所以，故是偶函数，D对.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13______．【答案】##【解析】【分析】根据指数对数的运算性质计算即可.【详解】.故答案为：.14.已知函数的定义域为，则的定义域为______．【答案】 【解析】【分析】通过函数的定义域可得中，解出即可.【详解】由函数的定义域为得，对于有，，即的定义域为.故答案为：.15.据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为______小时，方差为______．参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有n个数，平均数为，方差为．则样本方差．【答案】①.7②.2【解析】【分析】设男、女生人数分别为：，由平均数的定义和题中方差公式即可得出答案.【详解】由题意可得：，，因为该市学生的男女生人数比为，所以设男、女生人数分别为：，所以该市学生每天睡眠时长的平均数为：，该市学生每天睡眠时长的方差为，由题中方差公式可得：故答案为：7；2.16.已知函数若关于x的方程有六个不等的实数根，则实数a的取值范围为______． 【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】画出函数的图象如下图所示，令，则方程可化为.由图可知：当时，与有个交点，要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同实数根，所以，，解得，因此，实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：利用转化法、换元法，结合数形结合思想、一元二次方程根的分布性质是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）当时，若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，求出集合AB中元素范围，再根据交集和补集的定义求解即可；（2）求出集合AB中元素范围，再根据列不等式求实数的取值范围．【小问1详解】当a＝1时,或，，，；【小问2详解】当时，或，，，，解得.18.已知幂函数（其中m为实数）在上单调递减．（1）若，求的值；（2）解关于x的不等式．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先通过幂函数的定义求出，再代入，求出，平方后求出，再平方即可求出；（2）将代入，解不等式即可.【小问1详解】幂函数（其中为实数）在上单调递减，，解得，，，即，，得，即，，得，即；【小问2详解】由（1）得，即，解得不等式解集为.19.某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．（1）求参加活动的选手没有获得奖金的概率；（2）现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，分第一关没有通过和第一关通过第二关没有通过两种情况求解即可；（2）甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，进而根据独立事件概率的乘法公式求解即可.【小问1详解】解：设选手闯第一关成功为事件，闯第二关成功为事件，闯第三关成功为事件，所以，，设参加活动的选手没有获得奖金为事件，所以.【小问2详解】解：设选手闯关获得奖金300元为事件，选手闯关获得奖金800元为事件，所以，，，设两人最后所得奖金总和为1100元为事件，所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，所以20.某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同长方体育苗池．其平面图如图所示，每个育苗池的底面积为200平方米，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x米（），甬路的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为 100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．【答案】（1），（2）米时，总造价最低，最低总造价为459200元.【解析】【分析】（1）根据题意得到养殖室的总面积，从而表达出函数关系式；（2）在第（1）问的基础上，表达出总造价关于的函数关系式，并利用基本不等式求出最小值.【小问1详解】由题意可得每个育苗池另一边长为米，则，；【小问2详解】设总造价为元，则，，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，所以米时，总造价最低，最低总造价为459200元.21.已知函数．（1）若在上单调递增，求实数k的取值范围；（2）令，若对任意，恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，分与讨论，列出不等式即可得到结果；（2）根据题意，转化题意为恒成立，由二次函数的性质可得到结果.【小问1详解】当，即时，，则在上单调递增恒成立；当时，要使在上单调递增，则，解得综上，的取值范围为【小问2详解】因为，令，则，要使恒成立，当，即时，，符合题意；当，即时，若要使恒成立，由二次函数的图象与性质可得该函数图象开口朝上，即，此时对称轴为，在上单调递增，则只需，解得； 综上，的取值范围为.22.已知函数与的图象关于直线对称．（1）若函数是偶函数，求实数m的值；（2）若关于x的方程有实数解，求实数的取值范围；（3）已知实数a，b满足，，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题知，进而得，再根据函数的奇偶性求解即可；（2）由题知关于的方程有实数解，再分和两种情况讨论求解即可；（3）根据题意变形得，，进而根据函数在上单调递增得，即，再计算即可.【小问1详解】解：因为函数与的图象关于直线对称，所以，所以，因为函数是偶函数，所以，，整理得， 所以，，解得.所以，当时，函数是偶函数.【小问2详解】解：因为，所以，关于x的方程有实数解等价于有实数解，整理得，关于的方程有实数解，所以，当时，，解得；当时，，解得，且，综上，实数的取值范围为【小问3详解】解：因为实数a，b满足，，所以，，，即，所以，，，即，令，设，则，所以，，即，所以，函数在上单调递增，因为方程等价于， 所以，，即，所以，