鲁教版七下课件10.5 第1课时 角平分线
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思考:要在S区建一个集贸市场(1)使它到公路,铁路距离相等,如何设计?(2)它到公路,铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处400米,应建在何处?(比例尺1:20000)SO公路铁路
5角平分线第一课时
学习目标1、会用尺规作角平分线2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理3、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?AOBC活动1再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?(对折)1.什么是角平分线?怎样画角平分线?
2.分别以M,N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.如何用尺规作角的平分线?ABOMNC作法:1.以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.3.作射线OC.则射线OC即为所求.
探究角平分线的性质(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?活动2(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
同学甲、乙谁的画法是正确的?按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC,过点P的垂线段PE、PF,并度量所画PE、PF是否等长?CC
角平分线上的点到角的两边的距离相等.议一议:由折一折和画一画你可得到什么猜想?
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证:PD=PE.证明:∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠1=∠2,∠PDO=∠PEO=90°又∵OP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)AOCB12PDE你能证明这个结论吗?角平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE
∵如图,AD平分∠BAC(已知)∴=,()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD(×)练习:判断1.
∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DB⊥AB(已知)∴=,()DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。不必再证全等2.
1、在Rt△ABC中,BD是角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE与DC相等吗?为什么?ABCDEADOBEPC知识应用2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则(1)PE=_____cm.(2)P点到OB的距离_____cm.
反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?(前提条件)已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上.思考AOCB12PDE
已知:在∠AOB内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,求证:点P在∠AOB的角平分线上.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP,PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)∴点P在∠AOB的角平分线上.AOCB12PDE
判定定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE这样,我们又可以得到一个结论:
梦想成真要在S区建一个集贸市场(1)使它到公路,铁路距离相等,如何设计?(2)它到公路,铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处400米,应建在何处?(比例尺1:20000)SO公路铁路AB
例1已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长.ABCDEF证明:∵DE⊥AB,DF⊥ACDE=DF∴AD平分∠BAC又∵∠BAC=60°∴∠BAD=30,在Rt△ADE中,∵∠AED=90°,AD=10∴DE=½AD=½×10=5
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:BE=CF.ABEDCF证明:∵AD平分∠CABDE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF(角平分线的性质)在Rt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF(已证)BD=CD(已知)∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴BE=CF(全等三角形对应边相等)
已知:如图,在△ABC中,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF求证:AD是∠BAC的角平分线.ABEDCF证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠DEB=∠CFD=90°在Rt△BDE和Rt△CDF中,BE=CF(已证)BD=CD(已知)∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴DE=DF(全等三角形对应边相等)又∵DE⊥AB,DF⊥AC∴点D在∠A的角平分线上。即AD是它的角平分线
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求:AD与EF关系?ABEDCF证明:∵AD平分∠CABDE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF(角平分线的性质)∠DAE=∠DAF∵∠DEB=∠CFD=90°∴∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分线∵DE=DF,AD是∠EDF的角平分线∴AD垂直平分EF.(三线合一)O
巩固提高已知:在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E。求证:BD+DE=AC变式已知AB=15cm,求△DBE的周长EDCBA
1.用尺规作角平分线2.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.3.角平分线的判定定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.回顾一下吧,本节课你学到了什么?
1.如图(1),AD平分∠BAC,点P在AD上,若PE⊥AB,PF⊥AC,则PE_______PF.2.如图(2),PD⊥AB,PE⊥AC,且PD=PE,连接AP,则∠BAP_____∠CAP.3.如图(3),∠BAC=60°,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,若AD=,则PE=____.随堂练习==1
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