北师大版数学八年级下册 1.4 第1课时 角平分线的性质 课件

1.4角平分线第一章三角形的证明第1课时角平分线 情境引入如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？(比例尺为1︰20000)DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD＝2.5cm，D即为所求.O 1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系：____PDPE第一次第二次第三次PD=PECOBAPDE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.角平分线的性质 验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.定理的作用：证明线段相等.知识要点BADOPEC应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB，推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 判一判：(1)∵如下左图，AD平分∠BAC(已知)，∴＝_____().角平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC(2)∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB(已知).∴=_____().角平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC 例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC. 例2如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 变式：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.(1)则点P到AB的距离为______；(2)求△APB的面积.ABCPD4温馨提示：存在一条垂线段——构造应用故AB·PD=28.解：由角平分线的性质知PD=PC=4， 1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.思考：交换角平分线的性质定理中的已知和结论，你能得到什么命题？它是真命题吗？角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.思考：这个结论正确吗？逆命题角平分线的判定 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP.即点P在∠AOB的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，(全等三角形的对应角相等)，OP=OP(公共边)，PD=PE(已知)，BADOPE∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).∴∠AOP=∠BOP验证猜想 判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：(1)位置关系：点在角的内部；(2)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.知识总结 例3如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH.∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.GHMABCFED┑┑┑ 例4如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMAB ONMAB方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示.P. 归纳总结图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线的性质 2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是.ABCD31.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=°，BE=.60BFEBDFACG 3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.为什么？AOBMNP解：在Rt△MOP和Rt△NOP中，OM=ON，OP=OP，∴Rt△MOP≌Rt△NOP(HL).∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB. 角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段判定定理角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上