湘教版必修第一册第一章末检测含答案解析

第一章末检测一、选择题1．已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N等于(　　)A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0}D．{－3，－2，－1}答案　C解析　运用集合的运算求解．M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.2．设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为(　　)A．[－1,1]B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案　D解析　由1－x2≥0，知－1≤x≤1.∴M＝[－1,1]，∴∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．设全集U＝R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}答案　C解析　阴影部分所表示集合是N∩(∁UM)，又∵∁UM＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁UM)＝{x|1<x≤2}． 4．下列图象中不能作为函数图象的是(　　)答案　B解析　B选项对于给定的变量有两个值与其对应，不是函数的图象．5．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)A．1B．3C．5D．9答案　C解析　用列举法把集合B中的元素一一列举出来．当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个． 6．设f(x)＝则f(5)等于(　　)A．23B．24C．25D．26答案　B解析　f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f()的x的取值范围是(　　)A．(，)B．[，)C．(，)D．[，)答案　A解析　作出示意图可知：f(2x－1)＜f()⇔－＜2x－1＜，即＜x＜.故选A.8．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则(　　)A．a＞0,4a＋b＝0B．a＜0,4a＋b＝0C．a＞0,2a＋b＝0D．a＜0,2a＋b＝0答案　A解析　根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得．因为f(0)＝f(4)＞f(1)，所以函数图象应开口向上，即a＞0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0，故选A.9．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a 的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)答案　A解析　∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2.10．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由集合长度的定义知M的长度为，N的长度为，若要使M∩N的长度最小则应使M的左端点m与N的右端点n离得最远，又∵M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，∴应使m＝0，n＝1.此时M＝{x|0≤x≤}，N＝{x|≤x≤1}，此时M∩N＝{x|≤x≤}，其长度为－＝.二、填空题11．已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.答案　10 解析　因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.12．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是________．答案　{a|a≥2}解析　如图，可知a≥2.13．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．答案　[25，＋∞)解析　函数f(x)的增区间为[，＋∞)，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，所以≤－2，m≤－16，－m≥16.f(1)＝4－m＋5≥4＋16＋5＝25.14．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x＋2)＜5的解集是________．答案　{x|－7＜x＜3}解析　设x＜0，则－x＞0.∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x＜0)，∴f(x)＝由f(x)＝5得或 ∴x＝5或x＝－5.观察图象可知由f(x)＜5，得－5＜x＜5.∴由f(x＋2)＜5，得－5＜x＋2＜5，∴－7＜x＜3.∴不等式f(x＋2)＜5的解集是{x|－7＜x＜3}.三、解答题15．已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1，或x≥4}．(1)当a＝3时，求A∩B；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．解　(1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤1，或4≤x≤5}．(2)(ⅰ)若A＝∅，此时2－a＞2＋a，∴a＜0，满足A∩B＝∅.(ⅱ)当a≥0时，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}≠∅，∵A∩B＝∅，∴∴0≤a＜1.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1)．16．已知函数f(x)＝－2x＋m，其中m为常数． (1)求证：函数f(x)在R上是减函数；(2)当函数f(x)是奇函数时，求实数m的值．(1)证明　任取x∈R，且h＞0，f(x＋h)－f(x)＝－2(x＋h)＋m，－(－2x＋m)＝－2h＜0，∴f(x)为R上的减函数．(2)解　∵f(x)为奇函数．∴f(－x)＝2x＋m＝－f(x)＝2x－m，∴m＝0.17．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．解　f(x)＝4(x－)2－2a＋2，①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－.②当0<<2，即0<a<4时，f(x)min＝f()＝－2a＋2.由－2a＋2＝3，得a＝－∉(0,4)，舍去．③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±. ∵a≥4，∴a＝5＋.综上所述，a＝1－或a＝5＋.18．若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f()＝f(x)－f(y)．(1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.解　(1)在f()＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.(2)∵f(6)＝1，∴f(x＋3)－f()<2＝f(6)＋f(6)，∴f(3x＋9)－f(6)<f(6)，即f()<f(6)．∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴解得－3<x<9.即不等式的解集为(－3,9)．