河北省邢台市2023届高三数学上学期期末试题（Word版附解析）

邢台市2022~2023学年高三（上）教学质量检测数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】计算得到，再计算交集得到答案.【详解】因为，所以.故选：A2.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为，则该圆台的体积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用台体的体积公式可求得该圆台的体积.【详解】由题意可知，该圆台的体积为.故选：C.3.若复数z满足方程，则z=（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】配方可得，两边开方可求.【详解】由，得，则，则，故，故选：C.4.某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出，，再利用条件概率求解即可．【详解】由题意可知，，所以．故选：A．5.《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（） A.55B.57.25C.58.75D.60【答案】C【解析】【分析】确定第75百分位数在内，直接根据百分位数的概念计算得到答案.【详解】因为，所以该地中学生体重的第75百分位数在内，设第75百分位数为m，则，解得．故选：C6.已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用圆与直线相切，求出，然后求出过圆圆心垂直于直线的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.【详解】由圆的圆心为原点，半径为5，又圆与直线相切，则到直线的距离为，则，解得， 设过且与垂直的直线为，则：，联立，得直线l与的交点为，设圆心关于点的对称点为，由中点公式有所以圆心关于点的对称点为，因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：，故选：D.7.如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（）A260万元B.265万元C.255万元D.250万元【答案】D【解析】【分析】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【详解】设，，则，，所以矩形ODEH的面积，又，所以风景区面积，当时，有最大值，故最多需要万元的修建费．故选：D．8.若，且，则（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为16D.没有最小值【答案】A【解析】【分析】先将题意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后检验是否成立即可【详解】由，得.因为，所以所以，当且仅当，即时，等号成立.由得,设函数， 则由，得在上至少一个零点，此时，故存在，使得不等式中的等号成立，故的最小值为.故选：A【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验是否成立，需要构造，并结合零点存在定理进行验证二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（）A.函数为增函数B.函数的图象关于y轴对称C.D.【答案】BCD【解析】【分析】确定函数定义域为，计算，再根据函数的单调性和奇偶性定义判断A错误，B正确，代入数据计算得到CD正确，得到答案.【详解】当时，，时等号成立，当时，，时等号成立，，，，A错误.，故为偶函数，B正确.，C正确. ，则，D正确.故选：BCD10.如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（）A.当时，B.C.AE的最小值为D.二面角为定值【答案】BCD【解析】【分析】根据数量积的计算可求得，判断A；证明⊥平面，根据下年垂直的性质可判断B；当时，取得最小值，求得其值，判断C；根据正方体性质可知二面角就是二面角，由此判断D.【详解】连接，，，,由正方体的性质可知，则，解得，故A错误, 因为平面，平面，故，因为，且平面，所以⊥平面，平面，所以，即，则B正确.当时，取得最小值，此时为等腰三角形，故最小值为，则C正确.因为平面与平面是同一平面，平面与平面是同一平面，所以二面角就是二面角，在正方体中，平面和平面是两个确定的平面，故二面角是定值，所以二面角为定值，则D正确，故选：11.已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】设出，，代入椭圆方程，相减后得到，结合及直线斜率为，，求出离心率范围，得到答案.【详解】设，，则， 从而，故，由题意可得，故，又因为，则，从而，因为，所以，椭圆C的离心率，所以椭圆离心率范围为，故与满足要求.故选：BD12.已知，函数，下列结论正确的是（）A.一定存在最小值B.可能不存在最小值C.若恒成立，则D.若恒成立，则【答案】AC【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，判断最值的存在性，通过构造函数，利用单调性处理恒成立问题.【详解】，则为增函数. 因为，所以存在唯一的零点.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，A选项正确，B选项错误；由，可得，则.恒成立，即恒成立，令函数，则，易知在上单调递增，则，故，即，C选项正确，D选项错误.故选：AC.【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量满足，则_________.【答案】【解析】【分析】由得，经平方后转化为数量积求解.【详解】∵，∴，∴，∴， ∴，∴．故答案为：14.设等比数列的前n项和为，写出一个满足下列条件的的公比_________．①，②是递减数列，③．【答案】（答案不唯一，只要即可）【解析】【分析】依题意可得，从而得到，进而可得到答案．【详解】由，得，又因为，所以，又是递减数列，所以．故答案为：（答案不唯一，只要即可）．15.已知函数在上恰有3个零点，则ω的最小值是________.【答案】【解析】【分析】化简函数解析式可得，结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求ω的最小值.【详解】因为，所以 所以.令，可得，所以或，所以或，，所以函数的正零点由小到大依次为，，，，，因为函数在上恰有3个零点，所以，，所以所以故ω的最小值是.故答案为：.16.已知为抛物线：上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于48，则点的纵坐标的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】点的坐标为，根据抛物线的定义及几何性质确定的周长表达式，转换为含的式子，利用函数单调性与取值求解不等式即可得所求.【详解】解：抛物线：，则焦准距，则如图，设点的坐标为，则准线与轴的交点为， 则由抛物线定义可得又，所以的周长为，设函数，则在上为减函数，因为，所以的解为，则点的纵坐标的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．（1）若，证明：△ABC为等腰三角形；（2）若，求b的最小值．【答案】（1）证明过程见详解（2）【解析】【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，化简可得，从而可证△ABC为等腰三角形；（2）已知条件由正、余弦定理角化边，可得，从而得到，进而可求得b的最小值．【小问1详解】因为，，所以由余弦定理可得，即，整理得，即，所以△ABC为等腰三角形． 【小问2详解】因为，所以由正弦定理可得，所以由余弦定理可得，又，所以，所以，当时，取最小值，且最小值为．18.已知数列{}满足，.（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式；（2）求{}的前2n项和.【答案】（1）证明见解析，（2）3n2【解析】【分析】（1）根据数列新定义得出和的关系即可证明．（2）根据数列新定义求出的通项公式，根据通项公式特性求出.【小问1详解】由题知则所以，即故{}为等差数列又所以【小问2详解】 因为…….....所以=3n219.如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，证明平面平面，根据面面平行的性质即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，设棱长，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】证明：连接， 因为分别是棱的中点，所以,平面,平面,所以平面，因为分别是棱，的中点，所以,.所以四边形是平行四边形，则,.平面,平面,所以平面，因为平面，且，所以平面平面，因平面，所以平面.【小问2详解】取的中点O，连接，，因为是等边三角形，故,而平面故平面,平面,则，即，，两两垂直，则以O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,设，由知，，则，,,， 从而,设平面的法向量为，则,令，得,设直线与平面所成角为，则.20.灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求的分布列；（2）若满足的n的最小值为，求；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.【答案】（1）分布列见解析；（2）13；（3）更优【解析】【分析】(1)由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列； (2)根据分布列结合条件求n的最小值；(3)分别计算与时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论.【小问1详解】设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，则0.2，，X的取值范围是，，，，，，，，X的分布列为X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04【小问2详解】由（1）可知，，故.【小问3详解】由（2）可知.在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则， ，故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优21.已知双曲线C的渐近线方程为，且C的实轴长为2.（1）求C的方程；（2）过右焦点F的直线与C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P（异于点F），使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；(2)假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此求可得结论.【小问1详解】由题意得，即.因为C的渐近线方程为.所以所以，故C的方程为.【小问2详解】假设存在P（n，0）满足条件，设.由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB： 联立消去x得则且.，，由已知，所以，因为点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB角平分线则，即，所以整理得所以，整理得，因为对于任意的，恒成立，所以，故存在点，使得点F到直线PA，PB的距离相等.【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，，求a的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据导函数的几何意义求切线方程；(2)参变分离可得，利用导数讨论的最值即可求解.【小问1详解】当时，，则，则又，所以所求切线方程为，即.【小问2详解】，等价于,①当时，显然成立;②当时，不等式等价于,设，则.设，则,）时，，当）时，,则在上单调递减，上单调递增.因为，所以，且, 则当时，，当）时，.所以在上单调递减，在上单调递增，则,则，故a的取值范围为.