河北省唐山市2022-2023学年高三数学上学期期末学业水平调研试卷（Word版附答案）

唐山市2022-2023学年度高三年级第一学期学业水平调研考试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的纲笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用䂏笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则A.B.C.D.2.已知函数,则其图象大致为 3.已知函数,则A.在单调递增,且图象关于直线对称B.在单调递增,且图象关于直线对称C.在单调递减,且图象关于直线对称D.在单调递减,且图象关于直线对称4.的展开式共有七项，且常数项为20,则A.1B.C.2D.5.直线与抛物线交于两点,则A.8 B.C.4D.6.高斯(Gauss)被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时,他是这样算的:,,共有50组,所以,这就是著名的高斯法,又称为倒序相加法.事实上,高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称,为数列的前项和,则下列结论中,错误的是A.B.C.D.7.已知正三棱锥的侧棱长为2,则该三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为A.B.C. D.8.设,则A.B.C.D.二、选择题:全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知为虚数单位,复数,下列结论正确的有A.B.C.若,则D.若,则10.已知是三条不同的直线,是三个不同的平面,下列命题正确的有A.若,则B.若,则C.若,则 D.若,则11.甲、乙、丙三人玩传球游戏,第1次由甲传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲手中的概率为,则下列结论正确的有A.B.C.D.12.已知圆,动点,直线在上的射影为点,下列结论正确的有A.若在圆上,则直线与圆相切B.若在圆内,则直线与圆相交C.若过点,与圆相交于点,则四边形面积的最小值为D.若在曲线上,则的轨迹所围成区域的面积为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知是正项等比数列中的连续三项,则公比.14.在中,分别为的中点,则. 15.圆台中,上、下底面的面积比为,其外接球的球心在线段上,若,则圆台和球的体积比为.16.函数,当时,,则的取值范围是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)记的内角的对边分别为,已知.(1)若,求;(2)求的最大值.18.(12分)已知是等差数列,是公比不为1的等比数列,.(1)求数列的通项公式;(2)若集合,且,求中所有元素之和.19.(12分)如图,在四棱锥中,底面是菱形,. (1)证明:平面平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.20.(12分)为试验一种新药,某医院把该药分发给10位患有相关疾病的志愿者服用.试验方案为:若这10位患者中至少有5人治愈,则认为这种新药有效;否则认为这种新药无效.假设新药有效，治愈率为.(1)用表示这10位志愿者中治前的人数,求的期望;(2)若10位志愿者中治愈的人数恰好为,从10人中随机选取5人,求5人全部治愈的概率;(3)求经试验认定该药无效的概率(保留4位小数）;根据值的大小解释试验方案是否合理.(依据:当值小于时,可以认为试验方案合理,否则认为不合理.)附:记,参考数据如下: 34567891021.(12分)已知椭圆的离心率为,点在上,不经过点的直线与交于不同的两点.(1)求的方程;(2)若直线与直线的斜率之和为0,求的值及的取值范围.22.(12分)已知函数.(1)求的极值;(2)若,证明:函数有两个零点,且.唐山市2022～2023学年度高三年级第一学期学业水平调研考试数学参考答案一．选择题：1－4ADBB5－8ACCD二．选择题：9．AC10．BD11．AC12．ACD三．填空题：13．2－14．－415．16．(0，e]四．解答题：17．解：（1）由cosA＝－及正弦定理得cosA＝－， 即cosAsinB＝－sinC，由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，代入整理得sinAcosB＝－2cosAsinB，又B＝，则tanA＝－2tanB＝－2，所以tanC＝－tan(A＋B)＝＝．…5分（2）由cosA＝－知，A为钝角，B为锐角，即tanB＞0．由（1）知tanA＝－2tanB，所以tanC＝－tan(A＋B)＝＝＝≤＝．…8分当且仅当2tan2B＝1，即tanB＝时，等号成立．所以tanC的最大值为．…10分18．解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由a1＝b1＝2，a2＝b2，a5＝b3．可得，解得q＝3或q＝1（舍），从而d＝4，所以an＝4n－2，bn＝2×3n－1．…5分（2）设bm＝ak，即2×3m－1＝4k－2，得3m－1＝2k－1，因为1≤k≤100，所以1≤2k－1≤199，故1≤3m－1≤199，由于34＜199＜35，所以0≤m－1≤4，即1≤m≤5，…10分所以bm＝＝242．…12分19．解：（1）如图，取AD的中点O，连接OB，OP．∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，则有AD⊥OB，又AD⊥PB，OB∩PB＝B，∴AD⊥平面POB，则有AD⊥PO．…2分设PA＝2，则AB＝2，PB＝，PO＝OB＝，∵PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，又OB∩AD＝O，…4分∴PO⊥平面ABCD，又POÌ平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．…5分（2）设PA＝2，以O为坐标原点，以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图所示．则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－2，，0)，P(0，0，)，＝(－1，，0)，＝(－1，0，)，＝(－2，0，0)，＝(0，－，)，设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则令x1＝，得m＝(，1，1)，…8分设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则令y2＝1，得n＝(0，1，1)，…10分设平面PAB与平面PBC夹角为q，则cosq＝|cosám，nñ|＝＝，所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．…12分20．解：（1）将10位患者服用新药视为10重伯努利试验，在每次实验中，每位患者治愈的概率为0.8，且每位患者是否治愈相互独立，则X~B(10，0.8)，故E(X)＝10×0.8＝8．…4分（2）设A＝“任选5位志愿者全部治愈”，则P(A)＝＝．…7分（3）设B＝“经过试验该药被认定无效”，事件B发生等价于{X≤4}，则p＝P(B)＝P(X≤4)＝C×0.8k×0.210－k＝0.0001＋0.0008＋0.0055＝0.0064．…11分p值小于0.05，可以认为试验方案合理．…12分 21．解：（1）由题意得…2分得a＝，b＝1，c＝1，则椭圆E的标准方程为：．…4分（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，依题设△＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(1＋2k2－m2)＞0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，…6分所以kPA＋kPB＝＋＝＋＝2k＋(k＋m－)×＝2k－(k＋m－)×＝2k－(k＋m－)×＝2k－＝…9分由于kPA＋kPB＝0，于是＝0 所以＝0，所以k＝．…10分由△＝8(1＋2k2－m2)＞0，得－＜m＜．…11分因为直线l不经过点P，所以m≠0．于是m的取值范围为－＜m＜且m≠0．…12分 22．解：（1）函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，∵f¢(x)＝xex＋ex－1，…1分∴当x＝0时，f¢(x)＝0；…2分当x＞0时，xex＞0，ex－1＞0，则f¢(x)＞0，f(x)单调递增；当x＜0时，xex＜0，ex－1＜0，则f¢(x)＜0，f(x)单调递减．故当x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝0；没有极大值．…4分（2）由（1）知g(x)至多有两个零点，且g(0)＝f(0)－a＝－a＜0．取函数h(x)＝ex－x－1，则h¢(x)＝ex－1，当x＞0时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增；当x＜0时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减．故当x＝0时，h(x)取得最小值h(0)＝0，则ex－1≥x．因此，当x＞0时，f(x)＝(ex－1)x＞x2，则g()＝f()－a＞a－a＝0．故g(x)存在一个零点x1∈(0，)Ì(0，＋∞)．∵ea－a＞0，∴ea－ea＜1．则g(－ea)＝(e－ea－1)(－ea)－a＝ea－ea－ea－a＞ea－1－a＞0，故g(x)存在另一个零点x2∈(－ea，0)Ì(－∞，0)．综上所述，g(x)＝f(x)－a有两个零点x1，x2，即f(x1)＝f(x2)＝a．…8分∵x2＜0，∴－x2＞0，要证x1＋x2＜0，只需证明x1＜－x2．由于当x＞0时，f(x)单调递增，故只需证明f(x1)＜f(－x2)，即证f(x2)＜f(－x2)．令h(x)＝f(x)－f(－x)，x＜0．则h¢(x)＝f¢(x)＋f¢(－x)＝x(ex－e－x)＋ex＋e－x－2．∵x＜0，∴ex－e－x＜0，x(ex－e－x)＞0．又ex＋e－x＞2，故h¢(x)＞0，当x＜0时，h(x)单调递增．∵x2＜0，∴h(x2)＜h(0)＝0，则f(x2)＜f(－x2)．因此x1＋x2＜0．…12分