四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二数学（理）上学期期末试题（Word版附答案）

宁南中学2024届期末考试（理科）数学考试时间：120分钟总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(共60分，每小题5分)1．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（）A．3B．5C．2D．12．已知，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列说法中错误的是（    ）A．对于命题p：存在，使得，则：任意，均有B．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1C．在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位D．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变4．如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入，则输出的值为（    ）A．4B．37C．148D．3335．圆与圆的位置关系是（　　）A．相离B．内含C．相切D．相交6．已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（    ）A．B．2C．D．37．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足 ，那么点P到x轴的距离为（    ）A．B．C．D．8．椭圆上的点到一个焦点的距离为，是的中点，则点到椭圆中心的距离为（    ）A．B．C．D．9．已知直线y=x+m和圆交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=（　）A．B．C．D．10．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ）A．2B．4C．8D．911．已知为坐标原点，，是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（    ）A．B．2C．D．12．已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（    ）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题(共20分，每小题5分)13．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____． 14．从800名同学中，用系统抽样的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按进行随机编号，若第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为__________.15．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为___________.16．数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线，（如图所示），给出下列三个结论①曲线关于直线对称；②曲线上任意一点到原点的距离都小于；③曲线围成的图形的面积是.其中，正确结论的序号是_________.三、解答题(共70分，第17题10分，其他每小题12分，共70分，需写出详细演算过程)17．已知直线.（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）当点到直线l距离最大时，求直线l的方程.18．已知命题；命题.(1)若p是q的充分条件，求m的取值范围；(2)当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度（℃）与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的 温度环境下进行实验，得到如下散点图：(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.参考数据：，，，.参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20．圆心在上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为．(1)求圆的方程；(2)求过点且与该圆相切的直线方程．21．已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，则直线OA与OB的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 22．已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为2．1求椭圆的方程；2如图，点A为椭圆上一动点非长轴端点，的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求面积的最大值. 宁南中学2024届期末考试（理科）数学参考答案AADBDBDBCCDA9．C【详解】联立，得2x2+2mx+m2-1=0，∵直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，∴△=4m2+8m2-8=12m2-8＞0，解得m＞或m＜-，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-m，，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，=（-x1，-y1），=（x2-x1，y2-y1），∵+y12-y1y2=1+m2-m2=2-m2=，解得m=．故选C．10．C【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：C.11．D【详解】设P为双曲线右支上一点,=m,=n,|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得m−n=2a，点P满足,可得m2+n2=4c2，即有(m−n)2+2mn=4c2，又mn=2a2，可得4a2+4a2=4c2，即有c=a，则离心率e=故选D.12．A【详解】解：圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小． ∴，即，由，解得．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：A.13．14014．16315．【详解】由，得，准线方程为：，过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时，等号成立.故答案为：16．①③【详解】设点在曲线上，则，关于直线对称的点，将代入曲线中得，因此在曲线上，故①正确，曲线可知曲线关于原点，，轴对称，当，时，可得，可得，所以可得曲线为为圆心，为半径的半圆，曲线上任意点到原点的距离的最大值为，曲线上任意一点到原点的距离都小于或等于，故命题②错误；根据对称性可知曲线围成的图形的面积为4个半圆的面积加上边长为的正方形的面积，即，故命题③正确；故答案为：①③17．【详解】（1）直线，取，取，即，解得或，故直线方程为或（2）变换得到，故过定点当直线l与垂直时，距离最大.，故，解得， 故所求直线方程为18．(1)解：由题意知p是q的充分条件，即p集合包含于q集合，有；(2)解：当时，有，由题意知，p、q一真一假，当p真q假时，，当p假q真时，，综上，x的取值范围为19．【详解】（1）由题意可知：..又，所以相关系数.因为相关系数，所以与的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合与的关系.（2）由（1）知，，，.所以,所以.所以与的回归直线为.当时，.即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44.20．(1)设圆心，则,到直线的距离为,∴∴圆的方程为 (2)①当切线斜率不存在时，：满足题意②设：，即圆心到直线的距离为，∴综上得过与圆相切的直线方程为和21．【解】（1）双曲线化为标准形式：，，右顶点A，设抛物线的方程为，焦点坐标为，由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以，所以抛物线的方程；（2）联立，整理得，设，则，，综上，抛物线的方程，OA，OB斜率的乘积为-1.22．解：（1）由题意得，解得，∵，∴，，故椭圆的标准方程为（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，故；    ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，化简得，设 点到直线的距离因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，∴综上，面积的最大值为.