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安徽省马鞍山市第二十二中学等校2022-2023学年高二数学上学期阶段联考试题(Word版附解析)

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2022~2023学年高二年级上学期阶段检测联考数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色,墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色,墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:人教A版必修第二册第十章,选择性必修第一册第一章.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在长方体中,()A.B.C.D.2.下列说法正确的是()A.在相同条件下,进行大量重复试验,可以用频率来估计概率B.掷一枚骰子1次,“出现1点”与“出现2点”是对立事件C.甲、乙两人对同一个靶各射击一次,记事件“甲中靶”,“乙中靶”,则“恰有一人中靶”D.抛掷一枚质地均匀的硬币,若前3次均正面向上,则第4次正面向上的概率小于3.已知直线的方向向量分别为,若,则()A.1B.2C.0D.34.“事件与事件相互独立”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某小组有1名男生和2名女生,从中任选2名学生参加围棋比赛,事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”()A.是对立事件B.都是不可能事件C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件6.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,点在侧棱上,且,若,则() A.B.C.D.7.编号为的三位学生随意坐人编号为的三个座位,每个座位坐一位学生,则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是()A.B.C.D.8.如图,在四棱锥中,底面,底面为正方形,为上一点,且,则异面直线与所成的角为()A.B.C.D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.中国篮球职业联赛(CBA)中,某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表:投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数没投中1005518记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事件,投中三分球为事件,没投中为事件,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是()A.B.C.D. 10.已知不共面的三个向量都是单位向量,且夹角都是,则下列结论正确的是()A.不是空间的一组基底全科试题免费下载公众号《高中僧试题下载》B.不是空间的一组基底C.向量的模是2D.向量和的夹角为11.已知甲罐中有四个相同的小球,标号为;乙罐中有五个相同的小球,标号为.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件“抽取的两个小球标号之积大于8”,则()A.事件发生的概率为B.事件发生的概率为C.事件发生的概率为D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为12.已知空间中不共面的四点,则()A.直线与所成角的余弦值是B.二面角的正弦值是C.点到平面的距离是D.四面体的体积是三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在100件产品中,有95件一级品,5件二级品,给出下列事件:①在这100件产品中任意选出6件,全部是一级品;②在这100件产品中任意选出6件,全部是二级品;③在这100件产品中任意选出6件,不全是一级品;④在这100件产品中任意选出6件,至少一件是一级品,其中__________是随机事件.(如果没有,请填“无”;如果有,请填序号)14.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两 球都落入盒子的概率为__________.15.在空间直角坐标系中,点的坐标分别是,若四点共面,则__________.16.如图,在三棱锥中,点为底面的重心,点是线段上靠近点的三等分点,过点的平面分别交棱于点,若,则__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知向量.(1)若,求的值;(2)若,求的值.18.(本小题满分12分)某校有甲、乙两个数学兴趣小组,甲组有男生3名,女生2名,乙组有男生2名,女生2名.(1)若从甲数学兴趣小组任选2人参加学校数学竞赛,求参赛学生恰好有1名男生的概率;(2)若从甲、乙数学兴趣小组各选1人参加市级数学竞赛,求参赛学生至少有1名男生的概率.19.(本小题满分12分)已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且是的中点. (1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)某班级需要从甲、乙两名学生中选一人参加学校数学竞赛,抽取了近期两人6次数学考试的成绩,统计结果如下表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲的成绩(分)798671938782乙的成绩(分)897775928283(1)若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛,请从统计学的角度考虑,你认为选谁参加数学竞赛较合适?并说明理由;(2)若数学竞赛分初赛和复赛,在初赛中有两种答题方案:方案一:每人从5道备选题中任意抽出1道,若答对,则可参加复赛,否则被淘汰.方案二:每人从5道备选题中任意抽出3道,若至少答对其中2道,则可参加复赛,否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道,那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大?并说明理由.21.(本小题满分12分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜,约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.22.(本小题满分12分)如图,四棱柱的底面为矩形,为中点,平面平面. (1)证明:平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.2022~2023学年高二年级上学期阶段检测联考-数学参考答案、提示及评分细则1.B,故选B.2.A根据题意,依次分析选项:对于A,在相同条件下,进行大量重复试验,可以用频率来估计概率,A正确;对于B,掷一枚骰子1次,“出现1点”与“出现2点”是互斥事件,但不是对立事件,B错误;对于“靶被击中”,C错误;对于D,抛掷一枚质地均匀的硬币,无论哪一次,正面向上的概率都等于错误.故选A.3.D若,则,所以,所以,解得.故选D.4.C由两事件相互独立的概念可知“事件相互独立”是“”的充要条件.故选C.5.D事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生,即两名学生正好一名男生,一名女生,故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.故选D.6.A因为,所以,根据空间向量的运算法则,可得,所以.故选A.7.B编号为的三位学生随意坐人编号为的三个座位时,1号学生有3种坐法,2号学生有2种坐法,3号学生只有1种坐法,所以一共有6种坐法,其中座位号与学生的编号 恰好都不同的坐法只有2种,所以所求的概率.故选.8.A因为底面,底面为正方形,所以两两互相垂直,以为原点,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由,得,所以,设异面直线与所成的角为,则,又,所以异面直线与所成的角为.故选.9.AC由题意可知,,事件与事件为对立事件,且事件互斥,所以.故选AC.10.BD因为空间向量不共面,所以是空间的一组基底,A错误;假设共面,则,即,解得,所以三个向量共面,不是空间的一组基底,B正确;由题意,得 ,所以,C错误;,设向量和的夹角为,则,又,所以,D正确.故选BD.11.BC由题意,从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,共包含个基本事件;“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有:,,共11个基本事件;“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有:,,共8个基本事件;即事件是事件的子事件;因此事件发生的概率为,故错;事件包含的基本事件个数为11个,所以事件发生的概率为;故正确;事件包含的基本事件个数为8个,所以事件发生的概率为,故正确;从甲罐中抽到标号为2的小球,包含的基本事件为:共5个基本事件,故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为,即错误.故选.12.ACD,所以直线与所成角的余弦值是正确;,设是平面的一个法向量,则令,得,所以,设是平面的一个法向量,则令,得,所以,所以,所以二面角 的正弦值是,B错误;点到平面的距离,C正确;,所以,所以的面积,所以四面体的体积,D正确.故选ACD.13.①③②是不可能事件;④是必然事件;①③是随机事件.14.设甲、乙两球落入盒子分别为事件,因为两球是否落入盒子互不影响,所以相互独立,所以甲、乙两球都落入盒子的概率为.15.6,又四点共面,则存在,使得,即,即解得16.由题意可知,,因为四点共面,所以存在实数,使,所以,所以,所以 所以.17.解:(1)若,则存在实数,使,即,所以解得所以所以,所以.(2)因为,所以,解得.因为,所以,所以.当时,,所以.当时,,所以.18.解:(1)记“参赛学生恰好有1名男生”是事件.记甲组的3名男生分别为名女生分别是,则基本事件有,共10种.事件发生的有,共6种.因此由古典概型的概率计算公式可得.(2)记“参赛学生至少有1名男生”是事件.记甲组的3名男生分别为名女生分别是,乙组的2名男生分别为名女生分别是,则基本事件有,,共20种. 事件不发生的有,共4种.因此由古典概型的概率计算公式可得,所以.19.(1)证明:取的中点为,连接,因为分别是的中点,所以,又,所以,所以四边形是平行四边形,所以,又平面平面,所以平面.(2)解:因为底面,所以两两互相垂直,以为坐标原点,以分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示,则,,则,设平面的一个法向量为,所以即令,则.设直线与平面所成角为,则,即直线与平面所成角的正弦值为.20.解:(1)选派乙参加数学竞赛较合适. 由题意得,甲,,,由,可知甲、乙的平均分相同,但乙的成绩比甲稳定,故选派乙参加数学竞赛较合适.(2)5道备选题中学生会的3道分别记为,不会的2道分别记为,方案一:学生从5道备选题中任意抽出1道的结果有:,共5种,抽中会的备选题的结果有,共3种,所以此方案学生可参加复赛的概率.方案二:学生从5道备选题中任意抽出3道的结果有:,,共10种,抽中至少2道会的备选题的结果有:,共7种,所以此方案学生可参加复赛的概率.因为,所以推荐的选手选择方案二进入复赛的可能性更大.21.解:设分别表示甲、乙在第次投篮时投中,则.(1)记“甲获胜”为事件,则. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件,则22.(1)证明:因为底面是矩形,所以,又平面平面,平面平面平面,所以平面,又平面,所以,因为,所以,所以,又平面,所以平面.(2)取的中点,连接,因为,所以,又平面平面,平面平面平面,所以平面,连接,又底面为矩形,所以,所以两两互相垂直,以为坐标原点,为轴的正方向建立空间直角坐标系,设,则,,所以.由(1)知平面,所以是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为,则即令,则.设二面角的平面角为,则, 由图可知二面角的平面角为锐角,所以二面角的平面角的余弦值为.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-03-04 11:45:02 页数:14
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文章作者:随遇而安

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