首页

湖南省邵阳市2023届高三数学上学期一模试题(Word版含解析)

资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。

1/29

2/29

剩余27页未读,查看更多内容需下载

2023年邵阳市高三第一次联考试题卷数学本试卷共4页,22个小题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集,集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得出,根据交集运算结合集合的含义,即可得出答案.【详解】解可得,,所以,,是偶数集,所以故选:B.2.已知复数满足,则()第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算,求出复数的形式,再利用共轭复数求解.【详解】因为,,,所以,所以.故选:A.3.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆,则该圆锥的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求得圆锥底面半径和高,由此求得圆锥的表面积.【详解】依题意,设圆锥底面半径为,高为,母线长为,则,底面周长为,则,所以,所以圆锥的表面积为,故选:A.4.设向量,满足,,则()A.2B.C.3D.第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 【答案】D【解析】【分析】由求解.【详解】因为,,以上两式相减可得,,所以,即,故选:D.5.某铅笔工厂有甲、乙两条生产线,甲生产线的产品次品率为10%,乙生产线的产品次品率为5%.现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品,由甲、乙两条生产线同时生产,且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍.现在从这种铅笔产品中任取一件,则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.38【答案】A【解析】【分析】根据题意分类为分别抽到甲乙正品的概率,相加即可.【详解】从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6,抽到乙的概率是0.4,抽到甲车间正品的概率,抽到乙车间正品的概率,任取一件抽到正品的概率.故选:A6.已知A,B,C分别是的内角,,,则C的值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据同角关系式及两角和的正切公式可得,进而即得.第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 【详解】因为A,B,C分别是的内角,,所以B为锐角,所以.又,所以,而,所以,.故选:A.7.设,若函数有且只有三个零点,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数与,先利用导数研究得的性质,再利用二次函数的性质研究得的性质,从而作出的图像,由此得到,分类讨论与时的零点情况,据此得解.【详解】令,则,令,得;令,得;所以在上单调递减,在上单调递增,故,又因为对于任意,在总存在,使得,在上由于的增长速率比的增长速率要快得多,所以总存在,使得,所以在与上都趋于无穷大;令,则开口向下,对称轴为,第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 所以在上单调递增,在上单调递增,故,.因为函数有且只有三个零点,而已经有唯一零点,所以必须有两个零点,则,即,解得或,当时,,则,即在处取不到零点,故至多只有两个零点,不满足题意,当时,,则,所以在处取得零点,结合图像又知与必有两个交点,故在与必有两个零点,所以有且只有三个零点,满足题意;综上:,即.故选:C.8.截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示,将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面,得到所有棱长均为a的截角四面体,则下列说法错误的是()A.二面角的余弦值为第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 B.该截角四面体的体积为C.该截角四面体的外接球表面积为D.该截角四面体的表面积为【答案】D【解析】【分析】根据二面角的定义,结合球的表面积公式、棱锥的表面积公式和体积公式逐一判断即可.【详解】如下图所示:设的中心为,的中心为,取BC的中点为W,分别连接和,因为,,所以为的二面角,,,所以,所以,在直角三角形中,,所以,所以二面角的余弦值为,所以二面角的余弦值为,故A正确因为棱长为的正四面体的高,所以,故B正确;设外接球的球心为O,的中心为,的中心为,因为截角四面体上下底面距离为,所以第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 ,所以,所以,所以,所以,所以,故C正确;由正四面体中,题中截角四面体由4个边长为a的正三角形,4个边长为a的正六边形构成,故,故D错误.故选:D.【点睛】关键点睛:根据球的性质,结合棱锥的体积公式、表面积公式是解题的关键.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.随着时代与科技的发展,信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数,的图象就可以近似的模拟某种信号的波形,则下列说法正确的是()A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数为周期函数,且最小正周期为D.函数的导函数的最大值为4【答案】ABD【解析】第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 【分析】由题可知,根据诱导公式可得可判断AC,根据奇偶性的概念可判断B,根据导数公式及三角函数的性质可判断D.【详解】因为函数,定义域为R,对于A,,所以函数的图象关于直线对称,故A正确;对于B,,所以函数为奇函数,图象关于点对称,故B正确;对于,由题知,故C错误;对于,由题可知,故D正确.故选:.10.已知都是定义在上的函数,对任意满足,且,则下列说法正确的有()A.B.函数的图象关于点对称C.D.若,则【答案】ABD【解析】第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断ABC,对于D,通过观察选项可以推断很可能为周期函数,结合,的特殊性以及一些已经证明的结论,想到当令和时可构建出两个式子,两式相加即可得出,进一步可得出是周期函数,从而可得出的值.【详解】对于A,令,代入已知等式得,得,再令,,代入已知等式得,可得,结合得,故A正确;对于B,再令,代入已知等式得,将代入上式,得,∴函数为奇函数,∴函数关于点对称,故B正确;对于C,再令,代入已知等式,得,∵,∴,又∵,∴,∵,∴,故C错误;对于D,分别令和,代入已知等式,得以下两个等式:,两式相加易得,所以有,即:,有:,即:,∴为周期函数,且周期为3,∵,∴,∴,,∴,第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 ∴,故D正确.故选:ABD.【点睛】思路点睛:对于含有,,的抽象函数的一般解题思路是:观察函数关系,发现可利用的点,以及利用证明了的条件或者选项;抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系,特别是有,双变量,需要双赋值,可以得到一个或多个关系式,进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值,这就需要观察题设条件以及选项来决定.11.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”,该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日最先发现,已知长方形R的四条边均与椭圆相切,则下列说法正确的有()A.椭圆C的离心率为B.椭圆C的蒙日圆方程为C.椭圆C的蒙日圆方程为D.长方形R的面积的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意,根据椭圆离心率公式即可判断A;联立直线与椭圆方程结合韦达定理即可得到椭圆方程,从而判断BC;根据三角形面积公式即可判断D.【详解】椭圆C的离心率为,第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 设两条互相垂直的切线的交点为,当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标是,或.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P的坐标是,(,且),所以可设曲线C的过点P的切线方程是.由,得,由其判别式的值为0,得,因为,(,为过P点互相垂直的两条直线的斜率)是这个关于k的一元二次方程的两个根,所以,由此,得,即的蒙日圆方程为:;因为蒙日圆为长方形的外接圆,设,,则矩形面积公式,显然,即矩形四条边都相等,为正方形时,.故选:ACD.12.已知函数,,则下列说法正确的是()A.在上是增函数B.,不等式恒成立,则正实数的最小值为C.若有两个零点,则D.若,且,则的最大值为【答案】ABD【解析】第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 【分析】A选项中,令,利用导数可求得单调性,根据复合函数单调性的基本原则可知A正确;B选项中,利用导数可求得在上单调递增,由此可将恒成立的不等式化为,令,利用导数可求得,由可知B正确;C选项中,利用导数可求得的单调性,由此确定,若,可等价转化为,令,利用导数可求得单调性,从而得到,知,可得C错误;D选项中,采用同构法将已知等式化为,从而可确定,结合单调性得到,由此化简得到,令,利用导数可求得最大值,知D正确.【详解】对于A,当时,,令,则,,,当时,恒成立,在上单调递增;在上单调递增,根据复合函数单调性可知:在上为增函数,A正确;对于B,当时,,又为正实数,,,当时,恒成立,在上单调递增,则由得:,即,令,则,当时,;当时,;在上单调递增,在上单调递减,,,则正实数的最小值为,B正确;对于C,,当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增;,则;第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 不妨设,则必有,若,则,等价于,又,则等价于;令,则,,,,,即,在上单调递增,,即,,可知不成立,C错误;对于D,由,得:,即,由C知:在上单调递减,在上单调递增;,,则,,,即,;令,则,当时,;当时,;在上单调递增,在上单调递减,,即最大值为,D正确.故选:ABD.【点睛】方法点睛:本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题;处理极值点偏移中的类似于()的问题的基本步骤如下:①求导确定的单调性,得到的范围;②构造函数,求导后可得恒正或恒负;③得到与的大小关系后,将置换为;④根据与所处的范围,结合的单调性,可得到与的大小关系,由此证得结论.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 13.的展开式中不含的各项系数之和______.【答案】128【解析】【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开,展开后对每一项进行合并,合并后使得项幂次为0,确定项数后即可得到答案.【详解】利用二项展开式的通项公式进行展开,设项为,项为,项为.展开后得对每一项进行合并得,因为展开式中不含,所以,又得取值为,得取值为,故得.代入展开式得,又得取值为,分别带入后各项系数之和为.故答案为:12814.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象,如图所示,图中阴影部分的面积为,则___________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数图象的对称性,得到,求得,进而求得,得到,结合,即可求得的值.【详解】如图所示,根据三角函数图象的对称性,可得阴影部分的面积等于矩形和第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 的面积之和,即,因为函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象,所以,又因为图中阴影部分的面积为,所以,解得,又由图象可得,可得,所以,所以,所以,因为,可得,即,因为,所以.故答案为:15.已知圆与圆相交于两点,则公共弦所在的直线方程为______,______.【答案】①.;②.2【解析】【分析】先求出公共弦方程,再利用几何法求弦长.【详解】由圆与圆,可得公共弦所在的直线方程为:,即.因为圆的圆心,半径为,所以圆心到直线的距离为1,所以.故答案为:;2.第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 16.在正方体中,点满足,且,直线与平面所成角为,若二面角的大小为,则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根据共面的充要条件及线面垂直的判定定理,利用线面垂直的性质定理及线面角的定义,结合二面角的平面角的定义及二次函数的性质即可求解.【详解】∵,且,∴P在平面上,设,连接,,且,如图所示因为平面,又平面,所以,又,,平面,平面,所以平面,平面,所以,同理可得,又,平面,平面,所以平面,设正方体的棱长为1,则可知为棱长为的正四面体,所以为等边三角形的中心,由题可得,得,所以,又∵与平面所成角为,则,可求得,即在以为圆心,半径的圆上,且圆在平面内,第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 由平面,又∵平面,∴平面平面,且两个平面的交线为,把两个平面抽象出来,如图所示,作于点,过点作交于N点,连接PN,∵平面平面,平面,平面平面,∴平面,平面,∴,又,与为平面中两相交直线,故平面,平面,∴∴为二面角的平面角,即为角,设,当与点不重合时,在中,可求得,若M与点重合时,即当时,可求得,也符合上式,故,∵,,∴,∴,∴,∴第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 令,则,当,即时等号成立,∴,故的最大值是.故答案为:.【点睛】解决此题的关键是根据已知条件作出图形,再利用线面垂直的判定及性质定理,然后根据线面角及二面角的平面角的定义找出所求角,结合三角形相似及二次函数的性质即可.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列满足,,,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)由题意得到,利用累加法求出的通项公式;(2)利用裂项相消法求和.【小问1详解】因为,,,,可得,,又,则当时,第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 ,上式对也成立,所以,;【小问2详解】由,可得,则数列的前项和为.18.如图,为内的一点,记为,记为,且,在中的对边分别记为m,n,,,.(1)求;(2)若,,,记,求线段的长和面积的最大值.【答案】(1);(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由已知可推出,整理得到.根据的范围可得,进而即可得出;(2)由已知可得,进而根据即可得出第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 ,根据,即可得出三角形面积的最大值.【小问1详解】已知,由正弦定理可得,由,所以,即,所以.因为,,,所以,则,所以.【小问2详解】在中,由余弦定理得知:,即,因为,所以.因为,所以.,.因为,,所以,当,即时,面积有最大值.第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 19.如图所示,在多面体中,底面为直角梯形,,,侧面为菱形,平面平面,M为棱BE的中点.(1)若上有一点N满足平面,确定点N的位置并证明;(2)若,,求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)点N为DE中点,证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)由题意M为棱BE的中点,可猜测取的中点N,证明,即可判定线面平行;(2)取AB的中点O,可证得,根据面面垂直的性质可得平面.取中点为,可证,以为坐标原点建立空间直角坐标系.设,得出相关点的坐标,进而求出平面和平面的法向量,进而根据向量即可得出结果.【小问1详解】点N为DE中点,证明如下:如图,连接BD,MN,因为M,N分别为BE,DE的中点,所以MN为的中位线,所以,又平面,平面,所以平面.所以N为DE的中点时满足条件.【小问2详解】第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 取AB的中点O,连接OE,因为侧面为菱形,且,所以在中,,解得,所以,即.又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.取中点为,连结,则是梯形的中位线,所以.因为,所以.分别以OH,OA,OE所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,故,,,,,则,,,,.设平面的一个法向量为.则有,即,化简得,令,则是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为,第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 则,即,化简得,令,则,则是平面的一个法向量.则,故:平面与平面所成二面角正弦值为.20.新冠疫情暴发以来,各级人民政府采取有效防控措施,时常采用10人一组做核酸检测(俗称混检),某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性,为了能找出这1例阳性感染者,且确认感染何种病毒,需要通过做血清检测,血清检测结果呈阳性的即为感染人员,呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测:方案甲:将这10人逐个做血清检测,直到能确定感染人员为止.方案乙:将这10人的血清随机等分成两组,随机将其中一组的血清混在一起检测,若结果为阳性,则表示感染人员在该组中,然后再对该组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止;若结果呈阴性,则对另一组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止.把采用方案甲,直到能确定感染人员为止,检测的次数记为X.(1)求X的数学期望;(2)如果每次检测的费用相同,以检测费用的期望作为决策依据,应选择方案甲与方案乙哪一种?【答案】(1)(2)选择方案乙【解析】【分析】(1)结合排列数的计算、古典概型概率计算公式、期望的计算求得.(2)方案乙检测的次数记为,根据方案乙的检测方法计算出,由此作出判断.【小问1详解】X可取1,2,…,8,9,则,,2,…,8,,第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 所以.【小问2详解】把采用方案乙,直到能确定感染人员为止,检测的次数记为Y,则Y可取2,3,4,5.,,,,则.设每次检测的费用均为,则方案甲的平均费用为,方案乙的平均费用为,因为,所以应选择方案乙.21.已知抛物线的焦点为F,且F与圆上点的距离的最大值为5.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P在圆M上,PA,PB是抛物线C的两条切线,A,B是切点,求面积的最大值.【答案】(1)(2)32【解析】【分析】(1)[方法一]:由题意知,,设圆上的点,由两点间的距离公式求出,利用二次函数性质求最大值;[方法二]:抛物线C的第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 焦点为,,F与圆上点的距离的最大值为,即可得出答案;(2)[方法一]:由导数的几何意义求出直线的方程和直线PB的方程,即可求出直线的方程,联立直线的方程和抛物线的方程由韦达定理代入求出和点P到直线AB的距离,表示出面积,由二次函数的性质即可得出答案;[方法二]:同方法一联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理,过作轴的平行线交于,则,将韦达定理代入则,因为点在圆上,则设,利用三角换元求最值;[方法三]:设,联立和抛物线C的方程表示出韦达定理,利用导数的几何意义表示出直线的方程,即可求出的坐标,将点P的坐标代入圆M的方程可得,表示出和点P到直线AB的距离,再由二次函数的性质求最值.【小问1详解】[方法一]:利用二次函数性质求最大值由题意知,,设圆上的点,则.所以.从而有.因为,所以当时,.又,解之得,因此.抛物线C的方程为:.[方法二]【最优解】:利用圆的几何意义求最大值抛物线C的焦点为,,所以,F与圆上点的距离的最大值为,解第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 抛物线C的方程为:小问2详解】[方法一]:切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线C的方程为,即,对该函数求导得,设点、、,直线的方程为,即,即同理可知,直线PB的方程为,由于点P为这两条直线的公共点,则,所以,点A、B的坐标满足方程,所以,直线的方程为,联立,可得,由韦达定理可得,所以,点P到直线AB的距离为,所以,,∵,由已知可得,所以,当时,的面积取最大值.[方法二]【最优解】:切点弦法分割转化求面积三角换元求最值同方法一:得到,.过作轴的平行线交于,则.第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 点在圆上,则.故当时的面积最大,最大值为32.[方法三]:直接设直线AB方程法设切点A,B的坐标分别为,.设,联立和抛物线C的方程得整理得.判别式,即,且,抛物线C的方程为,即,有.则,整理得,同理可得.联立方程可得点P的坐标为,即.将点P的坐标代入圆M的方程,得,整理得.由弦长公式得.点P到直线AB的距离为.所以第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 ,其中,即.当时,.22.设函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,记,是否存在整数t,使得关于x的不等式有解?若存在,请求出t的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)存在,t的最小值为0【解析】【分析】(1)求导,根据一元二次不等式的解法,再分,,讨论求解;(2)由,得到,求导得到,确定其范围,再由不等式有解求解.【小问1详解】解:由题意得函数的定义域为,,①当时,时,,在单调递增,时,,在单调递减;②当时,恒成立,在上单调递增;③当时,时,,在单调递增,时,,在单调递减;第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司 综上,当时,在单调递增,在单调递减;当时,恒成立,在上单调递增;当时,在单调递增,在单调递减.【小问2详解】当时,,∴,∴单调递增,又,,所以存在唯一的,使得,且当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以,设,,则在上单调递减,所以,即,若关于x的不等式有解,则,又t为整数,所以,所以存在整数t满足题意,且t的最小值为0.【点睛】方法点睛:若不等式有解,则;若不等式恒成立,则.第29页/共29页学科网(北京)股份有限公司

版权提示

  • 温馨提示:
  • 1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
  • 2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
  • 3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
  • 4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)

文档下载

所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-02-22 10:46:05 页数:29
价格:¥3 大小:1.80 MB
文章作者:随遇而安

推荐特供

MORE