四川省泸县第一中学2022-2023学年高二数学（文）上学期期末考试试卷（Word版含解析）

泸县一中2022-2023学年秋期高二期末考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回3．考试时间：120分钟第I卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线与直线平行，则的值为（）A.B.3C.3或D.或6【答案】B【解析】详解】直线：与直线：平行，所以，解得：或，①当时，：，：，，符合题意；②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，故，故选：B2.某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【详解】将五个版块依次记为A，B，C，D，E，则有共10种结果.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的结果有，共4种，则“创新发展能力”版块被选中的概率为，故选：B.3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名员工连续5天内的日产量数据（单位：箱）.已知这两组数据的平均数分别为，，若这两组数据的中位数相等，则（）A.B.C.D.，的大小关系不确定【答案】C【解析】【详解】由题意得两组数据的中位数为83，则，则，，故选：C4.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【详解】双曲线，由方程，可得双曲线的渐近线方程为．故选：D.5.已知O为坐标原点，，则以为直径的圆方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由题知圆心为，半径，∴圆的方程为﹒故选：B﹒6.圆与圆的位置关系为（）A.相离B.外切C.内切D.相交【答案】C【解析】【详解】圆：的圆心为，半径为.圆：即的圆心为，半径为.故，，所以圆M与圆N内切．故选：C.7.曲线（）A.关于轴对称B.关于轴对称C.关于原点对称D.不具有 对称性【答案】C【解析】【详解】对于A，将点代入曲线方程得：，所以曲线不关于轴对称，A错误；对于B，将点代入曲线方程得：，所以曲线不关于轴对称，B错误；对于C，将点代入曲线方程得：，所以曲线关于原点对称，C正确，D错误.故选：C8.若下面的程序框图输出的是30，则条件①可为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】循环前，，，第1次判断后循环，，，第2次判断并循环，，，第3次判断并循环，，，第4次判断并循环，，， 第5次判断不满足条件①并退出循环，输出．条件①应该是或故选：B9.已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】因为圆，所以圆心为，半径为，如图，所以圆心到直线的距离，则，又点P到直线的距离的最大值为，所以面积的最大值．故选：A..10.已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（）A5B.6C.7D.8【答案】C【解析】 【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，如图，过作于，由抛物线的定义可知，所以则当三点共线时，最小为.所以的最小值为.故选：C.11.2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A、B、C、P满足PA＝BC＝5，，，则该足球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】因为PA＝BC，，，所以可以把A，B，C，P四点放到长方体的四个顶点上，将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示：则该足球的表面积为四面体A-BCP外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为a，b，c，则有，，， 设长方体外接球半径为R，则有，解得，所以外接球的表面积为：.故选：D．12.已知是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【详解】不妨设点M在第一象限，由题意得：，即，故，故，因为O为的中点，所以，因为，故为等边三角形，故，，由双曲线定义可知：，即，解得：. 故选：C.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线的焦点到准线的距离等于__________.【答案】【解析】【详解】因为抛物线方程是，转化为标准方程得：，所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为准线方程为：，所以焦点到准线的距离等于.故答案为：14.从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．【答案】2【解析】【详解】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，如图，设，，切线长．故答案为：2 15.已知函数，若实数满足，且，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【详解】因为，因为两段函数均为单调函数，实数满足，且，所以有,由得，，于是，则，所以，令，任取，则，因为，所以，，因此，所以函数在上单调递增；因此，即. 故答案为：16.设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________．【答案】【解析】【详解】椭圆C：,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MA⊥x轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，所以，解得：所以M的坐标为. 故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17.某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取人进行统计（已知这个身高介于到之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为．（）补全频率分布直方图；（）根据频率分布直方图估计这位男生身高的中位数；（）用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为的样本，从样本中任意抽取位男生，求这两位男生身高都在内的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【详解】试题分析：（1）先分别算出第六组和第七组的人数，进而算出其频率与组距的比，补全直方图；（2）利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；（3）先借助分层抽样的特征求出第四、第五组的人数，再运用列举法列举出所有可能数及满足题设的条件的数，运用古典概型的计算公式求解：解：（1）第六组与第七组频率的和为： ∵第六组和第七组人数的比为5：2.∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008.（2）设身高的中位数为，则∴估计这50位男生身高的中位数为174.5（3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2，第5组应抽取3人记为3，4，5则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}共10种满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3种，因此所求事件的概率为．18.已知函数．（1）若关于x的不等式的解集为，求，的值；（2）当时，解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）见解析【解析】 【小问1详解】由条件知，关于x的方程的两个根为2和3，所以，解得．【小问2详解】当时，，即，当时，即时，解得或；当时，即时，解得；当时，即时，解得或．综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．19.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，．（1）求圆A的标准方程；（2）求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【小问1详解】设圆A半径为R，由圆与直线相切得，∴圆A的标准方程为.【小问2详解】i.当直线l与x轴垂直时，即，此时，符合题意；ii.当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即， Q是MN的中点，，∴，即，解得，∴直线l为：.∴直线l的方程为或.20.如图四棱锥中，四边形为等腰梯形，，平面平面，，，，．（1）证明：平面；（2）若在线段上，且，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【小问1详解】∵四边形为等腰梯形，且，∴，又∵，则，即，∴，则，即，又∵，，平面，∴平面.【小问2详解】∵，平面平面，平面平面，平面 ，∴平面，由题意可得：等腰直角三角形，则，又∵，∴三棱锥的体积.21.已知抛物线上一点到焦点的距离为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于不同的两点,,为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】（1）.（2）证明见解析.【解析】【小问1详解】由抛物线方程可得焦点为，准线方程为，因为点到焦点F距离为4，由抛物线的性质可知到焦点的距离等于到准线的距离，即，解得，故抛物线方程为：.【小问2详解】证明：因为直线过焦点，与抛物线交于不同的两点,,所以设直线方程，与抛物线方程联立即,消去x得，，设，所以，由于，, 所以,即为定值.22.已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.【解析】【小问1详解】抛物线焦点坐标为，故.设，由抛物线定义得：点P到直线的距离为t.，由余弦定理，得.整理，得，解得或（舍去）.由椭圆定义，得，，∴椭圆的方程为；【小问2详解】设， 联立，即，，代入直线方程得，，同理可得，，，令，得，所以直线MN过定点.