江苏省南京市第九中学2022-2023学年高二数学上学期期末模拟试卷（Word版含解析）

2022-2023学年高二期末模拟检测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点，直线，点R是直线l上的一个动点，若P是RA的中点，则点P的轨迹方程为(    )A．B．C．D．2.已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则a的取值范围是(    )A．B．C．D．3.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为(    )A．B．C．D．4.已知，则动点P的轨迹是(    )A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支5.对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数．若，，为数列的前n项和，则(    )A．B．C．D．6.若正项数列中，，，则的值是(    )A．B．C．D．7.函数的图象大致为(    ) A．B．C．D．1.已知函数，则“”是“是的极小值点”的(    )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。2.设有一组圆：，下列说法正确的是(    )A．这组圆的半径均为1B．直线平分所有的圆C．直线被圆截得的弦长相等D．存在一个圆与x轴和y轴均相切3.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则下列结论正确的是(    )A．若直线与双曲线C无交点，则B．焦点到渐近线的距离为2C．点P到两条渐近线的距离之积为D．当P与A，B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 1.已知数列是公差为d的等差数列，若存在实数d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是(    )A．符合题意的数列有无数多个B．符合题意的实数d有无数多个C．符合题意的数列仅有一个D．符合题意的实数d仅有一个2.设，在上可导，且，则当时，有(    )A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为__________．14．从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线、，且A、B为切点，若直线的倾斜角为，则P点的横坐标为__________．15．设数列满足，，，数列前n项和为，且且若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为__________．16．已知对任意都成立，则实数a的最小值是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为 若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程；若折痕所在直线的斜率为k，为常数，试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；当时，求折痕长的最大值．18．（12分）在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称．求圆N的标准方程;设，，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．过点C作与直线垂直的直线，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值;设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由．19．（12分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，求抛物线方程；若，求k的值；过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求面积的最小值．20．（12分）已知正项数列的前n项和为，且求数列的通项公式；若，数列的前n项和为，求的取值范围；若，从数列中抽岀部分项 奇数项与偶数项均不少于两项，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．21．（12分）设函数若，求的极值；讨论函数的单调性；若，证明：…22．（12分）已知抛物线上有一动点，，过点P作抛物线C的切线l交y轴于点判断线段的垂直平分线是否过定点?若过，求出定点坐标;若不过，请说明理由;过点P作l的垂线交抛物线C于另一点M，若切线l的斜率为k，设的面积为S，求的最小值．参考答案1．【答案】C 【解析】解：设，，已知，由P是RA的中点，，则①．点R是直线l上的一个动点，②．把①代入②得：，即点P的轨迹方程为故选： 2．【答案】C 【解析】解：由题意可知圆与圆C相交，则，解得或故选3．【答案】B 【解析】解：因为椭圆C的焦点在x轴上，所以可设椭圆C的标准方程为，由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为故选4．【答案】D 【解析】解：，且  ，动点P的轨迹为双曲线的右边一支．故选5．【答案】A 【解析】解：由题意，当，，，时均有，所以故本题选6．【答案】A 【解析】解：正项数列中，时，， 时，，依次可求，猜想，利用数学归纳法正明．时，显然成立；假设时，，当时，，故，故时，结论也成立．故猜想成立．故，则，故选7．【答案】A 【解析】解：由，可得函数的减区间为，增区间为，当时，，可得选项故选8．【答案】C 【解析】解： 若，则当时，，单调递减;当时，，单调递增．故是的极小值点．若是的极小值点，则，解得， 经检验．当时，是的极小值点，故“”是“是的极小值点”的充要条件．故选9．【答案】AD 【解析】解：由圆：，可得这组圆的圆心为，半径为1，故A正确；将代入中，得不恒成立，即直线不恒过圆心，故B错误；圆心到直线的距离不是定值，而圆的半径为定值，所以直线被圆截得的弦长不相等，故C错误；若存在一个圆与x轴和y轴均相切，则，解得，故D正确．10．【答案】BC 【解析】解：A中，由双曲线的方程可得渐近线的方程为，所以与双曲线无交点，则，所以A不正确；B中，由A知渐近线的方程为，焦点，所以焦点到渐近线的距离为，所以B正确；C中，设，因为P在双曲线上，所以，即，所以P到渐近线的距离之积为，所以C正确； D中，由双曲线的方程可得，，则，所以D不正确；故选：11．【答案】AD 【解析】解：因为存在实数d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，由等差数列的性质可知，，公差为0，故选12．【答案】CD 【解析】解：令，因为，所以，所以在上单调递增，所以当时，，所以，13．【答案】1 【解析】设点，，直线，直线由题意知点在直线上，点在直线上，，由，得 14．【答案】 【解析】解：如图，设 ， ，，则 ， 又，， ，则由，得，， 切线的方程为， 切线的方程为， 即切线的方程为，即 ；切线的方程为，即点在切线、上， ， ， 可知 ，是方程的两个根， ，得15．【答案】2023 【解析】解：当时，， ，，，又，，，，是首项为4，公差为2的等差数列．，当时，，，当时，又，故答案为：16．【答案】 【解析】解：因为，所以可等价变形为，令，由得，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减，所以时，，所以，故答案为17．【答案】解：折痕的斜率为时，A点落在线段DC上，折痕必过点，直线方程为；①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为， 则A与关于折痕所在的直线对称，有，即点坐标为从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，折痕所在的直线方程，即综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为： 当时，折痕长为当时，折痕所在直线交BC于点，交y轴于 ，折痕长的最大值为综上所述，折痕长度的最大值为  18．【答案】解：由题意得：圆M的半径为，圆心M即AB的中点为，圆M的方程为：，则圆N关于圆M关于直线对称的圆心为，所以圆N的标准方程为：设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，若，则直线斜率不存在，则，，则，若，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，则，当且仅当即时取等号，综上所述，因为，所以S的最大值为 设，，联立消去y得，则，，直线OP的方程为，直线DQ的方程为，联立解得，则，所以，所以点G在定直线上． 19．【答案】解：抛物线E的顶点在原点，焦点为，如图，若，不妨设，则设抛物线的准线为l，过点P作垂足为H，过点Q作，垂足为，在中，，，得，，同理时，， 根据题意得AB，CD斜率存在且不为设，，，，由，，同理可得，，，，当且仅当时，面积取到最小值 20．【答案】解：当时，由，得，得由，得，两式相减，得，即，即因为数列的各项均为正数，所以，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，因此，即数列的通项公式为由知，所以， 所以，所以令，则，递增，数列递增，所以，又易知，所以的取值范围为，设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，，，因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数，假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，设抽出的三个偶数从小到大依次是,则为奇数，而，则为偶数，为奇数，所以又为奇数，而，则均为偶数，矛盾，又因为，所以，即偶数只有两项， 则奇数最多有3项，即的最大值为5，设此等差数列为，则为奇数，为偶数，且，由，得，此数列为1，2，3，4，5，同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1，综上，当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列为1，2，3，4，5，和5，4，3，2， 21．【答案】解：的定义域是，当时，，令，解得：，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值．，①当时，若，则，若，则，在上单调递减，在上单调递增；②当即时，若，则或，若，则，在上单调递减，在，上单调递增；③当，即时，恒成立，在上单调递增；④当即时，若，则或，若，则，在上单调递减，在，上单调递增，综上：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．由知在上单调递减，时，，，令，得，，即，，，，，，累加得：， 22．【答案】解：依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于，设直线的方程为，，由消去y并化简得，由得，，则，解得，所以，在中，令得， 所以，中点为，所以线段的中垂线方程为，即，所以线段的垂直平分线过定点；由可知，直线PM的方程为，即，由消去y并化简得：，所以，而，所以得，，，，，所以的面积，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为