湖北省孝感市2022-2023学年高二数学上学期1月期末考试试题（Word版含解析）

湖北省孝感市2022-2023年高二上学期1月期末考试数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量ሺെͳെʹ，ሺെെʹͳ若，则()A.െെB.൅െെC.൅െD.൅െͳ2.设不同的直线െͳെെ，ͳሺെʹെ൅െͳ则“ͳ”是“െͳ”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.将字母，，分别填入标号为，，的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是()െെെͳA.B.C.D.ͳ4.过点ሺെെʹ，ሺെെʹ，且圆心在直线൅െͳ上的圆的方程是()A.ሺʹͳ൅ሺെ൅െʹͳB.ሺ൅ʹͳ൅ሺെെʹͳC.ሺെʹͳ൅ሺെെʹͳD.ሺ൅െʹͳ൅ሺെ൅െʹͳͳ5.已知直三棱柱െെെ中，，ͳ，െെ，则异面直线െ与െ所成角的余弦值为()െെെെA.B.C.D.6.已知双曲线的渐近线方程为െͳ，则双曲线的离心率为()A.B.C.或D.或ͳͳ7.在等差数列中，其前项和为，若െ，െ，则中最大的是()A.B.C.D.െ 8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立ͳ的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中ͳ过椭圆൅ͳെͳെሺʹ外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是ͳͳ以椭圆的中心为圆心、以ͳ൅ͳ为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆ͳ若椭圆൅െͳͳͳെ൏൏的蒙日圆为：൅െ，过圆上的动点作椭圆的两条切线，分别与圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，则下列结论不正确的是()െA.椭圆的离心率为ͳB.到的右焦点的距离的最大值为൅െC.若动点在上，记直线，的斜率分别为െ，ͳ，则െͳD.面积的最大值为ͳ二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知等差数列为递减数列，且െ，ͳ，则下列结论中正确的有()െെA.数列的公差为B.൅ͳͳͳC.数列െ是公差为െ的等差数列D.െ൅െ10.已知圆ሺെʹͳ൅ሺെͳʹͳͳ，直线ሺͳ൅െʹ൅ሺ൅െʹെͳ则下列命题中正确的有()A.直线恒过定点ሺെʹB.圆被െ轴截得的弦长为C.直线与圆恒相离D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为ͳെ11.抛物线െͳ的焦点为，直线过点，斜率为ሺʹ，且交抛物线于、两点ሺ点在轴的下方ʹ，抛物线的准线为，െ交于െ，െ交于െ，点ሺെʹ，为抛物线上任一点，则下列结论中正确的有()A.若，则B.的最小值为ͳC.若െ，则െͳD.െെ 12.如图，在正方体ܥെെെܥെ中，点在线段െ上运动，有下列判断，其中正确的是()A.平面െܥ平面ܥെB.െ平面ܥെC.异面直线െ与ܥെ所成角的取值范围是ሺD.三棱锥ܥെ的体积不变第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）െ13.已知直线的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为，则直线的方程为．14.圆ͳ൅െͳ与圆ͳ൅െͳ൅൅的公切线共有条ͳ15.设数列的前项和为，点ሺʹሺʹ均在函数െͳ的图象上，则数列的通项公式为．െ16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点െ、ͳ，是它们的一个交点，且cosെͳ，െ记椭圆和双曲线的离心率分别为െ、ͳ，则的最大值为．െͳ四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.ሺ本小题െͳ分ʹͳെ已知在某次െ米体能测试中，甲、乙、丙人各自通过测试的概率分别为，且三人是否通过测试互不影响ͳ求：ሺെʹ人都通过体能测试的概率ሺͳʹ只有ͳ人通过体能测试的概率．18.ሺ本小题െͳͳ分ʹ 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：െെ，ͳ൅ͳͳ．ሺെʹ求数列的通项公式ሺͳʹ若数列是等差数列，且，求非零常数．൅19.ሺ本小题െͳͳ分ʹ已知为过抛物线െͳͳሺʹ的焦点的弦，为的中点，为抛物线的准线，垂直于于，点ሺͳʹ．ሺെʹ求抛物线的方程ሺͳʹ求香的面积ሺ香为坐标原点ʹͳ20.ሺ本小题െͳͳ分ʹ已知三棱柱െെെ中，െ，ͳ，，െെ．ሺെʹ求证：平面െെ平面ሺͳʹ若െ，在线段上是否存在一点使平面െ和平面െെ所成角的余弦值为若存在，确定点的位置若不存在，说明理由．21.ሺ本小题െͳͳ分ʹ已知圆心在轴上的圆与直线൅െ切于点ሺʹͳሺെʹ求圆的标准方程ሺͳʹ已知ሺͳെʹ，经过原点且斜率为正数的直线െ与圆交于ሺെെെʹ，ሺͳെͳʹͳ求ͳ൅ͳ的最大值．22.ሺ本小题െͳͳ分ʹ已知点െሺെʹ，圆ͳሺെʹͳ൅െͳ，点在圆ͳ上运动，െ的垂直平分线交ͳ于点．ሺെʹ求动点的轨迹的方程 ሺͳʹ动点的轨迹与轴交于，两点ሺ在点左侧ʹ，直线交轨迹于，两点ሺ不在轴上ʹ，直线，的斜率分别为െ，ͳ，且െͳͳ，求证：直线过定点． 答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题主要考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题．【解答】解：根据题意，由，设，即ሺെെʹሺെͳെʹሺͳʹ解可得：െെ，则有െ，由此得൅െെ．ͳͳ2.【答案】【解析】【分析】本题考查了两直线平行的判定，属于基础题．【解答】解：当ͳ时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立ͳ当െͳ时，显然ͳͳ，从而有െ，即ͳ，解得ͳ或െ，但当െ时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立．3.【答案】【解析】【分析】本题考查古典概率的求解，排列问题，属基础题．【解答】解：将字母，，填入标号为，，的三个方格里有种不同的填法，这种情况发生的可能性是相等的ͳ而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法ͳ故所求ͳെ概率．4.【答案】【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题．【解答】 解：法一设点为圆心．点在直线൅െͳ上，可设点的坐标为ሺͳʹ．又该圆经过，两点，．ሺെʹͳ൅ሺͳ൅െʹͳሺ൅െʹͳ൅ሺͳെʹͳ，解得െ．圆心坐标为ሺെെʹ，半径长ͳͳ故所求圆的标准方程为ሺെʹͳ൅ሺെെʹͳ．法二排除法ͳ根据圆心在直线൅െͳ上，排除，ܥͳ根据点ሺെെʹ在圆上，排除．5.【答案】【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角的大小，属于基础题．【解答】解：解法一：如图所示，设、、分别为，െ和െെ的中点，则െ、െ夹角为和夹角或其补角ሺ因异面直线所成角为ሺͳെെͳ可知െ，െ作中点，则为直角三角形ͳͳͳͳെെ，，中，由余弦定理得ͳͳͳͳെ൅ͳcos൅െͳͳെሺʹ，，ͳͳെെ在中，ͳ൅ͳͳͳ൅ͳͳሺʹͳ൅ሺͳʹͳሺെെʹͳെ在中，由余弦定理得cosͳͳͳͳͳͳͳͳെ又异面直线所成角的范围是ሺͳ，െ与െ所成角的余弦值为．解法二：如图所示， 补成四棱柱ܥെെെܥെ，求െܥ即可ͳ൅െͳͳͳെcos，ͳ൅ܥͳܥͳ，െͳ，ܥͳെܥ，െെܥെ，ͳͳെcosെܥ．6.【答案】ܥ【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，属基础题．【解答】解：当双曲线的焦点在轴上时，离心率െ൅ሺʹͳെ൅ሺͳʹͳെ当焦点在െ轴上时െ൅ሺʹͳ．ͳͳ7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查等差数列前项和中基本量的运算，及利用二次函数的性质求最值，属于中档题。【解答】െሺെʹͳ解：由െ得െͳ，由െ，得到൏ͳ所以െ൅ͳͳሺെʹ，从而当时有最大值．8.【答案】ܥ【解析】 【分析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题．【解答】െ解：对于由题意可得൅，所以，，正确ͳ对于记右焦点为ሺെʹ，设ሺെʹ，则ͳሺെʹͳ൅െͳሺെʹͳ൅ሺͳͳͳʹͳ，而，ͳͳ൅ͳ，从而ͳ൅െ，B正确ͳ对于由题意易得为圆的直径，，关于原点对称，从而െͳͳ，正确െ对于ܥ易得ͳͳ，D错误．9.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项及性质，属中档题．【解答】解：由题意知，ͳ൅ͳͳͳ又ͳ，数列为递减数列，െ，ͳ．ͳͳͳെ公差，故A正确ͳͳെെ又െͳͳ，ͳ൅ሺെʹሺʹ൅，故B正确ͳͳͳെ由上可知െͳ，则当ͳ时，ͳͳെͳሺെʹͳሺͳʹെ，当െ时，ͳ，െ数列െ是首项为，公差为െ的等差数列，故C正确െെ，െ൅൅ͳͳ，故D错误．10.【答案】ܥ【解析】【分析】本题主要考查直线过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题。【解答】解：将直线的方程整理为ሺ൅െʹ൅ሺͳ൅െʹ，൅െ由解得ͳ൅െെെ 则无论为何值，直线过定点ܥሺെʹ，故A正确令，则ሺെͳʹͳͳ，解得െͳͳ，故圆被െ轴截得的弦长为，故B不正确因为ሺെʹͳ൅ሺെͳʹͳ൏ͳ，所以点ܥ在圆的内部，直线与圆相交，故C不正确െ圆心ሺെͳʹ，半径为，ܥ，当截得的弦长最短时，ܥ，ܥ，ͳ则直线的斜率为ͳ，此时直线的方程为െെͳሺʹ，即ͳെͳ故D正确．11.【答案】ܥ【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题．【解答】解：对于设，过做െ于点，则ͳ，，易得，从而A正确对于过、分别作െ、െ于点െ、െ，则െെͳ，从而B正确对于易得൅൅ͳ，C错误െͳ对于ܥ由得െͳെ，െെ，െെ൅െെ，从而െሺെʹെെ12.【答案】ܥ【解析】【分析】本题考查空间中线面的位置关系，棱锥体积、异面直线夹角，属较难题．【解答】解：对于连接ܥ，因为正方体中，െ平面ܥ，平面ܥ，所以െ，又因为ܥ，ܥ，െ为平面ܥെܥെ内的两条相交直线，所以平面ܥെܥെ，因为ܥെ平面ܥെܥെ，所以ܥെ，同理可得ܥെܥെ，因为ܥെ，为平面ܥെ内两条相交直线，可得ܥെ平面ܥെ，ܥെ平面െܥ，从而平面െܥ平面ܥെ，故A正确 对于连接െ，െെ，െെ，平面ܥെ，平面ܥെ，所以െെ平面ܥെ，同理െ平面ܥെ，又െെ、െ为平面െെ内两条相交直线，所以平面െെ平面ܥെ，因为െ平面െെ，所以െ平面ܥെ，故B正确对于因为ܥെെ，所以െ与ܥെ所成角即为െ与െ所成的角，െെെെ，则െെ为等边三角形，当与线段െ的两端点重合时，െ与ܥെ所成角取最小值当与线段െ的中点重合时，െ与ܥെ所成角取最大值ͳ，故െ与ܥെ所成角的范围是，故C不正确ͳ对于ܥ由选项B得െ平面ܥെ，故െ上任意一点到平面ܥെ的距离均相等，所以以为顶点，平面ܥെ为底面，则三棱锥ܥെ的体积不变，又ܥെܥെ，所以三棱锥ܥെ的体积不变，故D正确．13.【答案】െ൅或െ【解析】【分析】本题主要考查直线的一般方程的求法，属于基础题。【解答】െെെ解：设直线的方程为൅െ，，且，，െ或，െ，ͳ直线的方程为൅െെ或െെ，即െ൅或െ．14.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆的公共弦、公切线，属于基础题．【解答】解：ͳ൅െͳሺͳʹͳ൅െͳͳͳ，圆心坐标为ሺͳʹ，半径为ͳͳ൅െͳ൅൅ሺ൅ͳʹͳ൅െͳെͳ，圆心坐标为ሺͳʹ，半径为െͳ两圆圆心距为，两圆半径和为，因为，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有条．15.【答案】ሺʹ 【解析】【分析】本题考查数列中与的关系，属基础题．【解答】ͳ解：依题意得，ͳ，即ͳ．当ͳ时，െሺͳͳʹሺെʹͳͳሺെʹ，因为െെെ，满足，所以ሺʹͳെ16.【答案】െ【解析】【分析】本题主要考查椭圆、双曲线的定义，利用余弦定理求解焦点三角形问题，由基本不等式求最值，属于难题。【解答】解：不妨设为第一象限的点，െ为左焦点，设椭圆的长半轴长为െ，双曲线的实半轴长为ͳ，则根据椭圆及双曲线的定义可得െ൅ͳͳെ，െͳͳͳ所以െെെ൅ͳ，ͳെͳ，െͳͳ，在െͳ中，cosെͳ，由余弦定理得ͳሺ൅ʹͳ൅ሺʹͳͳሺ൅ʹሺʹcos，化简得ͳ൅െͳെͳെͳെͳെͳെͳͳ，即൅．ͳͳͳെͳെെെ所以ͳ൅ͳͳͳͳ，从而െ，当且仅当െͳ，ͳͳ时等号成立．െͳെͳെͳ17【.答案】解：设事件“甲通过体能测试”，事件“乙通过体能测试”，事件“丙通过体能测试”，ͳെ则ሺʹ，ሺʹ，ሺʹሺെʹ设െ表示“甲、乙、丙人都通过体能测试”，即െ，则由，，相互独立，ͳെെ可得ሺെʹሺʹሺʹሺʹ．െሺͳʹ设ͳ表示“只有ͳ人通过体能测试”，则ͳ൅൅，由于事件与，与，与均相互独立，且事件，，两两互斥，则ͳെͳሺͳʹሺʹሺʹ൅ሺʹ൅ሺʹሺെʹ൅ሺെെͳെെെͳʹ൅ሺെʹ൅൅．ͳ 【解析】本题考查了相互独立事件的概率的应用，属于基础题．18.【答案】解：ሺെʹ设等差数列的公差为，且．൅ͳ൅ͳͳ，െെ，，是方程ͳͳͳ൅െെ的两个根ͳ又公差，，െ．െ൅ͳെെ解得．െ൅െሺെʹͳͳͳሺͳʹ由ሺെʹ知，െ൅ͳͳ，．൅൅െെെ൅െ，ͳ൅ͳ，൅．是等差数列，ͳͳെ൅，ͳെെെͳ൅ሺ舍去ʹͳ经检验，符合题意，ͳͳͳ【解析】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，属中档题．19.【答案】解：ሺെʹ依题意准线的方程为ͳ，即ͳ，则，ͳ抛物线的方程为െͳሺͳʹ设的方程为െ൅ͳെ൅ͳ由得െͳെെെͳ依题意െെ൅െͳ则ͳ，ͳെ൅ͳെെെͳെ൅ͳͳ൅ሺെ൅ͳʹሺെ൅ʹെͳͳെെͳ香到的距离െ൅ͳ，从而得香ͳͳͳെ【解析】本题主要考查抛物线的焦点、准线，抛物线的标准方程，抛物线中的弦长公式，求解抛物线中的面积问题，属于中档题。20.【答案】解：ሺെʹ证明：在三棱柱െെെ中，四边形െെ是平行四边形，而െ，则平行四边形െെ是菱形，连接െ，如图， 则有െെ，因െെ，െെെ，െ，െ平面െ，于是得െ平面െ，而平面െ，则െ，由，得，െ，，െ平面െെ，从而得平面െെ，又平面，所以平面െെ平面．ሺͳʹ解：在平面െെ内过作，由ሺെʹ知平面െെ平面，平面െെ平面，则平面，以为原点，射线，，ͳ分别为，െ，轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因െ，െ，ͳ，则ሺʹ，ሺʹ，ሺͳʹ，ሺͳͳʹ，െ假设在线段上存在符合要求的点，设其坐标为ሺʹ，ሺʹ，则有ሺͳͳͳʹ，ሺͳʹ，െͳͳെ൅ͳ设平面െ的一个法向量ሺെʹ，则有ͳെͳ令ͳ得ሺͳʹ，而平面െെ的一个法向量ሺെʹ，依题意，cos൏，ͳͳͳ൅ͳ൅ͳ化简整理得：ͳ൅而，解得െ，所以在线段上存在一点，且是靠近的四等分点，使平面െ和平面െെ所成角的余弦值为．【解析】本题考查了面面垂直的证明和直线与平面所成的角的计算，属于中档题． 21【.答案】解：ሺെʹ由圆心在轴上的圆与直线൅െ切于点ሺʹ，设ሺʹ，直线൅െ的斜率为，则，所以ͳሺʹെ．ͳ所以െ，所以ሺെʹ，ሺെʹͳ൅ͳ，即ͳ，所以圆的标准方程为ሺ൅െʹͳ൅െͳ．ሺͳʹ设直线െെሺʹ，与圆联立方程组可得ሺെ൅ͳʹͳ൅ͳ，ͳͳ൅െͳሺെ൅ʹ，由根与系数的关系得െ൅ͳെ൅ͳ，െͳെ൅ͳ，ͳ൅ͳሺെͳʹͳ൅ሺെെെʹͳ൅ሺͳͳʹͳ൅ሺെͳെʹͳሺെͳʹͳ൅ሺെെʹͳ൅ሺͳͳʹͳ൅ሺͳെʹͳͳͳͳെͳ൅ሺെ൅ʹሺെ൅ͳʹͳሺെ൅ʹെͳሺ൅ͳʹሺെ൅ͳʹ൅െെ൅ͳ൅െ，令൅ሺʹ，则，െͳ൅所以െ൅ͳ൅െെ൅ሺʹͳ൅െെ൅െͳെ൅െͳെ൅ͳͳ，൅െ当且仅当，即െ时取等号，此时െ，所以ͳ൅ͳ的最大值为ͳെ൅ͳͳ．【解析】本题考查直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，属中档题．22.【答案】解：ሺെʹ依题意得െ൅ͳͳͳͳ，则动点的轨迹是以െ，ͳ为焦点的椭圆，其中ͳ，ͳͳͳͳെ，െ，所以动点的轨迹的方程为൅െͳെͳሺͳʹ设直线的方程为െ൅，ሺെെെʹ，ሺͳെͳʹ，െ൅则由ͳͳ得ሺͳ൅ͳʹെͳ൅ͳെ൅ͳͳ，由根与系数的关系得൅െെͳെെ൅െͳͳ൅ͳͳͳെെെͳͳ൅ͳ由题意，两点不在轴上，所以െͳ，ͳͳ，ͳ，又点ሺͳʹ，ሺͳʹെെെͳͳെെെͳ所以െ，ͳ，由െ൅െͳെ得െ൅ͳͳͳͳെെ൅ͳͳെെെͳെͳ从而由已知െͳͳ得ͳെͳ，即ሺെͳʹሺͳͳʹെെെͳെͳͳ又െെെ൅，ͳെͳ൅，将代入得ሺͳ൅ʹെെെͳ൅ሺͳʹሺെെ൅െͳʹ൅ሺͳʹͳ将代入上式并整理得ሺͳ൅ʹሺͳͳʹ൅ሺͳʹሺͳʹ൅ሺͳʹͳሺͳ൅ͳʹ． ͳሺͳ൅ʹሺ൅ͳʹ൅ሺͳʹ൅ሺͳʹሺͳ൅ͳʹ，整理得൅ͳͳͳͳ，故直线恒过定点ሺʹ【解析】本题主要考查椭圆中的轨迹问题，直线与圆的位置关系，直线过定点问题，属于较难题。