浙江省宁波市九校2022-2023学年高一数学上学期期末联考试题（Word版含解析）

宁波市2022学年第一学期期末九校联考高一数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即可．【详解】，；∴．故选：A．2.下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用周期排除A，B，再利用复合函数单调性在C，D中可得到正确答案.【详解】对选项A，B其周期为，选项C，D其周期为，故排除选项A，B； 对于C：在上为单调递减，则在上为单调递增，故C正确；对于D：在上为单调递增，则在上为单调递减，故D错误.故选：C3.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案.【详解】对称为轴，若，又开口向上，在上单调递增，又，故在上单调递增成立；若函数在上单调递增，单调递减，不成立，则得，不能推出，故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.4.已知幂函数（且）过点，则函数的定义域为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义求出，根据幂函数经过的点可求，再根据函数有意义列式可求出结果.【详解】根据幂函数的定义可知，，解得或（舍），因为幂函数过点，所以，得，由有意义，得，得且，所以所求函数的定义域为.故选：B5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据三角函数的定义得到，再根据诱导公式求解即可.【详解】已知角终边经过，所以，所以.故选：D6.2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（）年（参考数据：，，） A8.3B.8.5C.8.7D.8.9【答案】B【解析】【分析】根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可.【详解】设世界人口达到90亿至少需要年，由题意，得，因此世界人口达到90亿至少需要8.5年，故选：B7.函数的图象最有可能的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，再通过取特殊点确定正确选项.详解】有意义可得，所以且，所以且且，所以的定义域为 ，又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，B，D错误，又，C错误，选项A符合函数的解析式，故选：A.8.已知，且，则的最小值为（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.【详解】因为，所以，令，则且，代入中得：当即时取“=”,所以最小值为1.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0 分，部分选对的得2分.9.下列不等式错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析给定的四个不等式的正误，可得答案.【详解】对于A中的不等式，因为，所以，故选项A中的不等式不成立；对于B中的不等式，因为，所以，故选项B中的不等式不成立；对于C中的不等式，因为，所以，化简得出，正确；对于D中的不等式，因为，所以在的情况下不成立.故选：ABD10.以下命题正确的是（）A.函数的单调递增区间为B.函数的最小值为C.为三角形内角，则“”是“”的充要条件D.设是第一象限，则为第一或第三象限角【答案】AD【解析】【分析】对选项A，根据复合函数的单调性即可判断A正确，对选项B，利用基本不等式的性质即可判断B错误，对选项C，利用特值法即可判断C错误，对选项D，根据题意得到，，即可判断D正确. 【详解】对选项A，，因为，所以，令，所以，因为，为增函数，，为减函数，所以的增区间为，故A正确.对选项B，，当且仅当，等号成立.因为，无解，故等号取不到，即函数最小值不是，故B错误.对选项C，若，则，所以若为三角形内角，则，不满足充要条件，故C错误.对选项D，若是第一象限，则，，所以，，即为第一或第三象限角，故D正确.故选：AD11.如图所示，角的终边与单位圆交于点，，轴，轴，在轴上，在角的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，，的值分别等于线段，的长，且，则下列结论正确的是（）A.函数有3个零点B.函数在内有2个零点 C.函数在内有1个零点D.函数在内有1个零点；【答案】BCD【解析】【分析】利用当时，，可得各个函数在上零点的个数，再根据奇函数的图象的对称性得到函数在上零点的个数，又各个函数都有零点，由此可判断ACD；再结合函数和的图象，可判断B.【详解】由已知可知，当时，，，，所以当时，，对于A，当时，，，所以，此时函数无零点；当时，因为，所以，此时函数无零点；当时，，此时函数的零点为；因为为奇函数，其图象关于原点对称，所以当时，函数无零点，综上所述：函数有且只有1个零点，故A不正确；对于B，当时，因为，所以，又为奇函数，所以当时，，当时，，所以函数在上有且只有一个零点；作出函数和的图象，如图： 由图可知，当时，函数和的图象只有一个交点，函数在上只有一个零点，所以函数在内有2个零点，故B正确；对于C，当时，，，又函数为奇函数，所以当时，，当时，，所以函数在内有且只有1个零点，故C正确；对于D，当时，，所以，又由于为奇函数，所以当时，，所以，当时，，所以函数在内有1个零点.故选：BCD 12.已知正实数，满足，则使方程有解的实数可以为（）A.B.2C.D.1【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，化简为，设，且，根据单调性，得到在时单调递增，故，得到，代入，得到，设，，，得到，再根据单调性，可得到的范围.【详解】，，，，设，，明显地，单调递增，，，，，令，，，，设，则有解，等价于与有交点，明显地，单调递减，且，故，故选：ABC【点睛】思路点睛：通过化简得到，设，利用的单调性，得到与的关系，进而化简得到，进而利用与 有交点，得到的取值范围.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是__________．【答案】，【解析】【详解】全称命题的否可得，命题的否定为“，”．答案：，．14.计算______.【答案】【解析】【分析】对数、根式与指数的运算法则化简即可.【详解】原式，故答案为：.15.已知，则的值为______.【答案】##【解析】【分析】切化弦展开后化简代入计算即可.【详解】∵ 故答案为：.16.设函数，若函数的最小值为，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】对分大于0，小于0，等于0，同时利用函数图像及函数单调性进行分析求解即可.【详解】①当时，，即，如图所示：由图知此时函数无最值，所以，②当时，，即， 当时，，对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，故，当时，在上单调递增，所以，由函数的最小值为，此时，所以函数最小值为，所以，即，解得：或（舍去），③当时，由时，，此时在上单调递减，所以最小值为，由时，，此时函数在单调递减，在单调递增，所以，所以当时，函数最小值为满足题意，综上所述，当函数最小值为时， 实数的取值范围为：，故答案为：.四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知：在上恒成立；：存在使得；：存在，使得.（1）若且是真命题，求实数的范围；（2）若或是真命题，且是假命题，求实数的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)且是真命题等价于、均是是真命题，将对应的的范围分别计算取交集即可；(2)或是真命题，且是假命题等价于、一真一假，故分若真假，或若假真两类考虑，最后取并集.【小问1详解】若为真，则在上恒成立等价于，得；若为真，则存在使得等价于，得；且是真命题等价于、均是是真命题，故，故；【小问2详解】若为真，等价于有解，则，若为真假，则，若为真，则，若为假，则或；或是真命题，且是假命题等价于、一真一假，若真假，则若假真，则， 综上：18.已知函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）若，求函数在上的最小值.【答案】（1）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.（2）.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及对参数分类讨论即可求解；（2）根据已知条件及基本不等式即可求解.小问1详解】由，得，即，当时，不等式，解得，不等式的解集为；当即时，不等式的解集为或；当即时，不等式的解集为或；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.【小问2详解】由，得，解得，所以.因为，所以， ，当且仅当，即时，等号成立.所以当时，函数在上的最小值为.19.已知函数.（1）化简，并求解；（2）已知锐角三角形内角满足，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）将函数中的切化弦，再分子分母同时乘以，利用二倍角公式及辅助角公式即可化简，化简后将代入解析式即可求得结果.（2）将代入解析式，再由已知求出的取值范围，即可求出的值，再利用凑角及两角和差公式代入数值即可求得结果.小问1详解】所以， 所以；【小问2详解】因为，所以又因为且，所以，则，因为，所以所以.20.已知函数.（1）证明：函数在上为增函数；（2）求使成立的的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据对数运算法则将函数化简之后得出的表达式，再利用单调性的定义即可得出证明；（2）结合（1）的结论和复合函数单调性得出函数在上为增函数，再利用函数奇偶性解带绝对值不等式即可得出的取值范围.【小问1详解】由函数可得 所以取任意，且，则易知，所以，而；所以，即所以函数在上为增函数.【小问2详解】由题意可知，函数的定义域为由可得，所以函数为偶函数；根据（1）可知，在上为增函数；根据复合函数单调性可知，在上为单调递增；又函数偶函数，所以在上为单调递减，由可得只需满足即可，易知，所以即，解得；根据三角函数单调性可知21.近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域（阴影部分），以及可利用部分为区域，其中，米，米，区域为三角形，区域为以为半径的扇形，且. （1）为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；（2）在可利用区域中，设置一块矩形作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值.【答案】（1）（米）；（2）（平方米）.【解析】【分析】（1）在直角三角形中由已知条件可求出和，则可求得，从而可求出的长，进而可求得结果；（2）连接，设，则结合已知条件表示出，然后表示出矩形的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值.【小问1详解】因为，，，所以，，因为为锐角，所以，因为，所以，所以的长为，所以隔离带的总长度为（米）；【小问2详解】连接，设，因为，所以，， 因为，所以，所以，所以，因为，所以，当时取到最大值，所以补充门诊面积最大值为（平方米）.22.已知函数.（1）当时，最小值为，求实数的值；（2）对任意实数与任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）求出代入，变为只含有参数的二次函数，化简为顶点式函数，顶点纵坐标即为最小值. (2)把函数可以看成点与的距离，即直线到抛物线的最小距离的平方为.【小问1详解】当时，，所以最小值为，即或【小问2详解】所以可以看成点与的距离，令又因为，所以点在二次函数的图像上点在直线上，直线到抛物线的最小距离的平方为画图为：所以所以直线：，即直线与二次函数只有一个交点，即方程只有一个解，即，所以二次函数为； ，，即所以【点睛】一般把看成点到的距离，再求与在那两个函数上，就可以转化为两个函数上点的距离的最值问题.