湖南省邵阳市2022-2023学年高三数学上学期一模试题（PDF版含解析）

2023年邵阳市高三第一次联考试题卷数学本试卷共4页,22个小题。满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)21.已知全集U=R,集合A={x|x+2x-3<0},B={xx=2k,k∈Z},则A∩B=()A.{0,2}B.{-2,0}C.{-2,0,2}D.{-2,-1,0}-2.已知复数z满足(2z+3)i=3z,则z=()A.-6-9iB.-6+9iC.6-9iD.6+9i13131313131313133.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆,则该圆锥的全面积为()3πππ3πA.B.C.D.424244.设向量a,b满足|a-b|=4,a·b=1,则|a+b|=()A.2B.23C.3D.255.某铅笔工厂有甲、乙两条生产线,甲生产线的产品次品率为10%,乙生产线的产品次品率为5%.现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品,由甲、乙两条生产线同时生产,且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍.现在从这种铅笔产品中任取一件,则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.386.已知A,B,C分别是△ABC的内角,tanA=1,cosB=310,则C的值是()2103ππ2π5πA.B.C.D.4436a,a≤b,x-127.设min{a,b}={若函数f(x)=min{e-x,-x+2mx-1}有且只有三个零点,b,a>b,则实数m的取值范围为()135A.(,+∞)B.(,+∞)C.(1,+∞)D.(,+∞)2442023年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第1页(共4页) 8.截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示,将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面,得到所有棱长均为a的截角四面体,则下列说法错误的是()1A.二面角A-BC-D的余弦值为-32323B.该截角四面体的体积为a12112C.该截角四面体的外接球表面积为πa22D.该截角四面体的表面积为63a二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.随着时代与科技的发展,信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数,f(x)=4sin[(2i-1)x]∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形,则下列说法正确的有()i=12i-1πA.函数f(x)的图象关于直线x=对称2B.函数f(x)的图象关于点(0,0)对称C.函数f(x)为周期函数,且最小正周期为πD.函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为410.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,对任意x,y满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),且f(-2)=f(1)≠0,则下列说法正确的有()A.g(0)=11B.函数f(2x-1)的图象关于点(,0)对称2C.g(1)+g(-1)=1202333D.若f(1)=,则∑f(n)=2n=1211.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”,该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日22xy(1746-1818)最先发现.已知长方形R的四条边均与椭圆C:+=163相切,则下列说法正确的有()2A.椭圆C的离心率为e=222B.椭圆C的蒙日圆方程为x+y=622C.椭圆C的蒙日圆方程为x+y=9D.长方形R的面积的最大值为18.2023年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第2页(共4页) 12.已知函数f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,则下列说法正确的有()xA.g(e)在(0,+∞)上是增函数B.∀x>1,不等式f(ax)≥f(lnx2)恒成立,则正实数a的最小值为2eC.若f(x)=t有两个零点x,x,则x+x>01212lnt1D.若f(x)=g(x)=t(t>2),且x>x>0,则的最大值为1221x-xe21三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)35713.(x-2y)(y-2z)(z-2x)的展开式中不含z的各项系数之和.14.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ<π)的图象向左平移2θ个单位长度得到函数g(x)的图象,如图所示,图中阴影部π分的面积为,则φ=.2222215.已知圆x+y+2x-4y-5=0与圆x+y+2x-1=0相交于A,B两点,则公共弦AB所在的直线方程为(2分),|AB|=(3分).→→→→16.在正方体ABCD-ABCD中,点P满足BP=xBA+yBC+zBD,且x+y+z=1,直线BP1111111111π与平面ACD所成角为,若二面角P-AD-B的大小为θ,则tanθ的最大值是.113四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)n∗17.(本小题满分10分)已知数列{a}满足a=1,a=2,a=a+2×3(n∈N),n12n+2n∗且b=a+a(n∈N).nnn+1(1)求数列{b}的通项公式;n4(n+1)∗(2)若bc=(n∈N),求数列{c}的前n项和.nn2n4n-118.(本小题满分12分)如图,P为△ABC内的一点,∠BAP记为α,∠ABP记为β,且α,β在△ABP中的对边分别记为m,n,(2m+n)sinβ=3ncosβ,α,β∈(0,π).3(1)求∠APB;(2)若AB=23,BP=2,PC=3,记∠APC=θ,求线段AP的长和△ABC面积的最大值.2023年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第3页(共4页) 19.(本小题满分12分)如图所示,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,侧面ABEF为菱形,平面ABEF⊥平面ABCD,M为棱BE的中点.(1)若DE上有一点N满足MN∥平面ABCD,确定点N的位置并证明;1(2)若AB=BC=AD,∠EBA=60°,求平面MAD与平面EFD所成二2面角的正弦值.20.(本小题满分12分)新冠肺炎疫情暴发以来,各级人民政府采取有效防控措施,时常采用10人一组做核酸检测(俗称混检).某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性,为了能找出这1例阳性,需要通过做血清检测,血清检测结果呈阳性的即为感染人员,呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测:方案甲:将这10人逐个做血清检测,直到能确定感染人员为止.方案乙:将这10人的血清随机等分成两组,随机将其中一组的血清混在一起检测,若结果为阳性,则表示感染人员在该组中,然后再对该组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止;若结果呈阴性,则对另一组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止.把采用方案甲,直到能确定感染人员为止,检测的次数记为X.(1)求X的数学期望E(X);(2)如果每次检测的费用相同,以检测费用的期望作为决策依据,应选择方案甲与方案乙中的哪一种?22221.(本小题满分12分)已知抛物线C:x=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x+(y+3)=1上点的距离的最大值为5.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P在圆M上,PA,PB是抛物线C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=(a-a2)x+lnx-1(a∈R).x(1)讨论函数f(x)的单调性;2(2)当a=1时,记g(x)=xf(x)+x+1,是否存在整数t,使得关于x的不等式t≥g(x)有解?若存在,请求出t的最小值;若不存在,请说明理由.2023年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第4页(共4页) 2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准数学一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.B2.A【详解】因为(2z+3)i=3z,2zi+3i=3z,(3-2i)z=3i,3i3i(3+2i)-6+9i69-69所以z====-+i,z=--i,3-2i(3-2i)(3+2i)1313131313故选:A.3.A【详解】母线长为1,设底面圆半径为r,1则2πr=π,∴r=,2ππ3π故圆锥的全面积为S=S+S=+=,底侧424故选:A.4.D→→2→2→→→2→→2→2→→→2【详解】因为|a+b|=a+2a·b+b,|a-b|=a-2a·b+b,→→→→2→→2以上两式相减可得,4a·b=|a+b|-|a-b|,→→2→→2→→→→所以|a+b|=|a-b|+4a·b=16+4=20,即|a+b|=25,故选:D.5.A【详解】从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6,抽到乙的概率是0.4,抽到甲车间正品的概率P=0.6×(1-0.1)=0.54,1抽到乙车间次品的概率P=0.4×(1-0.05)=0.38,2任取一件抽到正品的概率P=P+P=0.54+0.38=0.92.12故选:A.6.A7.Cx-1x-1【详解】令g(x)=e-x,则g′(x)=e-1,令g′(x)>0,得x>1;令g′(x)<0,得x<1;所以g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故g(x)=g(1)=0,min-M-1又因为对于任意M>0,在(-∞,1)总存在x=-M,使得g(-M)=e+M>M,x-1在(1,+∞)上由于y=e的增长速率比y=x的增长速率要快得多,所以总存在x=x,0x0-1使得e-x>M,0所以g(x)在(-∞,1)与(1,+∞)上都趋于无穷大;2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第1页(共14页) 2令h(x)=-x+2mx-1,则h(x)开口向下,对称轴为x=m,2所以h(x)在(-∞,m)上单调递增,在(m,+∞)上单调递增,故h(x)=h(m)=m-1,maxx-12因为函数f(x)=min{e-x,-x+2mx-1}有且只有三个零点,而g(x)已经有唯一零点x=1,所以h(x)必须有两个零点,则h2(x)>0,即m-1>0,解得m<-1或m>1,max2当m<-1时,h(1)=-1+2m×1-1=-2+2m<0,则f(1)=min{g(1),h(1)}=h(1)<0,即f(x)在x=1处取不到零点,故f(x)至多只有两个零点,不满足题意,2当m>1时,h(1)=-1+2m×1-1=-2+2m>0,则f(1)=min{g(1),h(1)}=g(1)=0,所以f(x)在x=1处取得零点,结合图像又知g(x)与h(x)必有两个交点,故f(x)在(-∞,1)与(m,+∞)必有两个零点,所以f(x)有且只有三个零点,满足题意;综上:m>1,即m∈(1,+∞).故选:C.8.D【详解】如下图所示:取BC的中点为W,分别连接SW和O′W,因为SW⊥BC,O′W⊥BC,所以∠SWO′为S-BC-A的二面角,SW=2213a-(a)=a,22221323AW=a-(a)=a,所以AO′=AW=a,所以22332236SO′=a-(a)=a,33223O′W1在直角三角形SO′W中,O′W=(SW)-(SO′)=a,所以cos∠SWO′==6SW31所以二面角S-BC-A的余弦值为,31所以二面角A-BC-D的余弦值为-,故A正确36因为棱长为a的正四面体的高h=a,3132613262323所以V=·(3a)··(3a)-4··a·a=a,故B正确;34334312设外接球的球心为O,△ABC的中心为O′,△NPQ的中心为O″,2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第2页(共14页) 6262222因为截角四面体上下底面距离为6a-a=a,所以R-O′C+R-O″H=3326a,3222a22262a2622所以R-+R-a=a,所以R-=a-R-a,333322a822246222112所以R-=a+R-a-a·R-a,所以R=a,33382112所以S=4πR=πa,故C正确;2由正四面体S-NPQ中,题中截角四面体由4个边长为a的正三角形,323224个边长为a的正六边形构成,故S=4×a+4×6×a=73a,故D错误.44故选:D.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.ABD4sin[(2i-1)x]sin3xsin5xsin7x【详解】因为函数f(x)=∑=sinx+++,定义域为R,i=12i-1357sin(3π+3x)sin(5π+5x)sin(7π+7x)对于A,f(π+x)=sin(π+x)+++357sin3xsin5xsin7xsin(-3x)sin(-5x)=-sinx---=sin(-x)+++35735sin(-7x)=f(-x),7π所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故A正确;2sin(-3x)sin(-5x)sin(-7x)sin3xsin5x对于B,f(-x)=sin(-x)+++=-sinx---35735sin7x=-f(x),7所以函数f(x)为奇函数,图象关于点(0,0)对称,故B正确;对于C,由题知f(x+π)=-f(x)≠f(x),故C错误;对于D,由题可知f′(x)=cosx+cos3x+cos5x+cos7x≤4,故D正确.故选:ABD.10.ABD【详解】对于A,令x=y=0,代入已知等式得f(0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0,得f(0)=0,再令y=0,x=1,代入已知等式得f(1)=f(1)g(0)-g(1)f(0),可得f(1)[1-g(0)]=-g(1)f(0)=0,结合f(1)≠0得1-g(0)=0,g(0)=1,故A正确;对于B,再令x=0,代入已知等式得f(-y)=f(0)g(y)-g(0)f(y),2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第3页(共14页) 将f(0)=0,g(0)=1代入上式,得f(-y)=-f(y),∴函数f(x)为奇函数,1∴函数f(2x-1)关于点(,0)对称,故B正确;2对于C,再令x=1,y=-1,代入已知等式,得f(2)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1),∵f(-1)=-f(1),∴f(2)=f(1)[g(-1)+g(1)],又∵f(2)=-f(-2)=-f(1),∴-f(1)=f(1)[g(-1)+g(1)],∵f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1,故C错误;对于D,分别令y=-1和y=1,代入已知等式,得以下两个等式:f(x+1)=f(x)g(-1)-g(x)f(-1),f(x-1)=f(x)g(1)-g(x)f(1),两式相加易得f(x+1)+f(x-1)=-f(x),所以有f(x+2)+f(x)=-f(x+1),即:f(x)=-f(x+1)-f(x+2),有:-f(x)+f(x)=f(x+1)+f(x-1)-f(x+1)-f(x+2)=0,即:f(x-1)=f(x+2),∴f(x)为周期函数,且周期为3,333∵f(1)=,∴f(-2)=,∴f(2)=-f(-2)=-,f(3)=f(0)=0,222∴f(1)+f(2)+f(3)=0,20233∴∑f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=f(2023)=f(1)=,故D正确.n=12故选:ABD.11.ACDc6-32【详解】椭圆C的离心率为e===a62设两条互相垂直的切线的交点为P(x,y),00当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标是(±a,b),或(±a,-b).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P的坐标是(x,0y)(x≠±a,且y≠±b),000所以可设曲线C的过点P的切线方程是y-y=k(x-x)(k≠0).0022ìxyïï+=1a2b2222222222由í,得(ak+b)x-2ka(kx0-y0)x+a(kx0-y0)-ab=0,ïïy-y=k(x-x)î002222222由其判别式的值为0,得(x-a)k-2xyk+y-b=0(x-a≠0),00000因为k,k(k,k为过P点互相垂直的两条直线的斜率)是这个PAPBPAPB关于k的一元二次方程的两个根,22y-b0所以k·k=,PAPB22x-a02222由此,得k·k=-1⇔x+y=a+b,PAPB0022即C的蒙日圆方程为:x+y=9;2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第4页(共14页) 因为蒙日圆为长方形的外接圆,设r=OA=3,∠AOB=θ,12则矩形面积公式为S=4·r·sinθ=18sinθ,显然sinθ=1,2即矩形四条边都相等,为正方形时,S=18.max故答案为:ACD.12.ABDxx【详解】对于A,当x>0时,e>1,令t=e,则t>1,g(t)=t-lnt,1t-1∵g′(t)=1-=,∴当t>1时,g′(t)>0恒成立,∴g(t)在(1,+∞)上单调递增;ttx∵t=e在(0,+∞)上单调递增,x∴根据复合函数单调性可知:g(e)在(0,+∞)上为增函数,A正确;2对于B,当x>1时,lnx>ln1=0,又a为正实数,∴ax>a>0,x∵f′(x)=e-1,∴当x>0时,f′(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,222lnx则由f(ax)≥f(lnx)得:ax≥lnx,即a≥,x2lnx2(1-lnx)令h(x)=(x>1),则h′(x)=,2xx∴当x∈(1,e)时,h′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0;2∴h(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴h(x)=h(e)=,maxe22∴a≥,则正实数a的最小值为,B正确;eex对于C,∵f′(x)=e-1,∴当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0;∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;∴f(x)=f(0)=1,则t>1;min不妨设x<x,则必有x<0<x,1212若x+x>0,则x>-x>0,等价于f(x)>f(-x),122121又f(x)=f(x),则等价于f(x)>f(-x);2111x-x令F(x)=f(x)-f(-x)(x<0),则F′(x)=e+e-2,x-xx-xx-x∵x<0,∴0<e<1,e>1,∴e+e>2e·e=2,即F′(x)>0,∴F(x)在(-∞,0)上单调递增,∴F(x)<F(0)=0,即f(x)<f(-x),∴f(x)<f(-x),可知x+x>0不成立,C错误;1112x1lnx2对于D,由f(x)=g(x)=t(t>2),x>x>0得:e-x=x-lnx=e-lnx=t12211222(t>2),即f(x)=f(lnx)=t(t>2),12由C知:f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;f(1)=e-1<2,∴x>1,则x>x>1,∴lnx>0,1212x1lntlntlntlnt∴x=lnx,即e=x,∴===;122x1()x2-x1e-x1fx1tlnt1-lnt令φ(t)=(t>2),则φ′(t)=,2tt2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第5页(共14页) ∴当t∈(2,e)时,φ′(t)>0;当t∈(e,+∞)时,φ′(t)<0;1∴φ(t)在(2,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴φ(t)=φ(e)=,maxelnt1即的最大值为,D正确.x-xe21故选:ABD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.1283573【详解】(x-2y)(y-2z)(z-2x)利用二项展开式的通项公式进行展开,设(x-2y)57项为k,(y-2z)项为n,(z-2x)项为m.k3-kkn5-nnm7-mmknm展开后得Cx(-2y)·Cy(-2z)·Cy(-2z)对每一项进行合并得CCC357357m+k+n3-k+m5-n+k7-m+n(-2)xyz,因为展开式中不含z,所以7-m+n=0,又m得取值为{0,1,2,3,4,5,6,7},n得取值为{0,1,2,3,4,5},故得m=7,n=0.k077+k10-k5+kk7+k10-k5+k代入展开式得CCC·(-2)xy=C(-2)xy,又k得取值为3573071829310{0,1,2,3},分别带入后各项系数之和为C(-2)+C(-2)+C(-2)+C(-2)333378910=(-2)+3·(-2)+3·(-2)+(-2)=128.故答案为:128π14.6【详解】设阴影左侧最高点为A,右侧最高点为D,过A作x轴的垂线,垂足为B,过D作x轴的垂线,垂足为C,1π由题设可得四边形ABCD为矩形且其面积为×,22ππ故1×θ=,故θ=,T=π∴w=2,44ππππππ故g(x)=sin(2x++φ),而g()=sin(2×++φ)=0,故2×++φ=kπ,k266262∈Z,5πππ解得φ=kπ-,k∈Z,而φ<,故φ=,626π故答案为:.615.y=-1,22222【详解】由题意AB所在的直线方程为:(x+y+2x-4y-5)-(x+y+2x-1)=0,22即y=-1,因为圆x+y+2x-1=0的圆心O(-1,0),半径为r=2,所以圆心O(-1,0)到直线y=-1的距离为1,所以AB=22-1=2.故答案为:y=-1,216.62023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第6页(共14页) →→→→【详解】∵BP=xBA+yBC+zBD,且x+y+z=1,11111∴P在平面ACD上,1设CD∩CD=O,连接BD,AO,且BD∩AO=O,11111因为BC⊥平面CDDC,又CD⊂平面CDDC,1111111所以BC⊥CD,又CD⊥CD,BC∩CD=C,CD⊂平面BCDA,BC⊂平11111111111111面BCDA,11所以CD⊥平面BCDA,BD⊂平面BCDA,111111所以CD⊥BD,11同理可得BD⊥AC,又AC∩CD=C,AC⊂平面ACD,CD⊂平面ACD,11111所以BD⊥平面ACD,11设正方体的棱长为1,则可知B-ACD为棱长为2的正四面体,11所以O为等边三角形ACD的中心,113626由题可得AO=×2=,得AO=AO=,1223323所以BO=,113πB1O1π又∵BP与平面ACD所成角为,则=tan=3,113OP3122可求得OP=,即P在以O为圆心,半径r=的圆上,且圆在平面ACD内,11133由BD⊥平面ACD,又∵BD⊂平面ABCD,11111∴平面ABCD⊥平面ACD,且两个平面的交线为AO,111把两个平面抽象出来,如图,作PM⊥AO于M点,过点M作MN⊥AD交AD于N点,连接PN,∵平面ABCD⊥平面ACD,PM⊂平面ACD,1111平面ABCD∩平面ACD=AO,111∴PM⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,1111∴PM⊥AD,又MN⊥AD,MN与PM为平面PMN中两相交直线,故AD⊥平面PMN,PN⊂平面PMN,2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第7页(共14页) ∴AD⊥PN,∴∠PNM为二面角P-AD-B的平面角,即为角θ,1设AM=x,当M与点O不重合时,在Rt△PMO中,1122262262可求得PM=()-(x-)=-x+x-,333962若M与点O重合时,即当x=时,可求得PM=PO=,也符合上式,11332262故PM=-x+x-,39∵MN⊥AD,OD⊥AD,∴MN∥OD,MNAM∴=,ODAO2xOD×AM23∴MN===x,AO6322262-x+x-2PM3921261∴tanθ===3-()+×()-1MN39x3xx3221261令y=-()+×()-1,9x3x221361366则y=-(-)+2≤2,当=,即x=时等号成立,9x2x29∴tanθ=3·y≤3×2=6,故tanθ的最大值是6.四、解答题n∗17.(10分)【详解】(1)因为a=1,a=2,a=a+2×3(n∈N),b=a+a,12n+2nnnn+1n可得b=a+a=3,a-a=2×3,……………………………………………(1分)112n+2nn又b-b=a+a-(a+a)=a-a=2×3,………………………(2分)n+1nn+1n+2nn+1n+2n2则当n≥2时,b=b+(b-b)+(b-b)+…+(b-b)=3+2×3+2×3+…+2n12132nn-1nn-12(1-3)n×3=1+=3,…………………………………………………………(4分)1-3n∗上式对n=1也成立,所以b=3,n∈N;…………………………………………(5分)n4(n+1)∗(2)由bc=(n∈N),nn24n-14n+411可得c==-,………………………(7分)nnn-1n3(2n-1)(2n+1)3(2n-1)3(2n+1)2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第8页(共14页) 则数列{c}的前n项和为n111111-+-+…+-…………………(9分)0112n-1n3×13×33×33×53(2n-1)3(2n+1)1=1-.……………………………………………………………………(10分)n3(2n+1)18.(10分)【详解】(1)已知(2m+n)sinβ=3ncosβ,由正弦定理可得22sinαsinβ+sinβ=3sinβcosβ,由sinβ≠0,……………………………………(1分)31π∴sinα=cosβ-sinβ⇒sinα=sin(-β),…………………………………(3分)223πππα,β∈(0,),-β∈(0,),………………………………………………………(4分)333ππ2πα=-β,α+β=⇒∠APB=.…………………………………………………(5分)333(2)在△APB中,由余弦定理得知:222AB=AP+BP-2AP·BP·cos∠APB2即12=AP+4+2AP⇒AP=2………………………………………………………(8分)S=S+S+S△ABC△APB△APC△BPC12π114π=×2×2×sin+×2×3×sinθ+×2×3×sin(-θ)……………(9分)232234π33=3+3[sinθ+sin(-θ)]=3+3(sinθ-cosθ)…………………(10分)322π=3+3sin(θ-)(0<θ<π)……………………………………………………(11分)62π∴当θ=时,(S)=3+3.………………………………………………(12分)△ABCmax319.(12分)【详解】(1)点N为DE中点,证明如下:如图,连接BD,MN,…………………………………………(1分)因为M,N分别为BE,DE的中点,所以MN为△EBD的中位线,所以MN∥BD,………………(2分)又MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.所以N为DE的中点时满足条件;…………………………(4分)(2)取AB的中点O,连接OE,因为侧面ABEF为菱形,且∠EBA=60°,222所以在△EBO中,EO=BO+EB-2BO·EBcos60°,解得EO=3BO,222所以OE+OB=BE,即OE⊥AB.…………………………………………………(5分)又因为平面ABEF⊥平面ABCD.平面ABEF∩平面ABCD=AB,OE⊂平面ABEF所以OE⊥平面ABCD,过O作AB的垂线,交BD于H并延长,2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第9页(共14页) 分别以OH,OA,OE所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,…………………………………………………………………………………………(6分)1设AD=4,则AB=BC=AD=2,213故E(0,0,3),D(4,1,0),A(0,1,0),F(0,2,3),B(0,-1,0),则M(0,-,),22→33→33→→MA=(0,,-),MD=(4,,-),EF=(0,2,0),ED=(4,1,-3).2222→设平面MAD的法向量为m=(x,y,z).111ì→→33ïm·MA=y-z=011x=0ï221→则í即{令y1=1,则m=(0,1,3),……(8分)ï→→33z1=3y1ïîm·MD=4x1+y1-z1=022→设平面EFD的法向量为n=(x,y,z),222→→n·EF=2y2=0y2=0→则=(3,0,43),…{→→,即{令z2=43,则x2=3,则nn·ED=4x2+y2-3z2=04x2=3z2……………………………………………………………………………………(10分)→→→→m·n257cos〈m,n〉==,……………………………………………………(11分)→→19|m||n|133故:平面MAD与平面EFD所成二面角的正弦值为.………………………(12分)1920.(12分)【详解】(1)X可取1,2,…,8,9,……………………………………………(1分)k-1A91则P(X=k)==,k=1,2,…,8,……………………………………………(3分)kA10108A91P(X=9)==,…………………………………………………………………(5分)8A5101127所以E(X)=×(1+2+…+8)+×9=.…………………………………(6分)1055(2)把采用方案乙,直到能确定感染人员为止,检测的次数记为Y,则Y可取2,3,4,5.11111P(Y=2)=×+×=,…………………………………………………(7分)252551411411P(Y=3)=××+××=,………………………………………(8分)2542545143114311P(Y=4)=×××+×××=,……………………………(9分)254325435143214322P(Y=5)=×××+×××=,……………………………(10分)2543254352023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第10页(共14页) 1219则E(Y)=×(2+3+4)+×5=.…………………………………………(11分)555设每次检测的费用均为m(m>0),27则方案甲的平均费用为m,519方案乙的平均费用为m,52719因为m>m,所以应选择方案乙.………………………………………………(12分)5521.(12分)【详解】(1)[方法一]:利用二次函数性质求最大值p22由题意知,F0,,设圆M上的点N(x,y),则x+(y+3)=1.()0000222所以x=1-(y+3)(-4≤y≤-2).……………………………………………(1分)0002222p2pp从而有|FN|=x0+(-y0)=1-(y0+3)+(-y0)=-(p+6)y0-8+.2242p因为-4≤y≤-2,所以当y=-4时,|FN|=+4p+16=5.……………(2分)00max4又p>0,解之得p=2,因此p=2.……………………………………………………(3分)2抛物线C的方程为:x=4y…………………………………………………………(4分)[方法二]【最优解】:利用圆的几何意义求最大值pp抛物线C的焦点为F(0,),FM=+3,………………………………………(1分)2222p所以,F与圆M:x+(y+3)=1上点的距离的最大值为+3+1=5,解p=2(3分)22抛物线C的方程为:x=4y…………………………………………………………(4分)(2)[方法一]:切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法22xx抛物线C的方程为x=4y,即y=,对该函数求导得y′=,42设点A(x,y)、B(x,y)、P(x,y),112200xxx11直线PA的方程为y-y=(x-x),即y=-y,即xx-2y-2y=0………(5分)1111122同理可知,直线PB的方程为xx-2y-2y=0,22xx-2y-2y=01010由于点P为这两条直线的公共点,则{,xx-2y-2y=02020所以,点A、B的坐标满足方程xx-2y-2y=0,00所以,直线AB的方程为xx-2y-2y=0,…………………………………………(7分)00ìïïx0x-2y-2y0=02联立í2,可得x-2xx+4y=0,x00ïïy=î42023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第11页(共14页) 由韦达定理可得x+x=2x,xx=4y,1201202x0222所以,AB=1+·(x+x)-4xx=(x+4)(x-4y),………(8分)()121200022x-4y00点P到直线AB的距离为d=,…………………………………………(9分)2x+4021122x0-4y0123所以,S=AB·d=(x+4)(x-4y)·=(x-4y)2,………△PAB0000022x2+420……………………………………………………………………………………(10分)2222∵x-4y=1-(y+3)-4y=-y-10y-8=-(y+5)+17,0000000143由已知可得-4≤y≤-2,所以,当y=-4时,△PAB的面积取最大值×(2)2=32.…002……………………………………………………………………………………(12分)[方法二]【最优解】:切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到x+x=2x,xx=4y.………………………………………………(7分)1201202x0过P作y轴的平行线交AB于Q,则Qx,-y.………………………………(8分)(00)211122123S=|PQ|·x-x=(x0-2y0)·4x-16y=(x-4y)2.……(9分)△PAB1200002222x=cosα,0P点在圆M上,则{………………………………………………(10分)y=-3+sinα,0123123123S=(x-4y)2=(cosα-4sinα+12)2=[-(sinα+2)+17]2.…………△PAB00222……………………………………………………………………………………(11分)故当sinα=-1时△PAB的面积最大,最大值为32.……………………………(12分)[方法三]:直接设直线AB方程法22xx12设切点A,B的坐标分别为Ax,,Bx,.(1)(2)44y=kx+b,2设l:y=kx+b,联立l和抛物线C的方程得-4kx-4b=0.……ABAB{2整理得xx=4y,……………………………………………………………………………………(5分)22判别式Δ=16k+16b>0,即k+b>0,且x+x=4k,xx=-4b.………………(6分)121222xx抛物线C的方程为x=4y,即y=,有y′=.42222xxxxxx111122则l:y-=(x-x),整理得y=·x-,同理可得l:y=·x-.…………PA1PB422424……………………………………………………………………………………(7分)2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第12页(共14页) 2xxìï11y=·x-,ï24x+xxx1212联立方程í2可得点P的坐标为P(,),即P(2k,-b).…………ïx2x224ïy=·x-,î24……………………………………………………………………………………(8分)22221-(b-3)将点P的坐标代入圆M的方程,得(2k)+(-b+3)=1,整理得k=.…4……………………………………………………………………………………(9分)2222由弦长公式得|AB|=1+kx-x=1+k·(x+x)-4xx=1+k1212122·16k+16b.22k+2b点P到直线AB的距离为d=.…………………………………………(10分)2k+1112223所以S=|AB|d=16k+16b·2k+2b=4(k+b)=4△PAB2223231-(b-3)-b+10b-8[+b]=4(),……………………………………(11分)44其中y=-b∈[-4,-2],即b∈[2,4].P当b=4时,(S)=32.…………………………………………………………(12分)△PABmax22.(12分)解:(1)由题意得函数的定义域为(0,+∞)22211(a-a)x+x+1(ax+1)[(1-a)x+1]f′(x)=a-a++==…………(1分)222xxxx11①当a<0时,x∈(0,-)时,f′(x)>0,f(x)在(0,-)单调递增,aa11x∈(-,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(-,+∞)单调递减;……………………(2分)aa②当0≤a≤1时,f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增;………………(3分)11③当a>1时,x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)在(0,)单调递增,a-1a-111x∈(,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(,+∞)单调递减;…………………(4分)a-1a-111综上,当a<0时,f(x)在(0,-)单调递增,在(-,+∞)单调递减;aa当0≤a≤1时,f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增;11当a>1时,f(x)在(0,)单调递增,在(,+∞)单调递减.………………(5分)a-1a-122(2)当a=1时,g(x)=xf(x)+x+1=x+xlnx…………………………………(6分)114∴g′(x)=2x+lnx+1,∴g′(x)单调递增,又g′()=2-ln2>0,g′()=-ln6<026311所以存在唯一的x∈(,),使得g′(x)=2x+lnx+1=0…………………(7分)0000622023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第13页(共14页) 且当x∈(0,x)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;0当x∈(x,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;……………………………………(8分)0222所以g(x)=g(x)=x+xlnx=x+x(-2x-1)=-x-x,………(9分)min00000000021111设φ(x)=-x-x,x∈(,),则φ(x)在(,)上单调递减,0000062621137所以φ()<g(x)<φ(),即-<g(x)<-,…………………………(10分)00264363若关于x的不等式t≥g(x)有解,则t≥-,又t为整数,所以t≥04所以存在整数t满足题意,且t的最小值为0.……………………………………(12分)2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第14页(共14页)