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辽宁省大连市滨城2023届高三数学上学期期中(‖)考试试卷(Word版含解析)

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滨城高中2022-2023学年度上学期高三期中(Ⅱ)考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,是虚数单位,若复数为纯虚数,则()A.0B.1或-1C.D.1【答案】D【解析】【详解】为纯虚数,,即.故选:.2.已知集合,,,则C中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【详解】由题意,当时,,当,时,,当,时,,即C中有三个元素,故选:C3.“”是“直线与平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【详解】充分性:当时,直线与即为: 与,所以两直线平行.故充分性满足;必要性:直线与平行,则有:,解得:或.当时,直线与即为:与,所以两直线平行,不重合;当时,直线与即为:与,所以两直线平行,不重合;所以或.故必要性不满足.故“”是“直线与平行”的充分不必要条件.故选:A4.已知函数若,则m的值为()A.B.2C.9D.2或9【答案】C【解析】【详解】∵函数,,∴或,解得.故选:C.5.将函数的图象向右平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是() A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增【答案】D【解析】【详解】函数的图象向右平移个单位长度可得:,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得,对A,的最小正周期为,故A错误;对B,所以不是函数的对称轴,故B错误;对C,因为,所以,所函数是先减再增,故C错误;对D,因为,所以,所以在区间上单调递增,故D正确;故选:D.6.济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型,其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2,和所在圆的圆心都在线段AB上,若,,则的长度为() A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】过作,设圆弧AC的圆心为O,半径为,则,在中,,所以,,所以在直角三角形中,,所以,所以,而,所以,所以.故选:A.7.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且,E为线段AD上一点,若与的面积相等,则的值为() A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】∵D在线段BC上,且,∴,又为线段AD上一点,若与的面积相等,∴,为的中点,如图建立平面直角坐标系,则,∴,∴.故选:D.8.已知数列,,,,,,,,,,…,其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数;接下来两项是分子与分母之和为3的有理数,并且从大到小排列;再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数,并且从大到小排列,依次类推.此数列第n项记为,则满足且的n的最小值为()A.47B.48C.57D.58 【答案】C【解析】【详解】将数列分组为(),(,),(,,),(,,,),…,设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上,则,此时数列共有项数为,即得,解得由于,而,故,又,故符合条件的m,的最小值为11,则满足且的n的最小值为,故选:C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设m,n是两条不同直线,是平面,m,n不在内,下列结论中正确的是().A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则【答案】ABC【解析】【详解】A选项,由于,所以存在直线且,由于,所以,所以,所以A选项正确.B选项,垂直于同一个平面的两条直线平行,所以B选项正确.C选项,若,,则存在,,由于,所以,所以C选项正确. D选项,若,,则可能与平行,D选项错误.故选:ABC10.下列不等关系中一定成立的是()A.B.C.,D.,【答案】ABC【解析】【详解】A.因为,所以,故正确B.因为在上递增,则,因为在上递减,则,所以,故正确;C.因为,所以,,故正确;D.当时,,故错误;故选:ABC11.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点(A在第一象限),M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N,则下列说法正确的是()A.的最小值为4B.C.△NAB面积的最小值为6D.若直线AB的斜率为,则【答案】ABD【解析】【详解】由题意知,设直线AB方程,, 联立,可得,,故,则,故当时,的最小值为4,故A正确;又,即M点纵坐标为2m,故,当时,轴,NF在x轴上,此时;当时,,,故,综合可知,,故B正确;又点N到直线AB的距离为,故,当时,取最小值4,故C错误;若直线AB的斜率为,则直线AB方程为,即,则,由于A在第一象限,故解得,故,由于同向,故,故D正确,故选:ABD 12.在棱长为1的正方体中,E,F,G分别为线段,CD,CB上的动点(E,F,G均不与点C重合),则下列说法正确的是()A.存在点E,F,G,使得平面EFGB.存在点E,F,G,使得C.当平面EFG时,三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为D.记CE,CF,CG与平面EFG所成的角分别为,,,则【答案】ACD【解析】【详解】解:如图,以点为原点建立空间直角坐标系,设,对于A,因为平面,平面,所以,又因,所以平面,又平面,所以,当时,,此时,要使平面EFG,只需即可,,则,则,即, 当时,,故存点E,F,G,使得平面EFG,故A正确;对于B,,则,要使,只需要即可,,,,则,故,因为,所以,所以,所以不存在点E,F,G,使得,故B错误;对于C,因为平面EFG,所以,,则,则,所以,要使最大,则,此时, 所以体积之和的最大值为,故C正确;对于D,由B,,则,因为,所以到平面的距离满足,所以,所以,,,所以,故D正确.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,则__________. 【答案】【解析】【详解】.故答案为:14.已知,分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若,,则双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】【详解】不妨假设点P在双曲线右支上,则,由于,,故,故,而, 故,故答案为:15.已知有序数对,满足,有序数对满足,定义,则D的最小值为__________.【答案】##【解析】【详解】对于有序数对,整理得,令,则对于有序数对,整理得,令,则,根据切线的性质,当取最小值时,必有,令,得到,代入,得,故点到直线的距离设为,即的最小值为,则所求的的最小值为故答案为:16.在高为2的直三棱柱中,AB⊥AC,若该直三棱柱存在内切球,则底面△ABC周长的最小值为___________.【答案】##【解析】【详解】因为直三棱柱的高为2,设内切球的半径为,所以,所以, 又因为AB⊥AC,所以设,所以.,因为,所以△ABC周长的最小值即为面积的最小值,而,当且仅当“”时取等.当时,底面△ABC周长最小,所以,所以,所以此时△ABC周长的最小值:.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是公比为2的等比数列,,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,设数列的前n项和,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【小问1详解】因为,,成等差数列,所以,又因为数列的公比为2,所以,即,解得,所以.【小问2详解】由(1)知,则,所以,① ,②①②得.所以.又因为,所以是递增数列,所以,所以.18.在①,②,③.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知锐角三角形的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,__________,且.(1)求角C的值;(2)求a的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【解析】【小问1详解】选择条件①.∵,∴由正弦定理,得. ∵,∴,∴,∴,即,∴.∵,∴,∴.选择条件②.由,得,∴.则由余弦定理,得.∵,∴.选择条件③.∵,∴,结合,得.由正弦定理,得,即.则由余弦定理,得.∵,∴.【小问2详解】∵,∴.∵为锐角三角形,且,∴,∴.又,∴,∴. 由正弦定理,得,∴,∴,∴,即a的取值范围为.19.在底面为正三角形的三棱柱中,平面ABC⊥平面,,.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【小问1详解】证明:因为,,所以,则,所以,即,因为平面ABC∥平面,平面ABC⊥平面,所以平面平面,因为平面平面,所以平面,又平面, 所以;【小问2详解】解:如图,以为原点,,所在直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,设平面的法向量为,则,即,取x=1,则,又因为x轴⊥平面ABC,所以取平面ABC的法向量,所以,由图可知,二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.20.“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断,2017年10月18日,该理论写入中共19大报告,为响应总书记号召,我国某西部地区进行沙漠治理,该地区有土地1万平方公里,其中是沙漠(其余为绿洲),从今年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的改造为绿洲,同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠,设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里.(1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系; (2)判断是否是等比数列,并说明理由;(3)至少经过几年,绿洲面积可超过?【答案】(1)(2)是等比数列,理由见解析.(3)至少经过6年,绿洲面积可超过60%.【解析】【详解】(1)由题意得,所以;(2)由(1)得,∴,所以是等比数列.(3)由(2)有,又,所以,∴,即;,即,两边取常用对数得:,所以,∴.∴至少经过6年,绿洲面积可超过60%. 21.已知椭圆C的焦点坐标为和,且椭圆经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)若,椭圆C上四点M,N,P,Q满足,,求直线MN的斜率.【答案】(1)(2)【解析】【小问1详解】解:由题意可知,c=1,设椭圆方程为,将点代入椭圆方程,得,解得(舍),,所以椭圆方程为.【小问2详解】设,,,,,因为,所以,即,又,都在椭圆上,所以,, 即,②-①得,即……③,又,同理得……④④-③得,所以.22.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当时,方程有两个实根,求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】【详解】解:(1)由题意知函数的定义域为,因为,所以.①当时,在区间上恒成立,所以函数的单调递增区间为,无单调递减区间.②当时,令,得,令,得,所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)方程有两个实根,即关于x的方程有两个实根,即函数有两个零点.又,令,由(1)得t是关于x的单调递增函数,且,所以只需函数有两个零点.令,得,令,则,易知当时,单调递增,当时,单调递减,所以当时,取得最大值.又因为当时,,当时,,,则函数的图象如图所示,所以当,即时,函数有两个零点.所以实数m的取值范围为

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-02-22 10:28:03 页数:22
价格:¥3 大小:1.92 MB
文章作者:随遇而安

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