江西省上高二中等四校2023届高三数学（理）上学期第一次优生联考试卷（Word版含答案）

数学（理）试题2022.11满分150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设非空集合，若，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C2.已知复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】D3.在中，已知，则的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形【答案】B4.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．“十二平均律”是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的2倍．如图，在钢琴的部分键盘中，，，…，这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的（根音），（三音），（五音）三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为（）A.B.C.D.【答案】C5.“角a与β的终边关于直线对称”是“”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C6.已知函数（）的部分图像如图，当时，满足的的值是（）A.B.C.D.【答案】B7.已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且， ，若点在正方形的边上，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C8.已知，均为正数，且，则的最小值为（）A.8B.16C.24D.32【答案】B9.已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（）A.28B.32C.36D.40【答案】C10.过点的两条直线，分别与双曲线：相交于点，和点，，满足，（且）.若直线的斜率，则双曲线的离心率是（）A.B.C.2D.【答案】D11.在四棱锥中，底面是边长为2正方形，平面，且．若点分别为棱的中点，则下列说法错误的是（）A.平面B.直线和直线所成的角为C.过点的平面与四棱锥表面交线的周长为D.当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆【答案】D 12.已知实数，且，为自然对数的底数，则（）A.B.C.D.【答案】D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为______.【答案】214.设，则的展开式中常数项是___________．【答案】15.2022年1月初，河北某区域的“新冠疫情”出现明显反弹，相关部门紧急从H省抽调包括甲、乙在内的七名医疗专家进驻该区域的三个疫情“高风险”地区进行协助防控，要求每个地区至少安排两名专家，则甲、乙两名专家安排在不同地区的概率为_____．【答案】16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB=∠MBA，则AMC的面积为_____________.【答案】三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知有一系列双曲线：，其中，，记第条双曲线的离心率为，且满足，. （1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【小问1】因为，当时，，解得；当时，，两式相减，可得，所以，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以.由题意，得，所以.【小问2】所以，故，得证.18.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，，. （1）求证：平面平面；（2）求平面和平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.小问1】取中点为，连接，，则在等边三角形中，，又因为，，､面，所以面，因为面，所以，又，，所以，，，所以，即，又，､面，所以面，又因为面，所以面面；【小问2】以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则， ，，，由（1）知面的法向量为，设面的法向量为，则，，所以面和面的二面角的余弦值为，所以面和面的二面角为.19.学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表：成绩/分频数40902004001508040（1）求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？（3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望.参考数据：若，则， ，.【答案】（1）82.15分（2）75.5分（3）分布列见解析，【小问1】设这1000份试卷成绩的平均数为，则：分.【小问2】由（1）得，而，由于，即，所以市委宣传部预期平均成绩大约为75.5分；【小问3】由分层抽样得抽取的6份试卷中2份在内，4份在内，的可能取值为0，1，2，则，，即的分布列为：012所以.20.已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线：的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心为G在曲线上. （1）求抛物线C的方程；（2）记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG的面积最小值.【答案】（1）（2）【小问1】解：焦点，显然直线AB的斜率存在，设：，联立，消去y得，，设，，，则，，所以，所以，且，故，即，整理得对任意的恒成立，故，所求抛物线的方程为.【小问2】解： 由（1）知，，，，，，则，又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以，D点到直线AB的距离，，，所以四边形的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形的面积最小值为.21.已知函数，.（1）讨论在内的零点个数.（2）若存在，使得成立，证明：.【答案】（1）一个；（2）证明见解析.（1）当时，，，此时函数无零点；当时，，令，其中，则， 所以，函数在单调递减，所以，，所以，对任意的，，则，所以，函数在上为减函数，因为，，所以，函数在上只有一个零点.综上所述，函数在上只有一个零点；（2）由得，令，，，令，则，当时，，所以，函数在上单调递增，当时，，此时，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，因为，，所以，存在，使得，变形可得， 当时，，当时，.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，，其中，对于函数，，，所以在递减，则，故，所以成立.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；（Ⅱ）过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.（Ⅰ）由题意抛物线E焦点为，所以标准方程为，故极坐标方程为﹔（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为（t为参数），代入，化简得，设所对的参数分别为，则，， 且由，A在E内部，知，得或，所以，当时，解得，当时，解得所以或.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设函数．（1）解不等式；（2）令的最小值为，正数，，满足，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【小问1】解：因为，所以不等式，即或或， 解得或或，综上可得原不等式的解集为.【小问2】解：由（1）可得函数的图象如下所示：所以，即，所以，又，，，所以，当且仅当时取等号，所以.