河北省邢台市部分学校2023届高三数学上学期12月月考试卷（Word版含答案）

高三年级数学试题说明：1.考试时间120分钟，满分150分.2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.第I卷（选择题，共60分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D2.已知非零向量的夹角余弦值为，且，则（）A.2B.C.D.1【答案】A3.已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】C4.已知等差数列的公差不为且成等比数列，则下列选项中错误的是（）A.B.C.D.【答案】D 5.已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B6.如图，圆内接四边形中，，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C7.如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C 8.已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围（）A.B.C.D.【答案】C二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列命题中真命题有（）A.集合，若，则实数的取值集合为B.数列的前项和为，若，则C.若定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，则D.若分别表示的面积，则【答案】CD10.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法错误的是（）A.线段为平面外的线段，若两点到平面的距离相等，则B.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等C.若，则D.若，则【答案】ABC11.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（） A.在方向上的投影向量为B.若，则C.D.的最小值是【答案】ABD12.如图，在菱形中，为的中点，将沿直线翻折到的位置，连接和为的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（）A.面面B.线段长度的取值范围为C.直线和所成的角始终为D.当三棱锥的体积最大时，点在三棱锥外接球的外部【答案】AC第II卷（非选择题，共90分）三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________________．【答案】14.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为，且，，，、分别为、的中点，则与所成角的余弦值为__________.【答案】15.已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为__________.【答案】##16.如图，在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是__________.【答案】四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别是，满足，，过作于点，点为线段的中点.（1）求；（2）求的值. 【答案】（1）（2）【小问1详解】依题意，解得【小问2详解】由余弦定理得，，解得，所以.18.已知数列的前项和为，等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和.【答案】（1），（2）【小问1详解】当时，；当时，，当时也符合，所以. 由题意，，设等差数列的公差为d，则，，故.综上，【小问2详解】由（1）知：，∵∴①②∴得：即：，∴.19.为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.（1）类比此解法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，求此四面体的体积；（2）已知对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.小明同学在研究等腰四面体（设）时，给出如下结论：①等腰四面体的外接球半 径为；②等腰四面体的四个面可以都为直角三角形.聪明的同学们，你认为小明同学研究的结论正确吗？给出理由.【答案】（1）24（2）①正确；②错误；理由见解析【小问1详解】如图，长方体中的四面体是对棱相等的四面体，其中，，，设，，，则，解得：，，，则，【小问2详解】设长方体同一顶点的三条棱长分别为，由（1）可知，，即，等腰四面体的外接球就是所在长方体的外接球，所以，则，故①正确； 假设4个面都是直角三角形，设，则是直角三角形和的斜边，取的中点，连结，则，那么，三点共线，此时，不能构成四面体，所以等腰四面体的四个面不能都是直角三角形，故②错误.20.已知椭圆的左､右顶点分别，上顶点为，的长轴长比短轴长大4.（1）求椭圆的方程；（2）斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点（异于点），且，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）（2）证明过程见详解【小问1详解】由题意知：，因为为锐角，故， 由题意知：，解得：，故椭圆方程为.【小问2详解】根据题意，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立可得：，则，即.设，则，.因为，根据向量加法与减法的几何意义可得：，则，因为，所以，也即，整理化简可得：， 解得：或，此时均满足，当时，直线的方程为，过定点；当时，直线的方程为，过定点，此时定点与点重合，故舍去，综上，直线恒过定点，定点坐标为.21.如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；（2）当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）总有平面平面，证明详见解析（2）（3）存在，是的中点，理由见解析.【小问1详解】折叠前，因为四边形是菱形，所以， 由于分别是边，的中点，所以，所以，折叠过程中，平面，所以平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小问2详解】当平面平面时，四棱锥体积最大，由于平面平面，平面，，所以平面，由于平面，所以，由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知，设平面的法向量为，则，故可设，所以到平面的距离为.【小问3详解】存在，理由如下：，，设，则，平面的法向量为，，设平面的法向量为， 则，故可设，设平面与平面所成角为，由于平面与平面所成角余弦值为，所以，解得或（舍去），所以当是的中点时，平面与平面所成角的余弦值为.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）单调性见解析（2）【小问1详解】由题意知：的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增；当时，令有，故当，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】当时，，；，；恒成立，不合题意；当时，取，，则，符合题意；当时，若，，使得，则；由（1）知：；，，在上单调递增，，，即，，解得：；综上所述：实数的取值范围为.