湖南省联考2022-2023学年高一数学上学期12月月考试卷（Word版含解析）

2022年秋季高一12月联考数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】解：因为，所以，，故选：A.2.设甲：，乙：已知函数在上单调递增，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】∵在上单调递增，由的对称轴为，开口向上，∴，即，故甲是乙的充分不必要条件.故选：A.3.将化成的形式是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【详解】.故选：D.4.下列函数与函数是同一个函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【详解】的定义域为，而的定义域为，故A错误；的定义域为，故D错误；，与对应关系不一致，故C错误；，定义域为，与对应关系一致，B正确.故选：B.5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以,故选：B.6.函数的零点一定位于区间（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【详解】解：，又因为函数在区间上都是增函数，所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.故选：C.7.为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，）（）A.2030年B.2029年C.2028年D.2027年【答案】B【解析】【详解】设经过年之后，投入资金为万元，则，由题意可得：，即，所以，即，又因为，∴，即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故选：B．8.已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【详解】当时，函数上单调递增，，当时，函数，当且仅当时取等号，函数的大致图象，如图，令，观察图象知，当时，方程有一个根，当时，方程有两个不等根，函数有三个零点，等价于函数有两个零点，并满足，而函数对称轴为，于是得，解得，所以的取值范围为.故选：D二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.角为第一象限或第三象限角的充要条件是B.终边在轴上的角的集合为C.若是第三象限角，则是第二象限或第三象限角D.用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关【答案】AB【解析】 【详解】对于，当角为第一象限角时，，则；当角为第三象限角时，，则，所以若角为第一象限或第三象限角，则.因为，即且，或且，当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，所以若，则角为第一或第三象限角,所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故正确；对于B,终边在轴上的角的集合为,即，即，正确；对于，若是第三象限角，即，则，当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角，则是第二象限或第四象限角，故C错误；对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D不正确，故选：10.下列各式正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【详解】，故选项正确； ，故B选项错误；，故C选项正确；对于，故D选项错误.故选：AC.11.“双11”购物节中，某团购平台对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：①若购物总额不超过50元，则不给予优惠；②若购物总额超过50元但不超过100元，则可以使用一张15元优惠券；③若购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予8折优惠，④若购物总额超过300元，其中300元内的按第③条给予优惠，超过300元的部分给予7折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（）A.若购物总额为66元，则应付款为51元B.若应付款为208元，则购物总额为260元C.若购物总额为360元，则应付款为252元D.若购物时一次性全部付款为380元，则购物总额为500元【答案】ABD【解析】【详解】对于A，若购物总额为66元，满足购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张15元优惠券，则应付款51元，故A正确；对于B，若应付款为208元，则购物总额超过100元但不超过300元，所以购物总额为元，故B正确；对于C，若购物总额为360元，购物总额超过300元，则应付款为元，故C错误；对于D，若购物时一次性全部付款380元，说明购物总额超过300元，设购物总额为元，则，解得元，故D正确.故选：ABD.12.已知，则（） A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【详解】因，即，则分别为函数与图象交点的横坐标，而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出的图象，如图，由图知，点与关于直线对称，于是得，，A正确；，则，B正确；，C错误；，D正确.故选：ABD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知，则___________.【答案】##【解析】【详解】因为,所以，由，故，即，而，则，所以，故答案为：14.设，则___________.【答案】##【详解】因为，所以，所以，所以,故答案为：.另解：由可得，所以，则,故答案为：.15.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为___________. 【答案】【解析】【详解】解：，则，即，当时，；当时，；当时，；当时，，综上，函数的值域为.故答案为：.16.北京时间2022年9月24日晚，在2022年世界赛艇锦标赛女子四人双浆决赛中，东京奥运冠军组合崔晓桐､吕扬､张灵､陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2019年世锦赛后为中国队实现该项目的成功卫冕，赛艇是一种靠浆手划浆前进的小船，分单人艇､双人艇､四人艇､八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但形状相似.根据相关研究，比赛成绩t（单位：min）与奖手数量n（单位：个）间的关系为（为常数且）.已知在某次比赛中单人艇2000的比赛成绩为7.21，由于比赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67min的比赛成绩但不清楚属于哪一艇种，推断该比赛成绩所属的艇种最有可能是___________（从“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可）；若已知比赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为___________（结果保留两位小数，参考数据：，，）.【答案】①.双人艇②.【解析】【详解】由已知得，当时，，代入解得，当时，， 故该比赛成绩所属的艇种最有可能是双人艇；当时，，故在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为.故答案为：双人艇；四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.）17.已知集合.（1）求；（2）若且，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【小问1详解】由题意，则，解得，所以，又，所以.【小问2详解】因为，，即，所以，所以，解得，即实数的取值范围时.18.已知函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（注： 是自然对数的底数）（1）求该函数的解析式并判断其奇偶性；（2）若实数满足不等式，求实数的取值范围.【答案】（1），函数为偶函数.（2）.【解析】【小问1详解】由题意函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.，故在时，递增，又此时递减，故需满足，由知，，而无限接近直线但又不与该直线相交，则，又,解得，，因为的定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数.【小问2详解】当时，，设，则，因为，所以，则，所以，故函数在上单调递增.原不等式可化为， 因为函数为偶函数，，则有，又函数在上单调递增，则有，两边平方，得，即，解得，即实数的取值范围为.19.已知，其中为奇函数，为偶函数.（1）求与的解析式；（2）判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.【答案】（1），（2）函数在区间上单调递增，证明见解析【解析】【小问1详解】由于函数为奇函数，为偶函数，可得，，因为，所以，即，解得，.【小问2详解】的定义域为，，且， 则.所以，即，所以函数在区间上单调递增.20.已知函数（1）试讨论方程实数解的个数，其中；（2）若方程的实数解有3个，分别记为，其中，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【小问1详解】由基本不等式，时，，当，即时等号成立；时，，当，即时等号成立.令，则..画出的图像与直线，如图. 由图像可知，当，即时，有1个解；当或，即时，有2个解；当，即时，有3个解.【小问2详解】由（1）知，当时，有3个解，根据图像以及3个解的大小关系，有，其中，对于，已知，解得，则，故，即的取值范围为.21.物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为T，则，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为20，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到100，8点18分时，壶中热水自然冷却到60.（1）求8点起壶中水温T（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；（2）若当日小王在1升水沸腾（100）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态， 已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50时，开始加热至80后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：）【答案】（1）（2）27分钟后养生壸（在保温状态下）第二次开始加热【解析】【小问1详解】当时，设，代入，，解得，则，由题意，代入，，，得，所以.【小问2详解】若从降温至，由题意有，代入，计算得分钟，故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热；从加热至需要分钟，从降温至，，代入，，，可得 ，计算得分钟，则共需要分钟，故27分钟后养生壸（在保温状态下）第二次开始加热.22.已知函数.（1）当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；（2）当时，解不等式；（3）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.（2）.（3）或.【解析】【小问1详解】当时，,故在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.【小问2详解】当时，，记,则，故为奇函数，且在上单调递增，不等式化为， 即，即，即，从而由在上单调递增，得，即，解得，故不等式解集为.【小问3详解】设，则问题转化为存在，使得，又注意到时，，且，可知问题等价于存在，即在上有解.即在上有解，于是或在上有解，进而或在上有解，由函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，可知，故的取值范围是或.