四川省成都市第七中学2022-2023学年高一数学上学期12月月考试题（Word版含解析）

成都七中2025届高一上12月考试数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，若，则的取值范围为（）A.BC.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件结合不等式恒成立即可求出a的范围判断作答.【详解】集合，，因，于是得，因此有，所以的取值范围是.故选：A2.命题“，使”的否定是A.，使B.，使C.，使D.，使【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.【详解】命题“，使”的否定是“∀x，x2﹣3x+1<0”,故选C.【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.3.函数的定义域是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由分式及对数成立的条件可得，解不等式可求答案． 【详解】由题意可得，解不等式可得，﹣1＜x≤1∴函数的定义域为（﹣1，1]故选C.【点睛】本题考查了含有对数与分式的函数的定义域的求解，是基础题．4.已知，则的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a,b,c的范围，然后比较其大小即可.详解：由指数函数的性质可知：，，，且，，据此可知：，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5.设函数，用二分法求的一个近似解时，第步确定了一个区间为，到第步时，求得的近似解所在的区间应该是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用二分法可得出结果.【详解】，，，第步所得零点所在区间为；取区间的中点，，因此，第步求得的近似解所在的区间应该是.故选：C.【点睛】本题考查利用二分法求方程近似解所在区间，解题的关键就是要熟悉二分法求解函数零点所在区间的基本步骤，考查计算能力，属于基础题.6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数与且在同一坐标系中的图象大致是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据参数对于指数函数与对数函数图象的影响，逐项检验，可得答案.【详解】对于A，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递增，故B错误；对于C，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递减，故C正确；对于D，由指数函数的图象，可得，则，即函数在上单调递减，故D错误；故选：C.7.已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性以及单调性整理不等式，可得答案.【详解】由偶函数的图象经过点，即，则，且，由当时，不等式恒成立，即，，则函数在上单调递减，故，，，，，或，解得，故选：B.8.设，其中．若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则的取值范围为A.RB.C.D.【答案】D【解析】 【详解】设，，因为设，对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，∴函数必须为连续函数，即在x=0时，两段的函数值相等，∴(3−a)2=a2−k，即−6a+9+k=0，即k=6a−9，且函数在y轴两侧必须是单调的，由条件知二次函数的对称轴不能在y轴的左侧即，且两个函数的图象在轴上交于同一点，即，，所以，在上有解，从而，故答案为D.考点：二次函数的图象和性质.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得分.9.已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】由正数，，结合基本不等式依次判断选项，即可得结果.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，，，当且仅当时，等号成立，故D错误；故选：ABC10.关于的方程有两个大于的实数根的充分条件可以是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】由一元二次方程根的分布列式求解，再由充分条件的概念判断，【详解】设，若的方程有两个大于的实数根，由，解得，故，满足题意，故选：AB11.已知函数两个零点分别为，且，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性，可得答案.【详解】函数的两个零点即函数与的图象的两个交点 的横坐标，作出两个函数的图象，如下图：则，，即，，故D错误；由图可知，且，，则，由，，则，即，可得，即，故A、C正确，B错误.故选：AC.12.已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.【详解】由于，，，，，即函数的定义域为当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故C正确；当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故D正确；即当时，函数的值域也为，故，故B正确；当时，函数值，故A错误；故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出 函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知_____________．【答案】【解析】【分析】令，求出后可求的值.【详解】令,则,所以.故答案为：.【点睛】本题考查复合函数中外函数的函数值，可用整体思想来处理即令，求出的值可得，本题属于基础题.14.给出下列结论：①函数为偶函数；②的值域是；③已知幂函数的图像经过点，则的值为2；④函数的图象过定点；其中正确的序号是___________.【答案】①③④【解析】【分析】对于①，根据偶函数的定义，可得答案；对于②，根据二次函数的性质，可得答案；对于③，利用待定系数法求函数解析式，可得答案；对于④，根据指数函数性质，可得答案.【详解】对于①，由函数，易知其定义域为，且，则函数为偶函数，故①正确；对于②，由函数，易知该函数为开口向上且对称轴为轴的二次函数，则在上单调递减，在上单调递增，即在上，，，故函数在上的值域为，故②错误；对于③，由幂函数定义，可设，由函数经过，则，解得， 即，，故③正确；对于④，由函数，则，故④正确.故答案为：①③④.15.已知函数，则该函数的单调递增区间为___________.【答案】或者填【解析】【分析】求出函数的定义域，根据幂函数、对数函数、二次函数的单调性，结合复合函数的单调性即可求解．【详解】，解得，故函数f(x)的定义域为．在时单调递增；在时单调递减；在时单调递增，在时单调递减，故根据复合函数的单调性可知f(x)在上单调递增．故答案为：16.若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是_________.【答案】【解析】 【分析】令，讨论的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大值与最小值，使且恒成立，进而确定的取值范围以及的取值范围，即求.【详解】令I.当时，函数显然单调递增，所以，，由题意可得，这与矛盾，故舍去；II，当时，在单调递减，单调递增，①.当时，即，所以，由题意可得，这与矛盾（舍去）.②．当时，即，所以，，由题意得，a.当时，此时，所以 ，故，而，故，b.当时，此时，所以，故，而，故.③．当时，即，所以，，由题意可得，这与矛盾，综上所述：.故答案为：【点睛】本题考查了对勾函数的单调性、利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.四､解答题：本大题共6个题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则，可得答案；（2）根据对数运算法则，可得答案.【小问1详解】 原式；小问2详解】原式.18.函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在定义域上的单调性.【答案】（1）为奇函数，证明见解析；（2）在上为减函数，证明见解析.【解析】【分析】（1）由奇偶函数的定义即可证明；（2）由函数单调性的定义即可证明.【小问1详解】为奇函数，，定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数.【小问2详解】在上为减函数，，任取且，则 ，即.因此，函数在上为减函数.19.习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动".为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为（为自然对数的底数，为污染物的初始含量）.过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的.（1）求函数的关系式；（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少需过滤几小时？（参考：）【答案】（1）（2）至少需过滤30小时【解析】【分析】（1）根据题意，利用函数模型，建立方程，求得答案；（2）由题意，建立不等式，根据对数运算，可得答案.【小问1详解】根据题意，得，解得.【小问2详解】由，得，两边取以10为底的对数，并整理，得，又，即.因此，至少需过滤30小时.20.已知函数,（Ⅰ）若函数在上有最大值，求实数的值;（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）由题，，令，转化为关于的二次函数求参数范围（Ⅱ）由（Ⅰ），令，因为函数在上有且只有一个零点，所以的图像在上与轴只有一个交点，进而得到答案．【详解】（Ⅰ）由题，因为所以令，对称轴为当时，解得（舍）当时，，解得所以（Ⅱ）由（Ⅰ），令，对称轴为因为函数在上有且只有一个零点，所以的图像在上与轴只有一个交点所以，解得或者即，整理解得当时，与轴有两个交点，故舍综上或【点睛】本题考查函数的综合应用，解题的关键是得出，函数有 一个零点即函数图像轴只有一个交点，属于一般题．21.已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）若对于任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由偶函数的定义即可求得；（2）分离常数，利用单调性求的范围即可.【小问1详解】因为函数是偶函数、则满足，所以即，所以，解得.【小问2详解】由（1）可知，，对于任意恒成立，代入可得，所以对于任意恒成立，令，因为，所以由对数函数的图像与性质可得，所以.22.已知函数，其中为实数． （Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）对于给定的负数，若存在两个不相等的实数（且）使得，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或；（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知当时，，分别讨论该函数在各段上的最小值和区间端点值，进而求出在整个定义域上的最小值；（Ⅱ）因为在上为增函数，分，，三种情况讨论即可（Ⅲ）因，则在上为减函数，在上为增函数，所以，令，分，两种情况具体讨论即可．【详解】解：(Ⅰ)当时，所以当时有最小值为；当时，由得，所以当时，函数的最小值为（Ⅱ）因为在上为增函数，若，则在上为增函数，符合题意；若，不合题意；若，则，从而 综上，实数的取值范围为或．（Ⅲ）因为，则在上为减函数，在上为增函数，所以，令1、若，则，由知且所以令，则在，上为增函数，在，上为减函数(1)当时，且,则在，上为增函数，在，上为减函数从而当且所以或(2)当时，且,则在，上为增函数，在上为减函数从而当且所以或(3)当时，且,则在，上为增函数，从而当且 所以或2、若，则，且因为综上所述，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．【点睛】本题考查函数的综合应用，包括求最值，单调性，分类讨论思想等，属于偏难题目．