皖豫2022-2023学年高一数学上学期12月阶段性测试（二）试卷（Word版含解析）

皖豫名校2022-2023学年（上）高一年级阶段性测试（二）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若关于x的不等式的解集是，则（）A．B．C．D．13．若p：，则p成立的充分不必要条件可以是（）A．B．C．D．4．已知函数，是的反函数，则（）A．10B．8C．5D．25．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．函数的图象大致为（）A．B． C．D．7．已知函数的值域为，且满足，若在（）上的值域为，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．48．已知函数若方程有三个不等的实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的是（）A．函数是减函数B．“至少有一个整数x，使得是质数”是存在量词命题C．，D．命题p：，的否定是：，10．已知，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则11．若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（）A．B．C．D．12．已知函数，则（） A．不等式的解集是B．C．存在唯一的x，使得D．函数的图象关于原点对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合，则________．14．已知函数，若，则实数a的取值范围是________．15．若函数的最小值为，则实数a的值为________．16．若，不等式恒成立，则实数k的取值范围是________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）化简下列各式：（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（12分）已知集合A是函数的定义域，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求实数a的取值范围．19．（12分）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理，某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度，k，均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变．（Ⅰ）若，求过滤2h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少；（Ⅱ）若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%，前4h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%，求至少还需要过滤多少小时才能排放．20．（12分）已知，且． （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）判断函数的奇偶性并加以证明；（Ⅱ）若关于x的不等式有解，求实数t的取值范围．22．（12分）已知二次函数满足，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）已知，讨论在上的最小值；（Ⅲ）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 皖豫名校2022—2023学年（上）高一年级阶段性测试（二）数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案D解析，故．2．答案A解析不等式的解集是，可得，，则．3．答案A解析由，即，解得，则成立的充分不必要条件可以是．4．答案C解析因为函数，所以，所以，，．5．答案B解析∵为幂函数，∴，∴，则的定义域为，并且在定义域上为增函数．由得解得．6．答案C解析由题可知的定义域为，，所以为奇函数，排除A，D．因为，排除B，故选C．7．答案D解析由，可得，，所以．因为的值域为，所以，可得，故．令，解得或．所以m最小为，n最大为3，则的最大值为 4．8．答案B解析作出函数的大致图象如图所示．由可得．由图可知，方程有两个不等的实根，由题意可知，方程有且只有一个实根，故或，解得或．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案ABD解析对于A，，是减函数，所以A正确；对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在量词命题，所以B正确；对于C，，，所以C错误；对于D，命题p：，的否定是：，，所以D正确．10．答案BC解析对于A，若，令，，则，，，故A错误；对于B，显然，则，则，故B正确；对于C，因为，所以，所以，同理可得，即，故C正确；对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误． 11．答案BD解析对于A，在上是增函数，当时，，故A错误；对于B，在上单调递增，当时，，故B正确；对于C，在上单调递减，当时，，故C错误；对于D，在上单调递增，当时，，故D正确．12．答案BD解析对于A，不等式即，又在上单调递减，所以，解得，A错误；对于B，由得，，又，所以，B正确；对于C，因为，所以，所以不存在，使得，C错误；对于D，，故是奇函数，其图象关于原点对称，D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案解析由题可知，．14．答案解析易知函数在上单调递增，且．即，所以，．15．答案解析由题可知，解得 ．．∵，∴．∵的最小值为，∴，，即，得，即．16．答案解析不等式对任意恒成立，且，∴．当时，不等式恒成立等价于对于任意恒成立．令，则，由对勾函数性质易得在时，单调递增，故，∴，与矛盾，故此时k不存在．当时，不等式恒成立等价于对于任意恒成立，当时，显然成立，当时，不等式等价于对于任意恒成立，令，则，由对勾函数性质易得在时，单调递减，故，∴．综上，．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解（Ⅰ）原式（3分）．（5分）（Ⅱ）原式（7分） ．（10分）18．解（Ⅰ）由题可知，即，解得，所以．（2分）若，则．（4分）所以．（6分）（Ⅱ）当，即时，，符合题意；（8分）当，即时，有解得．（10分）综上所述，实数a的取值范围为．（12分）19．解（Ⅰ）过滤2h后，，所以污染物的浓度与初始浓度的比值是．（4分）（Ⅱ）由题意知，前4h消除了80%的污染物，又因为，所以，所以．（7分）设废气中污染物的浓度为初始浓度的4%时所需过滤时间为，由，即，得，所以，（10分）故至少还需过滤才能排放．（12分）20．解（Ⅰ）（3分） ，当且仅当时取等号，所以．（6分）（Ⅱ）由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，（8分）∴，同理，，由题可知上述三式等号不能同时成立．（10分）∴，即原不等式得证．（12分）21．解（Ⅰ）函数为奇函数．（1分）证明如下：易知的定义域为，因为，（3分）所以为上的奇函数．（4分）（Ⅱ），是奇函数且在定义域上单调递增．（5分）不等式有解即有解，由的奇偶性可知进一步等价于有解，由的单调性可知进一步等价于有解，即不等式有解．（8分）因为，所以，， 所以的取值范围是，（10分）所以，即，所以实数的取值范围是．（12分）22．解（Ⅰ）设，因为，所以，则（1分）因为，所以解得（3分）故．（4分）（Ⅱ）．当，即时，在上单调递减，所以；（6分）当且，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；（7分）当时，在上单调递增，所以．综上，当时，；当时，；当时，．（8分）（Ⅲ）不等式可化简为．因为，所以． 要使时，恒成立，显然时不可能．（10分）当时，函数单调递增，故解得．综上可知，实数的取值范围为．（12分）