沪科版九下第24章圆24.2第2课时垂径分弦课件

第2课时垂径分弦24.2圆的基本性质第24章圆 视频引入点击视频开始播放→ 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 垂径定理及其推论合作探究问题1在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？O圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线. 问题2已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.求证：AE=EB，，.证明：连接OA，OB，则OA=OB.∵CD⊥AB，∴OE⊥AB.∴OE平分AB，即CD垂直平分AB．∴点A与点B关于直线CD对称.·OABDEC分析：只要能说明⊙O关于直线CD对称，那么所有结论都能得证. 同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于另一点Q，则点P与点Q也关于直线CD对称．∴⊙O关于直线CD对称.∴AE=EB，，.P·OABDECQ 垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要会相互转化，形成整体，才能运用自如.归纳总结∴AE=BE，， 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么.是不是，因为没有垂直是不是，因为AB，CD都不是直径OABCABOEABDCOEABOCDE 垂径定理的几种基本图形：ABOCDEABOEDABODCABOC归纳总结 如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.(1)CD⊥AB吗？为什么？(2)与相等吗？与相等吗？为什么？·OABCDE解：(1)CD⊥AB，理由如下：连接AO，BO，如图，则AO=BO.又∵AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°，即CD⊥AB.(2)由垂径定理可得=，=. 思考：“不是直径”这个说明能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结 例1如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离.·OABE解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，则又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，垂径定理及其推论的计算典例精析答：圆心到弦AB的距离是4cm.圆心到弦的距离叫做弦心距 【变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=cm.·OABE解析：连接OA，如图.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=2×8=16（cm）.16∴ 例2如图，⊙O的弦AB=8cm，直径CE⊥AB于D，DC=2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA．∵CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=(x－2)cm.根据勾股定理，得解得x=5.即半径OC的长为5cm.x2=42+(x－2)2， 例3已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：=..MCDABON证明：作直径MN⊥AB，如图.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则=，=.（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）∴－=－.∴=. 解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结 例4赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.垂径定理的实际应用 由垂径定理，得AD=AB=18.7m，设⊙O的半径为R.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7.由勾股定理，得ABOCD解得R≈27.9.即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.∴R2=(R-7.2)2+18.72，解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交于点C，交AB于点D，则CD=7.2m. 练一练：如图a、b，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿___＿＿____.CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm 在圆中解决有关弦长a，半径r，弦心距d(圆心到弦的距离)，弓形高h的计算问题时，常常通过连半径或作弦的垂线段构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.垂径定理中常见辅助线的添法弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间的关系：弓形中的重要数量关系d+h=rOABC·归纳总结ABCDOhrd 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为cm.52.已知⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°，则弦AC=cm.3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为cm.14或2 4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∵∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB，∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.∴ 5.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD相等吗？为什么？解：AC=BD.理由如下：过点O作OE⊥AB，垂足为E.则AE=BE，CE=DE.∴AE－CE=BE－DE，即AC=BD..ACDBOE方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径． 解：连接OC，如图.●OCDEF┗根据勾股定理，得6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的，点O是的圆心)，其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.设这段弯路的半径为Rm，则OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=300(m). ●OCDEF┗解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.∴6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的，点O是的圆心)，其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径. 拓展提升：7.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是.3≤OP≤5BAOP 垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（知二推三）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧两种辅助线：连半径；作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程基本图形及变式图形