沪科版八下第16章二次根式16.1第1课时二次根式的概念课件

16.1二次根式第1课时二次根式的概念第16章二次根式 下面来看某运动员在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.情景引入 通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的面部特征，那么数学的特征是什么呢？“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”——中科院数学与系统科学研究院李邦河 复习引入问题1什么叫做平方根?一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2什么叫做算术平方根?怎么表示它？如果x2=a(x≥0)，那么x称为a的算术平方根，用表示.问题3什么数有算术平方根?非负数. 思考用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2，则边长为_____m；若面积为Sm2，则边长为_____m．(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．图图 (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为．_____ 问题1这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．①根指数都为2；②被开方数为非负数.问题2这些式子有什么共同特征？二次根式的概念及有意义的条件 归纳总结两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数(式)a≥0一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.注意：a可以是数，也可以是式. 例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式，一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析 例2当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.故当x≥2时，在实数范围内有意义.【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1. 解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.归纳 【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.被开方式是多项式时，需要对多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳 (2)多个二次根式相加(如)有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母(如)有意义的条件：A＞0；(4)二次根式与分式的和差(如)有意义的条件：A≥0且B≠0.归纳总结(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0； 1.下列各式：.一定是二次根式的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______；(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______________.x≥1x≥0且x≠2练一练 问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为任意实数，后者x为非负数.当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.问题2对于非负式a，它的算术平方根，即二次根式的取值范围是什么？二次根式的双重非负性 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：二次根式的被开方数或式非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结 例3若，求a-b+c的值.解：由题意可知a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得a=2，b=3，c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式.归纳典例精析 例4已知y=，求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3．∴y=8．∴3x+2y=3×3+2×8=25．∴3x+2y的算术平方根为5． 【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3.∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．若，则根据被开方式大于或等于0，可得a=0，y=b.归纳 已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9.∴x+4y的平方根为±3.练一练 2.式子有意义的条件是（）A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为____．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA-10 4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义? 5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围；解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，解得m≥2，且m≠-2，且m≠2，∴m＞2．(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0对任意实数x恒成立，即(x+3)2+m-9≥0对任意实数x恒成立.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9. 6.若x，y是实数，且y＜，求的值.解：根据题意得∴x=1.∵y＜，∴y＜.∴. 7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得解得x≥1或x≤0.即当x≥1或x≤0时，有意义.能力提升： 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意得则解得x≥2或x＜．即当x≥2或x＜时，有意义． 二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且≥0