湖北省沙市中学2022-2023学年高二数学上学期期末试卷（Word版带答案）

2022-2023学年度上学期2021级期末考试数学试卷考试时间：2023年1月2日一、单选题：1．方程(2x＋3y)(2x3y)＝0表示的图形是(　　)A．两条直线B．双曲线C．一个点D．一条直线和一条射线2．已知正方体的棱长为1,以为原点,为单位正交基底,建立空间直角坐标系,则平面的一个法向量是（）.A．B．C．D．3．方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（    ）A．B．C．D．4．已知点，，则的最小值为(    )A.B.27C.D.125．设直线与圆交于点，以线段上一点为圆心作一个圆与圆相切，若切点在劣弧上，则圆的半径最大值为(　)A.B.C.D.6．若抛物线图象上一点到直线距离的最小值为，则(　)A．B．8C．8或D．7．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，∠，其双曲线的离心率为A.B.C.D.8．已知圆方程为，将直线：绕逆时针旋转到的位置，则在整个旋转过程中，直线与圆的交点个数（）A．始终为0B．是0或1C．是1或2D．是0或1或2二、多选题：9．下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角越大，其斜率就越大B.斜率相等的两直线的倾斜角一定相等C.直线的斜率为，则其倾斜角为D.经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：10．已知曲线，则下列命题中的真命题是（） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线11．如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（    ）A．B．平面C．D．12．已知抛物线的焦点为,准线为,过点且斜率大于0的直线交抛物线于两点(其中在的上方),为坐标原点,过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线,点,点A、B在准线上的投影分别为点H和点D，则(　)A．若,则直线的斜率为B．C．D．若是线段的三等分点,则直线的斜率为三、填空题：13．已知直线的系数中，有两个正数，一个负数，则该直线一定经过第______象限．14．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，实数k＝___________.15．过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于．16．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的右顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则正实数的值为． 四、解答题：17．已知直线，.(1)当直线在x轴上的截距是它在y上的截距2倍时，求实数的值；(2)若，实数的值．18．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．19．如图，四边形为等腰梯形，，将沿折起，为的中点，连接.若图2中，（1）求线段的长；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，∠∠，侧面底面．若 （1）若分别为的中点，求直线与所成的角；（2）为线段上一点，若平面与平面所成角的余弦值，求的值．21．已知抛物线，(1)经过点作直线，若与抛物线有且仅有一个公共点，求的方程；(2)设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，的中点为，若，求的面积．22．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为.(1)求双曲线C的标准方程.(2)若双曲线的焦点在轴上，点为双曲线上两个动点，直线的斜率满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.高二年级期末考试数学答案题号123456789101112答案ADAACBDBBDACDABCACD 13．一14．115．16．17．（1）∵在两坐标轴都有截距，∴且令可得，令可得∴，解得或（2）∵，∴，解得或当时，，两直线重合当时，，两直线平行综上，的值为18．（1），直线的斜率为又中点，方程为：即：………………………………………………………5分（2）依题意，圆心在上设，则，且直线方程为∵，由勾股定理，∴………………7分∵点到的距离∴或……………………………………10分故圆的方程为：或………………12分19．（1）解：∵为中点，，，∴在图中，，∴四边形为平行四边形，∴，在为直径的圆上，，又图2中，，平面，∴，由勾股定理得.（2）取中点，连接，易得两两垂直，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， ∴，，设为平面的一个法向量，则，即，取，有.，∴直线与平面所成的角的正弦值为.（其他解法也对应给分）20．(1)解：由∠得，而平面平面，平面平面，平面∴平面而由，∠可得因此可以以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系。不妨设，有，，，∵分别为中点，∴，∴，∴（2）设，有，，设平面的一个法向量，有，即取，有，，而是平面的一个法向量∴，记，有，∴，即,解得或（舍）所以21．(1)由图象可知，直线不会垂直于轴（此时与无公共点）因此，可设的方程为由得当时，解得唯一交点，此时直线方程为 当时，，解得或1对应方程为与即与综上：的方程是或或(2)设，直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，，得，，．所以，所以，又抛物线的准线为，所以，，整理得，解得或（舍）．则．22．（1）因为两渐近线夹角为，所以渐近线为或①若渐近线为，设双曲线方程为，将代入可得，即双曲线方程为②若渐近线为，设双曲线方程为，将代入可得，即双曲线方程为综上：双曲线的标准方程为或（2）解法1：①当直线的斜率不存在时，则可设，代入，得，则，即，解得或，当时，过点，不合题意；当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，整理得，，设， 则，由，所以所以，，即,整理得即，所以或，若，则，直线化为，即，过定点；若，则，直线化为，即，它过点，舍去综上，直线恒过定点（2）解法2：∵双曲线焦点在轴上，由（1）可得方程为以为坐标原点，重建坐标系，此时曲线的方程为可化为设的方程为，代入上式得因为横坐标不会为0（不与重合），所以上式除以，可得记，有整理得所以，可得可得在新坐标系下，直线经过定点 还原到原始坐标系，定点坐标为