北京师范大学附属中学2022-2023学年高一数学上学期期末试卷（Word版带解析）

2022-2023学年北师大高一上数学期末试卷一、单选题（本大题共8小题，共40．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.【详解】由解得，所以，由解得，所以，所以，故选:B.2.已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不 符，故不符合题意；B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；D是函数图象，值域为，故不符合题意.故选：B3.单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，从而得到，结合诱导公式求出答案.【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，所以， 所以， 其中，，即点的坐标为：．故选：D．4.不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.【详解】不等式，∴，即．∴或，解得：或，∴解集是．故选：B．5.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A.B.C.D.120【答案】A【解析】【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为步，（平方步），设扇形的圆心角为，则，即．故选：A6.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.【详解】因为，， ，所以．故选：A7.已知函数，则函数的减区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得的定义域，然后根据复合函数同增异减确定的减区间.【详解】由解得或，所以的定义域为.函数的开口向上，对称轴为，函数在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.故选：C8.已知实数，且，则的最小值是（）A.21B.25C.29D.33【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵，等式恒成立，∴，由于，所以∵，当且仅当时，即时取等号． ∴，∴，故的最小值为21．故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20．在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）A.，B.存在，使得C.至少有一个无理数，使得是有理数D.有的有理数没有倒数【答案】ACD【解析】【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假.【详解】对于A.命题是存在量词命题，所以，使，所以A是真命题，故A正确；对于B．对应方程，，方程无解，故B错误；对于C．命题是存在量词命题，，使得是有理数，所以C是真命题；对于D．有理数0没有倒数 ，故D正确；故选:ACD．10.下列说法正确的是（）A.若，则为第一象限角B.将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是C.终边经过点的角的集合是D.在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为【答案】BC【解析】【分析】A选项，根据同号，确定角所在象限；B选项，顺时针转动了30°，故B正确；C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D选项，由扇形面积公式进行求解【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故A错误；B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是，故B正 确；C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，C正确；D选项，扇形面积为，故D错误．故选：BC．11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.是偶函数B.在上单调递增C.的值域为RD.当时，有最大值【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A正确；B选项，先求出在上均单调递减，结合奇偶性得到B正确；C选项，由在和上的单调性结合奇偶性得到的值域，C错误；D选项，根据在上的单调性得到最大值.【详解】对于A，由得函数定义域为，所以．由，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；对于B，当且时，函数，该函数图象可由函数图象向右平移2个单位得到，所以函数在和上均单调递减， 由偶函数性质，可知在上单调递增，故B正确；对于C，由B可得，当且时，函数在和上均单调递减，所以该函数在的值域为；又因为函数为偶函数，且，所以在其定义域上的值域为，故C错误；对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值为，故D正确．故选：ABD．12.如图所示，边长为2的正方形ABCD中，O为AD的中点，点P沿着的方向运动，设为x，射线扫过的阴影部分的面积为，则下列说法中正确的是（）A.在上为减函数B.C.D.图象的对称轴是【答案】BC【解析】【分析】当点在的中点时，此时，即可判断B，根据阴影部分的面积变化可知的单调性，进而可判断A，根据面积的之和为4，可判断对称性，进而可判断CD.【详解】对于A选项，取的中点为，当时,点在 之间运动时，阴影部分的面积增加，所以在上单调递增，A选项错误；对于B选项，当点在的中点时，此时，所以，，故B正确，对于C选项，取BC的中点G，连接OG，作点P关于直线OG的对称点F，则，所以，OF绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知，因为，即，C选项正确；对于D选项，由C选项可知，，则，所以，，所以，函数的图象不关于直线对称，D选项错误．故选：BC三、填空题（本大题共4小题，共20）13.求值：__________．【答案】【解析】【分析】利用终边相同的角同名三角函数值相等和诱导公式即可求解【详解】，， 所以故答案：.14.已知幂函数是R上的增函数，则m的值为______．【答案】3【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值．【详解】由题意是幂函数，，解得或，又是R上的增函数,则.故答案为：3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于的方程和不等式，是基础题．15.若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.【详解】由于“”的必要不充分条件是“”，所以Ü则且两个等号不同时取得，解得，经检验和均符合要求，故a的取值范围是．故答案为：16.已知函数，若方程的实根在区间上，则k的所有可能值是______．【答案】－3，－2或1【解析】 【分析】先由求出，确定，再变形得到，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在与内，从而确定k的所有可能值.【详解】①由方程，解得：，因为，故；②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图象，从图象上可得出：方程在区间内有一个实根．故方程在区间内有且仅有一个实根．此时，下面证明：方程在区间内有一个实根，函数，在区间和内各有一个零点，因为时，，故函数在区间是增函数，又，，即，由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点，即方程在区间内有且仅有一个实根，此时.故答案为：－3，－2或1．四、解答题（本大题共6小题，共70 ．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（1）计算；（2）计算．【答案】（1）0；（2）3.【解析】【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；（2）利用对数运算法则及性质进行计算.【详解】（1）；（2）.18.已知集合，或．（1）当时，求；（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再求；（2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，. 因为或，所以或；（2）因为或，所以.因为“”是“”的充分不必要条件，所以AÜ.当时，符合题意，此时有，解得：a<0.当时，要使AÜ，只需，解得：综上：a<1.即实数的取值范围.19.已知是第四象限角．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；（2）变形得到，求出的值.【小问1详解】∵是第四象限角，，所以，∴，∴． 【小问2详解】∵，∴，∴或．20.已知函数．（1）证明函数为奇函数；（2）解关于t的不等式：．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【小问1详解】因为函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数是奇函数；【小问2详解】由，由于为定义域内的单调递增函数且，所以单调递减，因此函数是定义域为的增函数，而不等式可化为，再由可得，所以，解得， 故不等式的解集为．21.某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，）【答案】（1）选择模型符合要求；该函数模型的解析式为，，；（2）六月份.【解析】【分析】（1）根据两函数特征选择模型，并用待定系数法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合，解出，得到答案.【小问1详解】函数与在上都是增函数，随着的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型符合要求．根据题意可知时，；时，，∴，解得． 故该函数模型的解析式为，，；【小问2详解】当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是，由，得，∴，∵，∴，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．22已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．（1）判断的奇偶性；（2）判断的单调性，求在区间上的最大值；（3）是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）奇函数；（2）为上的减函数；在上的最大值为6；（3）存在，实数a的取值范围为．【解析】【分析】（1）赋值法得到，，得到函数的奇偶性；（2）先由时，利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到，从而得到在区间上的最大值；（3）先根据单调性得到，问题转化为，恒成立，令，为一次函数，得到不等式组，求出实数a的取值范围.【小问1详解】 取，则，∴，取，，则，∴对任意恒成立，∴奇函数；【小问2详解】任取且，则，因为，故，令，则有，即，∵时，，故时，，∴，∴．故为上的减函数．∴，，∵，，令，则，故，因为令，则，即，由（1）知：为奇函数，故，故，解得：，故，故在上的最大值为6；【小问3详解】 ∵在上是减函数，∴，∵，对所有，恒成立．∴，恒成立；即，恒成立，令，则，即，解得：或．∴实数a的取值范围为．