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江苏省盐城市四校2022-2023学年高三数学上学期12月联考试题(Word版带答案)
江苏省盐城市四校2022-2023学年高三数学上学期12月联考试题(Word版带答案)
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2023届高三年级第一学期四校联考数学试卷(考试时间:120分钟,满分:150分)2022.12.15一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.已知集合,,则=( )A.B.C.D.2.下列说法正确的是( )A.圆的圆心为,半径为5B.圆的圆心为,半径为C.圆的圆心为,半径为D.圆的圆心为,半径为3.已知向量,,,,则下列说法正确的是( )A.若,则有最小值B.若,则有最小值C.若,则的值为D.若,则的值为14.2021年4月29日,中国空间站天和核心舱发射升空,这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开,我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天,天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里,空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说,航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆,其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点,我们把椭圆轨道上距地心最近(远)的一点称作近(远)地点,近(远)地点与地球表面的距离称为近(远)地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行,它的近地点高度大约351km,远地点高度大约385km,地球半径约6400km,则该轨道的离心率为( )A.B.C.D.5.把一条线段分为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比,其比值是一个无理数,由于按此比例设计的造型十分美丽柔和,因此称为黄金分割,黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中,点D为线段的黄金分割点(),,,,则( ) A.B.C.D.6.如图,由于建筑物AB的底部B是不可能到达的,A为建筑物的最高点,需要测量AB,先采取如下方法,选择一条水平基线HG,使得H,G,B三点在一条直线上,在G,H两点用测角仪测得A的仰角为,,,测角仪器的高度是h,则建筑物AB的高度为( )A.B.C.D.7.已知数列是公比不等于的等比数列,若数列,,的前2023项的和分别为m,,20,则实数m的值( )A.只有1个B.有2个C.无法确定D.不存在8.若x,,,则( )A.B.C.D.二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9.已知数列为等比数列,则( )A.数列,,成等比数列B.数列,,成等比数列C.数列,,成等比数列D.数列,,成等比数列10.函数,图像一个最高点是,距离点A最近的对称中心坐标为,则下列说法正确的有( )A.的值是6B.时,函数单调递增C.时函数图像的一条对称轴D.的图像向左平移个单位后得到图像,若是偶函数,则的最小值是11.已知函数,的定义域均为R,它们的导函数分别为,.若 是奇函数,,与图象的交点为,,…,,则( )A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.的图象关于直线对称D.12.已知正四面体ABCD的棱长为,其外接球的球心为O.点E满足,,过点E作平面平行于AC和BD,平面分别与该正四面体的棱BC,CD,AD相交于点M,G,H,则( )A.四边形EMGH的周长为是变化的B.四棱锥的体积的最大值为C.当时,平面截球O所得截面的周长为D.当时,将正四面体ABCD绕EF旋转后与原四面体的公共部分体积为三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知为虚数单位,且复数z满足:,则复数z的模为_____________.14.若直线:与直线:平行,则直线与之间的距离为______.15.已知曲线在处的切线与直线垂直,则实数_____.16.有一张面积为的矩形纸片,其中为的中点,为的中点,将矩形绕旋转得到圆柱,如图所示,若点为的中点,直线与底面圆所成角的正切值为,为圆柱的一条母线(与,不重合),则当三棱锥的体积取最大值时,三棱锥外接球的表面积为___________.四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知函数.(1)求的最小正周期和单调增区间;(2)在中,角的对边分别为.若,,求的面积的最大值. 18.在①;②成等比数列;③;这三个条件中任选一个,补充在下面试题的空格处中并作答.已知是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)定义在数列中,使为整数的叫做“调和数”,求在区间[1,2022]内所有“调和数”之和.19.如图所示,在三棱锥A-BCD中,已知平面ABD⊥平面BCD,且,BC⊥AC.(1)证明:BC⊥平面ACD;(2)若点F为棱BC的中点,,且,求平面CDE与平面ABD夹角的余弦值.20.如图,半径为1的光滑圆形轨道圆、圆外切于点,点是直线与圆的交点,在圆形轨道、圆上各有一个运动质点,同时分别从点、开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动,点,运动的角速度之比为2:1,设点转动的角度为,以为原点,为轴建立平面直角坐标系.(1)若为锐角且,求、的坐标;(2)求的最大值.21.定义椭圆的“蒙日圆”的方程为,已知椭圆的长轴长为4,离心率为.(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程;(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线,A为切点,延长MA与“蒙日圆”E交于点,O为坐标原点,若直线OM,OD的斜率存在,且分别设为,证明:为定值. 22.已知函数.(是自然对数的底数)(1)若,求的单调区间;(2)若,试讨论在上的零点个数.(参考数据:)2023届高三年级第一学期四校联考数学试卷参考答案1.B2.C3.A4.A5.A6.C7.B8.C解:设,则(不恒为零),故在上为增函数,故,所以,故在上恒成立,所以,但为上为增函数,故即,所以C成立,D错误.取,考虑的解,若,则,矛盾,故即,此时,故B错误.取,考虑,若,则,矛盾,故,此时,此时,故A错误,故选:C.9.BD10.AD11.BC12.BD【详解】对于边长为2的正方体,则ABCD为棱长为的正四面体,则球心O即为正方体的中心,连接,设∵,,则为平行四边形∴,又∵平面,平面,∴平面,又∵平面,,平面,∴平面平面,对A:如图1,∵平面平面,平面平面,平面平面,∴,则,即,同理可得:,,,, ∴四边形EMGH的周长(定值),A错误;对B:如图1,由A可知:,,,,∵为正方形,则,∴为矩形,根据平行可得:点A到平面的距离,故四棱锥的体积,则,∵,则当时,则,在上单调递增,当时,则,在上单调递减,∴当时,取到最大值,故四棱锥的体积的最大值为,B正确;对C:正四面体ABCD的外接球即为正方体的外接球,其半径,设平面截球O所得截面的圆心为,半径为,当时,则,∵,则,∴平面截球O所得截面的周长为,C错误;对D:如图2,将正四面体ABCD绕EF旋转后得到正四面体,设,∵,则分别为各面的中心,∴两个正四面体的公共部分为,为两个全等的正四棱锥组合而成,根据正方体可得:,正四棱锥的高为, 故公共部分的体积,D正确;故选:BD.13.14.15.16.解:设圆柱的高为,底面半径为,则,即.因为直线与底面圆所成角的正切值为,所以,即.由,得.连接,由题意得,,又,所以平面,而平面,所以平面平面.过点作于点,则平面.设,,则,于是三棱锥的体积,当且仅当时取等号,设此时三棱锥外接球的球心到平面的距离为,外接球半径为,则,解得,于是,所以当三棱锥的体积取最大值时,三棱锥外接球的表面积.故答案为:.17.解:(1).∴的周期,由,,得, 所以的单调递增区间是,.(2)∵,即,又,∴,由正弦定理有,∴∵,∴,∴,当即时取得最大值.另解:∵,即,又,∴,由余弦定理知:,即,当且仅当时,等号成立.∴,∴当时,.18.解:(1)选①解:因为,所以当时,,当,时,因为是各项均为正数,公差不为0的等差数列,所以,.选②解:因为成等比数列,所以,因为是各项均为正数,公差不为0的等差数列,设其公差为,所以,所以,所以.选③解:因为,所以当时,.所以,所以或, 因为是各项均为正数的等差数列,所以,又当n=2时,,所以,所以,所以,所以或(舍去),其公差,所以.(2)设,所以,令,且b为整数,又由,,所以b可以取1,2,3,4,5,6,此时分别为,所以区间[1,2022]内所有“调和数”之和=1086.19.(1)证明:由条件可得,所以AD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.又BC⊥AC,AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.(2)解:因为BC⊥平面ACD,所以BC⊥CD.所以BC=.以C为坐标原点,直线CD,CB分别为x,y轴,过点C且垂直于平面BCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,则设平面CDE的法向量为,则取,则, ,设平面ABD的一个法向量为,则,取,设平面CDE与平而ABD的夹角为θ,.则故平面CDE与平而ABD的夹角的余弦为.20.解:(1)因为为锐角,所以因为,所以,所以,所以,所以,,所以,.(2)因为点,分别运动的角速度之比为2:1,所以当点转动的角度为时,转动角度为,因此,.,所以当时,取得最大值,所以的最大值为.21.解:(1)由题意知,故椭圆的方程,“蒙日圆”的方程为,即(2)当切线的斜率存在且不为零时,设切线的方程为,则由,消去得, 由,消去得设,则,,,当切线的斜率不存在或为零时,易得成立,为定值.22.解:(1),则,定义域为,,由,解得,可得,解得,由,解得,可得,解得,的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)由已知,,令,则.,∴当时,;当时,,在上单调递增,在上单调递减,即在上单调递增,在上单调递减.,,.①当时,即时,,,使得, ∴当时,;当时,,在上单调递增,上单调递减.,,又,∴由函数零点存在性定理可得,此时在上仅有一个零点;②若时,,又在上单调递增,在上单调递减,而,,,使得,,且当、时,;当时,.在和上单调递减,在上单调递增.,,,,又,∴由零点存在性定理可得,在和内各有一个零点,即此时在上有两个零点.综上所述,当时,在上仅有一个零点;当时,在上有两个零点.
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高中 - 数学
发布时间:2023-02-18 15:25:05
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