四川省达州市普通高中2023届高三理科数学第一次诊断性测试试题（PDF版带答案）

达州市普通高中2023届第一次诊断性测试数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A{x|x≤1}，B{x|x1}，则ABA．[0，1)B．(0，1)C．(，1)D．(，1]12．复数z满足2i，则zz1111A．B．C．iD．i22223．已知向量a，b，满足ab，a=(1，2)，则(ab)aA．0B．2C．5D．54．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C．样本中选择物理学科的人数较多D．样本中男生人数少于女生人数5．三棱锥PABC的底面ABC为直角三角形，△ABC的外接圆为圆O，PQ底面ABC，Q在圆O上或内部，现将三棱锥的底面ABC放置在水平面上，则三棱锥PABC的俯视图不可能是A．B．C．D．一诊数学（理）试卷第1页（共4页） aba6．“ab0”是“e”的bA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．把一个三边均为有理数的直角三角形面积的数值称为同余数，如果正整数n为同余数，则称n为整同余数．2021年11月3日，2020年度国家科学奖励大会在人民大会堂隆重召开，中国科学院研究员田刚以“同余数问题与L函数的算术”项目荣获2020年度国家自然科学奖二等奖，在同余数这个具有千年历史数学中最重要的古老问题上取得突破π性进展．在△ABC中，C，△ABC绕AC旋转一周，所成几何体的侧面积和体积2的数值之比为5:4，若△ABC的面积n为整同余数，则n的值可以为A．5B．6C．8D．121π18．将函数f(x)sin(x)(0)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐232标不变，得到函数g(x)的图象，直线l与曲线yg(x)仅交于A(x，y)，B(x，y)，1122πππP(，g())三点，为x，x的等差中项，则的最小值为12666A．8B．6C．4D．222xy9．点F为双曲线1(a0，b0)的一个焦点，过F作双曲线的一条渐近线的22ab平行线交双曲线于点A，O为原点，|OA|b，则双曲线的离心率为A．2B．23C．22D．32210.曲线f(x)(xm)lnx(mR)在点(1，f(1))处的切线平分圆(x2)(y1)5，则A．yf(x)有两个零点B．yf(x)有极大值C．yf(x)在(0，)上为增函数D．当x1时，f(x)011.在棱长为2的正方体ABCDABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，则11115A．异面直线DD与BF所成角的余弦值为11532B．点P为正方形ABCD内一点，当DP∥平面BEF时，DP的最小值为111112C．过点D，E，F的平面截正方体ABCDABCD所得的截面周长为322511111D．当三棱锥BBEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为12π112.函数f(x)满足f(2x)f(x)2，令g(x)f(x1)1，对任意的x0，都有x12g()xg(x)，若g()，则f(0)x110099!1A．1B．3C．1D．99!一诊数学（理）试卷第2页（共4页） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1813．(x)展开式中的常数项为（用数字作答）．xac14．定义adbc，现从集合{xN|x10}中随机取两个不同的元素m，n，则bd2m满足0的概率为．3n15．已知正方形ABCD边长为2，M，N两点分别为边BC，CD上动点，MAN45，则△CMN的周长为．216．斜率为1的直线l与曲线C:y2px(p>0，y≥0)交于A(x，y)，B(x，y)两11222点，F为y2px的焦点，xx2，AFBF3，点M(x，y)(xxx)2100102为曲线C上一点，当△MAB的面积取最大值时，MF．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分)党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码x12345人均可支配收入y（单位：万元）1.301.401.621.681.80(1)根据上表统计数据，计算y与x的相关系数r，并判断y与x是否具有较高的线性相关程度（若0.30≤|r|0.75，则线性相关程度一般，若|r|≥0.75则线性相关程度较高，r精确到0.01）；(2)市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于1.98万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）．n(xix)(yiy)5i1参考公式和数据：相关系数r，(xix)(yiy)1.28，nn22i1(xix)(yiy)i1i152(yiy)0.17，1.71.3.i118.(12分)3已知正项等比数列an前n项和为Sn，a4a2，当n≥2时，Sn2Sn1m，mR．(1)求a的通项公式；nnm2(2)求数列的前n项和Tn．SSnn1一诊数学（理）试卷第3页（共4页） 19．(12分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形，AD∥BC，ABBC.E为AD延长线上一点，PE平面ABCD，PE2AD，tanPDA2.F是PB中点．P(1)证明：EFPA；1(2)若BC2AD2，三棱锥EPDC的体积为，3求二面角FDEC的余弦值．FADE20．(12分)2BCx2已知直线l：ykx(k0)交椭圆C:y1于A，B两点，F，F为C的左、122右焦点，F关于直线l的对称点在C上．1(1)求k的值；2|FD|2(2)过F斜率为k的直线交线段AB于点D，交C于点M，N，求的最小值．21|MN|21．(12分)mx已知函数f(x)xelnx（mR）．(1)若x1是函数f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；12(2)证明：当m时，曲线yf(x)上的所有点均在抛物线xy的内部．2（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，2曲线C的极坐标方程为2cos2sin20，直线l的参数方程为x2tcos，(t为参数)．y2tsin(1)写出曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，定点P(2，2)，求PAPB的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲](10分)x1设函数f(x)2．(1)若f(x)f(xm)的解集为{x|x0}，求实数m的值；41(2)若0ab，且f(a)f(b)，求的最小值．ab1一诊数学（理）试卷第4页（共4页） 达州市普通高中2023届第一次诊断性测试理科数学参考答案一、选择题：1.A2.C3.D4.C5.D6.A7.B8.C9.D10.D11.B12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．113．7014．15．416．124三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1234517．解：(1)由表知x的平均数为x3．552222(xix)(13)(23)(53)10．i15(xix)(yiy)1.281.28i1r0.98．55100.171.722(xix)(yiy)i1i10.980.75,y与x具有较高的线性相关程度．(2)设增长率为p，则1.8(1p)≥1.98,解得p≥0.1．∴p0.110%．min该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为10%．33318．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，∵an0，∴q0，∴由a4a2得a1q(a1q)．∴a1．1∵S2Sm，∴S2Sm，S2Sm，SS2(SS)，nn121323221a3即a2a，∴q2．32a2n1n1所以aaq2(nN)．n1(2)∵S22S1m，∴a1a22a1m，∴ma2a11．n1(12)n∴S21(nN)．n12nnm2m211∴．nn1nn1SS(21)(21)2121nn11111111∴T()()()1．n1223nn1n12121212121212119．(1)证明：∵PE平面ABCD，AB平面ABCD，∴PEAB．∵ABBC，AD∥BC，∴ABAD．又PEADE，∴AB平面PAD．∵PA平面PAD，∴PAAB．理科数学答案第1页(共4页) z取PA的中点M，连接EM，FM，∵F为PB的中点，P∴FM∥AB．∴FMPA．∵tanPDA2，∴tanPDE2，MPE∴2，∴PE2DE2AD，FDE∴D为AE的中点，∴PEAE，∴EMPA．ADEx又EMFMM，∴PA平面EFM．∵EF平面EFM，∴EFPA.BC(2)解：∵BC2AD2DE2，∴PE2.y∴BC∥AE，且BCAE，∵ABBC，∴四边形ABCE为矩形，∴CE平面PAE.1111VVSPE1CE2，∴CE1.EPDCPDEC△DEC3323以E为原点，分别以EA，EC，EP方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角11坐标系Exyz．则D(1，0，0)，C(0，1，0)，F(1，，1)，∴ED(1，0，0),EF(1，，1)，22易知n(0，0，1)是平面DEC的一个法向量．设平面FDE的一个法向量为1n(x，y，z)，2x0，EDn20，∴，即1不妨取y2，得n2(0，2，1)．EFn0xyz0．22nn1512∴cosn，n．12|n||n|55125由图知二面角FDEC的平面角为锐角，∴二面角FDEC的余弦值为.520．解：(1)由题知F(1，0)，F(1，0).122y1k1，x2，x1kk1设F1关于直线l的对称点坐标为(x，y)，则，解得ykx1y2k．22k21222(k1)4k2根据条件得1，解得k1，即k1．22222(k1)(k1)66(2)设M(x，y),N(x，y).把yx带入椭圆C方程得A,B的坐标为(,)，11223366(,).由已知得直线MN的方程为yk(x1)①交线段AB于D,1336633∴≤k≤，即62≤k≤62．116611332k12k11k1设D(x，y)，在①中令yx，得x，∴|FD|1k(1)．DDD21k1k11k111理科数学答案第2页(共4页) 2x22222把①代入y1并化简得(12k)x4kx2k20．1112224k2k2110，xx,xx.12212212k12k112222(1k1)∴|MN|1k|xx|．112212k122|FD|12k21∴．2|MN|22(1k)12212k112223112k12令t1k，则3()，当，t即k时，取得最小值．1212(1k)t3322(1k)3112|FD|22所以的最小值为．|MN|6mxmxmx121．解：(1)由f(x)xelnx得x0，且f(x)emxe．xmm1m∵x1是函数f(x)的极值点，∴f(1)eme10，即10．me1xx2设f(x)1，则f(x)．当x2时，f(x)0，f(x)单调递减，当x21x1x11ee时f(x)0，f(x)单调递增．11又当x2时，f(x)0，且f(0)0，∴m0．111当m0时，f(x)xlnx，f(x)1．若0x1，f(x)0，f(x)单调递减；x若x1，f(x)0，f(x)单调递增，∵f(1)0，∴x1是f(x)的极小值点．所以f(x)的单调减区间为(0，1]，增区间为[1，)．111mxx(2)证明：∵m，x0，∴mxx，∴ee2．221x∴f(x)xemxlnxxe2lnx．11xxe2(x2)e2构造函数g(x)，则g(x)，当0x2时，g(x)0，g(x)单调递2x2xe减，当x2时，g(x)0，g(x)单调递增．由于g(2)0，∴g(x)g(2)．min2lnx12lnx设h(x)1，则h(x)，当0xe时，h(x)0，h(x)单调递增，当23xx1xe时，h(x)0，h(x)单调递减．由于h(e)0，∴h(x)h(e)1．max2e1xe1e22e1e2lnx∵(1)0，∴g(x)h(x)，∴g(x)h(x)，∴1，minmax222e2exx1x222即xelnxx．∴f(x)x．2所以曲线yf(x)上所有的点都在抛物线xy内．222222．解：(1)将xy，cosx，siny代入C的极坐标方程2cos22222sin20得曲线C为xy2x2y20，即(x1)(y1)4．…4分理科数学答案第3页(共4页) x2tcos，(2)易知点P在直线l上，将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C方程y2tsin222得(1tcos)(1tsin)4，整理得t2(sincos)t20．设点A，B对应该的参数分别为t，t，则tt2(sincos)，tt20，121212由参数t的几何意义不妨令|t||PA|,|t||PB|．122∴|PA||PB||t||t||tt|(tt)4tt4sin212．12121212π当sin21，即kπ(kZ)时，(|PA||PB|)22．min4|x||xm1|23．(1)解：不等式可化为22，∴|x1||xm1|，两边同时平方可得22mx2mm．m原不等式解集为{x|x0}，∴m0，即x1．2m∴10，m2．2|a1||b1|(2)解：f(a)f(b)，∴22，|a1||b1|．|x|f(1x)2f(1x)，∴yf(x)关于直线x1对称，∴0a1b，∴1ab1，即ab2．414(b1)a4(b1)a所以()(ab1)5≥5249，当且仅当，ab1ab1ab12441即a,b时取“=”，∴的最小值为9．33ab1理科数学答案第4页(共4页)